1、第6章 广义傅里叶变换及其光学实现1 1第6章 广义傅里叶变换及其光学实现6.1广义傅里叶变换的定义及性质6.2广义傅里叶变换的光学实现方法6.3基本光学单元的组合第6章 广义傅里叶变换及其光学实现2 26.1广义傅里叶变换的定义及性质6.1.1广义傅里叶变换的定义为简单起见，这里讨论一维函数的广义傅里叶变换，有关的定义和性质可以直接推广到二维的情况。函数f(x)的广义傅里叶变换定义为 (6.1-1)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现3 3以代替，得到负阶数的广义傅里叶变换 (6.1-2)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现4 4并且负阶数的广义傅里叶变换FT-(0)是FT的逆变换，有 (6.1
2、-3)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现5 5当=/2时，广义傅里叶变换退化为常规傅里叶变换，即 (6.1-4)(6.1-5)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现6 6在式(6.1-1)定义的变换中，当0时没有意义。当0时，sin，tan。应用 1.4 节的函数列 (6.1-6)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现7 7则得到零阶广义傅里叶变换式 (6.1-7)类似地，可以给出阶广义傅里叶变换的定义为 (6.1-8)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现8 8表6.1-1给出了一些常用函数的广义傅里叶变换，其中Hn(x)(n=0,1,2,)为n阶厄米多项式。第6章 广义傅里叶变换及其光学实现9 9第6
3、章 广义傅里叶变换及其光学实现10 106.1.2广义傅里叶变换的基本性质和运算法则如前所述，f(x)的广义傅里叶变换谱函数记为F()，并用f(x)F()表示变换对。性质1线性性质：广义傅里叶变换仍是线性变换，若a、b为任意常数，有 (6.1-9)性质2位移性质:(6.1-10)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现11 11性质3宗量乘积性质:(6.1-11)依此类推，设m0，有 (6.1-12)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现12 12性质4微分性质:(6.1-13)性质5宗量微分混合积：(6.1-14)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现13 13性质6指数性质:(6.1-15)第6章 广义
4、傅里叶变换及其光学实现14 14性质7可加性：广义傅里叶变换应具有可加性，依次进行阶和阶变换的结果应相当于进行+阶变换，即 (6.1-16)式(6.1-16)中，若和交换次序，结果保持不变。所以有 (6.1-17)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现15 15表明广义傅里叶变换算符是可易的。特别当=时，得到 (6.1-18)即FT是FT的逆算符或逆元。这进一步表明FT的确是FT的逆变换。当=0时，有 (6.1-19)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现16 16对于任意的实数、和，广义傅里叶变换算符的结合律成立，即 (6.1-20)因而，所有的广义傅里叶变换算符对于式(6.1-16)所定义的乘法构
5、成群，一般称为广义傅里叶变换群。第6章 广义傅里叶变换及其光学实现17 17性质8周期性:由于在广义傅里叶变换的定义中出现了三角函数tan和sin，因此变换关于具有周期性，周期为2，故有以下结果：(6.1-21)(6.1-22)(6.1-23)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现18 18进一步设 (6.1-24)函数f(x)的阶广义傅里叶变换还可表示为FT(p)f(x)，p的定义域为(2，2,当 p1 时，表示常规的傅里叶变换；当p1时，则表示常规的傅里叶逆变换。第6章 广义傅里叶变换及其光学实现19 196.1.3广义傅里叶变换的本征函数对于任意和高斯-厄米函数(式中Hn(x)为n阶厄米多项
6、式，为高斯函数)，可以证明 (6.1-25)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现2020函数yn(x)构成区间(-，+)内的完备正交函数组，任何平方可积的函数f(x)都可以用它展开为 (6.1-26)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现21 21式中：系数an可以用厄米函数的正交性得到，即 (6.1-27)用FT作用于式(6.1-26)两边，得到 (6.1-28)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现22226.2广义傅里叶变换的光学实现方法6.2.1实现广义傅里叶变换的第一类基本光学单元根据广义傅里叶变换的可加性，对函数f(x)连续进行N个阶数为n(n1，2，N)的变换的结果，相当于进行阶数为1+2
7、+N的一次变换，即 (6.2-1)式中:(6.2-2)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现2323我们知道，=/2的常规傅里叶变换，既可以由焦距为f的单个透镜实现，也可以由两个完全相同透镜构成的合成焦距为f的透镜组来实现。每个透镜的焦距为 (6.2-3)其间距为2d，其中 (6.2-4)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现2424如图6.2-1 所示。x0y0和xy分别为系统的前、后焦面，到两个透镜的距离也为d。上述结果可以通过三次菲涅耳衍射和两次透镜相位变换的方法加以证明。第6章 广义傅里叶变换及其光学实现2525图 6.2-1用两个透镜实现傅里叶变换第6章 广义傅里叶变换及其光学实现2626几
8、何光学的计算还可以证明，当N个焦距为 (6.2-5)的透镜按图6.2-1所示的方式串联起来时，如果间距参数为 (6.2-6)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现2727也就是说，正薄透镜在特定的输入、输出距离的配置下产生了/2 的常规傅里叶变换效果。如果d0、q不等于f，但是满足d0=q=d，且d不一定等于f,这时，我们仿照式(6.2-3)和式(6.2-4)，设 (6.2-7)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现2828代入式(3.4-11)得到 (6.2-8)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现2929用对坐标进行归一化 (6.2-9)式(6.2-8)变为 (6.2-10)第6章 广义傅里叶变换及
9、其光学实现3030以上讨论表明，当条件式(6.2-7)成立时，正薄透镜在单色光的照射条件下，可以实现二维广义傅里叶变换，它将透镜前面d处的输入图像f(x0,y0)变成透镜后d处的广义傅里叶谱，如图6.2-2所示。第6章 广义傅里叶变换及其光学实现31 31图 6.2-2用正透镜实现广义傅里叶变换第6章 广义傅里叶变换及其光学实现3232在用透镜系统实现广义傅里叶变换时，一般不用带归一化坐标的公式(式(6.2-10)，而经常使用式(6.2-8)，即 (6.2-11)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现3333常规傅里叶变换仅能用正透镜实现，当把它推广到广义傅里叶变换时，用负透镜同样能实现广义傅里叶
10、变换。根据式(6.2-7)，当 f0 时，要保持f0，则0,0时，d0，这表示输入平面在透镜右侧，输出平面在透镜左侧，如图6.2-3所示。第6章 广义傅里叶变换及其光学实现3434图 6.2-3用负透镜实现广义傅里叶变换第6章 广义傅里叶变换及其光学实现3535广义光学傅里叶变换的阶数由下式决定:(6.2-12)图6.2-2和图6.2-3所示的光学单元通过两次菲涅耳衍射及一次透镜相位变换来实现广义傅里叶变换，称为第一类基本光学单元。第6章 广义傅里叶变换及其光学实现36366.2.2实现广义傅里叶变换的第二类基本光学单元 可以实现广义傅里叶变换的第二类基本光学单元如图6.2-4所示，两个规格相
11、同的正透镜焦距为f，间距为d，在紧贴第一个透镜前表面放置输入图像f(x0,y0)，在紧贴第二个透镜后表面观察输出图像。第6章 广义傅里叶变换及其光学实现3737图 6.2-4使用正透镜的第二类光学单元 第6章 广义傅里叶变换及其光学实现3838设在两个透镜之间光波的传播遵循菲涅耳衍射规律，则在输出面上的光波场分布为 (6.2-13)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现3939仍设 及 (6.2-14)则有 (6.2-15)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现4040如果把图6.2-4中的两个正透镜均改为负透镜，并设f和d均为负值，此时仍为正值，而间距 (6.2-16)式(6.2-16)表示输入面在
12、输出面的右边，如图6.2-5所示，它能实现负阶数的广义傅里叶变换。由此可知，用两个透镜构成的系统也能实现广义傅里叶变换。第6章 广义傅里叶变换及其光学实现41 41图 6.2-5使用负透镜的第二类光学单元第6章 广义傅里叶变换及其光学实现4242 6.3基本光学单元的组合在上一节讨论用透镜和透镜组实现广义傅里叶变换时，引入了族参数 (6.3-1)以及 (6.3-2)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现4343显然，同一类型的广义光学傅里叶算符，仅当族参数相等时才有可加性，即 (6.3-3)也就是说，族参数相同的广义光学傅里叶算符属于同一群。式(6.3-3)意味着属同一群的光学广义傅里叶算符对应的
13、光学单元具有相互组合并形成复杂系统的性能。第6章 广义傅里叶变换及其光学实现4444当族参数取某一常数时，(p)可取两个值，即 (6.3-4)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现4545由此可求得两个不同的d值为 (6.3-5)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现4646例6.1图6.3-1所示系统由两焦距均为f的正透镜构成。对第一个光学单元，取 (6.3-6)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现4747图 6.3-1两个相同正透镜组成的广义傅里叶变换系统第6章 广义傅里叶变换及其光学实现4848对第二个光学单元，取 (6.3-7)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现4949两透镜间的距离为 (6.3
14、-8)它们共同的族参数为 (6.3-9)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现5050这样，设在0平面输入的图像为f0(x0，y0)，则在单色平行光垂直入射照射条件下，第一个光学单元对f0进行阶数为1的广义傅里叶变换，在1平面上得到f0的广义傅里叶谱f1；第二个光学单元再对f1进行阶数为2的广义傅里叶变换，最后在输出平面2上得到输出图像f2(x，y)，且有 (6.3-10)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现51 51例6.2图6.3-2所示系统为包含负透镜的组合系统，它由三个第一类基本光学单元构成，L1和L3为同样规格的正透镜，焦距为f，L2为负透镜，焦距为f。它们具有共同的族参数 (6.3-11
15、)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现5252使式(6.3-11)成立的条件为 (6.3-12)即 (6.3-13)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现5353图 6.3-2包含负透镜的广义傅里叶变换系统第6章 广义傅里叶变换及其光学实现5454对于中间的负透镜，有 (6.3-14)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现5555对于两个正透镜，则有 (6.3-15)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现5656由于各光学单元具有共同的族参数，因此相应的广义傅里叶变换具有可加性 (6.3-16)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现5757特别当/3时,有 (6.3-17)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现58
16、58事实上，属于同一群的光学广义傅里叶算符只要求族参数相同，而f和均可不同。例如设 (6.3-18)两个单元由于族参数相同，它们仍属同一群，具有可加性，即 (6.3-19)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现5959所以两个焦距不同的光学单元可以串接组合，在满足式(6.3-18)条件时i(i=1,2)有两个解，分别为 (6.3-20)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现6060与之相应，也有两组可能的d值为 (6.3-21)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现61 61由式(6.3-21)还可以进一步得到 (6.3-22)也就是说，属于同一族的N个光学单元串联时必须满足的条件为 (6.3-23)第6
17、章 广义傅里叶变换及其光学实现6262例6.3设用两个第一类光学单元构成系统，使第一个透镜的输出平面的复振幅分布为输入图形f(x0,y0)的FT/6f(x0,y0)，而系统的输出平面为f(x0,y0)的常规傅里叶变换。第6章 广义傅里叶变换及其光学实现6363根据题意，有 (6.3-24)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现6464以及 (6.3-25)由以上参数构成的光学系统组合如图6.3-3所示。第6章 广义傅里叶变换及其光学实现6565图 6.3-3用两个不同规格透镜的组合实现广义傅里叶变换和常规傅里叶变换第6章 广义傅里叶变换及其光学实现6666几何光学的计算也表明该系统的输入、输出平面的确是组合系统的焦平面。如果要求输出图像为f(x0,y0)，即要求1+2=,则有 (6.3-26)从而 (6.3-27)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现6767亦即两个第一类单元串联，两个透镜焦距相等。但和d仍有两种不同的组合，即 (6.3-28)和 (6.3-29)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现6868相应的间距参数为 (6.3-30)和 (6.3-31)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现6969值得注意的是,在两种情况下，透镜的间隔均为2f。用几何光学容易验证在任一情形下，输出平面与输入平面共轭，且放大率为1(倒像)。
