1、现代控制理论 Modern Control Theory第三章第三章 控制系统的李亚普诺夫控制系统的李亚普诺夫稳定性稳定性3.23.2 李亚普诺夫意义下的稳定性李亚普诺夫意义下的稳定性3.33.3 李亚普诺夫稳定性定理李亚普诺夫稳定性定理3.4 3.4 线性系统的李亚普诺夫稳定性分析线性系统的李亚普诺夫稳定性分析3.1 3.1 李亚普诺夫第二法的概述李亚普诺夫第二法的概述一、物理基础一、物理基础 一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳定的系统，即当系统受到外界干扰后，显然它的平衡状态被破坏，但在外扰去掉以后，它仍有能力自动地在平衡状态下继续工作，系统的这种性能，通常叫做稳定性稳定性，它
2、是系统的一个动态属性。举例说明：1.1.电压自动调节系统电压自动调节系统-保持电机电压恒定 2.2.电机自动调速系统电机自动调速系统-保持电机转速一定 3.3.火箭飞行系统火箭飞行系统-保持航向为一定 具有稳定性的系统称为稳定系统稳定系统。不具有稳定性的系统称为不稳定系统不稳定系统。稳定性概念稳定性概念 系统的稳定性系统的稳定性-系统在受到外界干扰后，系系统在受到外界干扰后，系统偏差量（被调量偏离平衡位置的数值）过统偏差量（被调量偏离平衡位置的数值）过渡过程的收敛性，渡过程的收敛性，用数学方法表示用数学方法表示就是：就是：limtx t现代控制理论的优点现代控制理论的优点线性定常系统线性定常系
3、统稳定性判断稳定性判断 1.1.劳斯劳斯-赫尔维茨判剧赫尔维茨判剧 2.2.奈奎斯特稳定判剧奈奎斯特稳定判剧现代控制系统现代控制系统结构复杂，非线性或时变,上述稳定判剧难以胜任上述稳定判剧难以胜任;通用的方法是李亚普诺夫第二法通用的方法是李亚普诺夫第二法.李亚普诺夫李亚普诺夫稳定性判据稳定性判据 1982年，李亚普诺夫归纳出两种方法 李亚普诺夫第一法李亚普诺夫第一法:解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。如果特征方程的根全部具有负实部，则系统在工作点附近是稳定的.李亚普诺夫第二法（也称直接法）李亚普诺夫第二法（也称直接法）:不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的稳定性进行分析
4、判断，而且给出的稳定信息不是近似的。它提供了判别所有系统稳定性的方法。李亚普诺夫第二法建立的物理事实：如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即:那么随着系统的运动，其贮存的能量将随着时间那么随着系统的运动，其贮存的能量将随着时间的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。小值。Xtlimex 对系统而言，并没有这样的直观性，因此，李亚普诺夫引入了“广义能量函数广义能量函数”，称之，称之为李亚普诺夫函数，为李亚普诺夫函数，表示为 ,它是状态 和时间t的函数。如果动态系统是稳定的，则仅当存在依赖于如果动态系统
5、是稳定的，则仅当存在依赖于状态变量的李亚普诺夫函数状态变量的李亚普诺夫函数 对任意对任意 （平衡点）时，（平衡点）时，成立，且对成立，且对 时，才有时，才有 。()V X,tX,t12,n 12()(,)n VVX Xe eX XX X()0()0、VVX XX Xe eX XX X()()0VVX XX X 李亚普诺夫第二法可归结为李亚普诺夫第二法可归结为:1.在不直接求解的前提下，2.3.就可给出系统平衡状态稳定性的信息。就可给出系统平衡状态稳定性的信息。应用李亚普诺夫稳定理论的关键:能否找到一个合适的李亚普诺夫函数!-尚未有一个简便的、一般性的方法！)(t tX X,V)(t tX X,
6、V*由于系统的结构日益复杂系统的结构日益复杂，对李亚普诺夫稳定理论的研究和应用受到人们的重视；*特别是在从典型的数学函数典型的数学函数及非线性特性非线性特性出发 寻求李亚普诺夫函数方面颁有进展。*李亚普诺夫函数 是对前述的不具有直观性的物理事实的表现，这个“广义能量广义能量”概念与能量概念又不完全相同。李亚普诺夫函数的选取不是唯一的！李亚普诺夫函数的选取不是唯一的！很多情况下李亚普诺夫函数可取为二次型很多情况下李亚普诺夫函数可取为二次型 二次型及其定号性，是该理论的数学基础。()VX X,t t二、数学基础二、数学基础(二次型及其定号性二次型及其定号性)1 1二次型二次型 n个变量个变量 的二
7、次齐次多项式的二次齐次多项式:称为二次型。称为二次型。式中，是二次型的系数。设 ，既对称且均为实数。n,21222112222222121112112211121),(nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaV),2,1,(nkiaikkiikaa用矩阵表示二次型较为方便，即 必须指出，二次型是一个标量二次型是一个标量，最基本的特性就是它的定号性，定号性，也就是V(X X)在坐标原点附近的特性。1112112122221212(),nnnnnnnnaaaaaaVaaa X XX PXX PXT定号性定号性 (1)(1)正定性正定性 当且仅当 X X=0 时，才有V(X X)=0；对任意非零X
8、 X，恒有V(X X)0，则V(X X)为正定。(2)(2)负定性负定性 当且仅当X X0时才有V(X X)0；对任意非零X X，恒有V(X X)0，则V(X X)为负定。(3)(3)正半定性与负半定性正半定性与负半定性 如果对任意X X0，恒有V(X X)0，则V(X X)为正半定。如果对任意X X0，恒有V(X X)0，则V(X X)为负半定。(4)(4)不定性不定性 如果无论取多么小的零点的某个邻域,V(X X)可为正值也可 为负值则V(X X)为不定。赛尔维斯特准则赛尔维斯特准则二次型 或对称矩阵P P为正定的充要条件正定的充要条件是P P的主子行列式均为正的主子行列式均为正，即 如果
9、 则P P为正定，即V(X X)正定。二次型 或对称阵P P为负定的充要条件负定的充要条件是：P P的主子行列式满足的主子行列式满足 (为奇数为奇数)；(为为偶数偶数)=1,2,)=1,2,。返回P PX XX XX XT)(Vnnnnnnaaaaaaaaa212222111211P P,0,0,0222112112111P PnaaaaaP PX XX XX XT)(V0i ii0i i3.23.2李亚普诺夫意义下的稳定性李亚普诺夫意义下的稳定性 研究系统的稳定性问题，实质上是研究系统平衡状态的情况。一般说来，系统可描述为 式中 X X为 n 维状态向量。当在任意时间都能满足 (3.1)时，
10、称 为系统的平衡状态平衡状态。凡满足式(3.1)的一切X X值均是系统的平衡点，对于线性定常系统 ，A A为非奇异时,X X=0是其唯一的平衡状态，如果A A是奇异的则式(3.1)有无穷多解，系统有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。),(tfX XX X0),(tfe eX XeX XX XX XAtf),(X X 由式(3.1)可知，在系统的平衡点，状态变量的变化率为0，由古典控制理论知道，该点即为奇点，因此，系统微分方程式的奇点代表的就是系统在运动过程中的平衡点。任何彼此孤立的平衡点，均可以通过坐标的变换，将其移到坐标原点移到坐标原点，这就是经常以坐标原点作为平衡状态
11、来研究的原因，因此常用的连续系统的平衡状态表达式为 对同一问题用不同理论去研究会得到不同含义的结果与解释。如非线性系统中的自由振荡，古典的稳定性理论认为是不稳定的，而李亚普诺夫稳定性理论则认为是稳定的。0),(tf 0 因此，明确李亚普诺夫意义下的稳定定义是重要的。系统的状态方程为 设 且系统的平衡状态为 。有扰 动使系统在 时的状态为 ，产生初始偏差 ，则 后系统的运动状态从 开始随时间发生变化。由数学中数的概念知道，表示初始偏差都在以 为半径，以平衡状态 为中心的闭球域S()里，其中 称为范数称为范数，分别为 与 的分量。)(),(ttfu uX XX X 0)(tu u0)(,tfeeX
12、 XX X0tt eX XeX X-X X00tt 0X XeX XX X0eX X2120222021100)()()(neneeeX XX XX XX XX XX XX XX X),2,1(0niiei、0X XeX X同样 表示平衡状态偏差都在以 为半径，以平衡状态 为中心的闭球域:S()里。式中范数 为X的分量。)(0tteX XX XeX X212222211)()()(neneeeX XX X).,2,1(nii 下面用二维空间图3.1来说明李亚普诺夫定义下的稳定性。1稳定与一致稳定 设 为动力学系统 的一个孤立平衡状态。如果对球域S()或任意正实数 0，都可找到另一个正实数 或球
13、域 S()，当初始状态 满足 时，对由此出发的X X 的运动轨迹有 ，则此系统为李亚普诺夫意义下的稳定李亚普诺夫意义下的稳定。如果如果 与初始时刻与初始时刻 无关，无关，则称平衡状态则称平衡状态 为一致稳定。为一致稳定。eX X),(tf X XX X),(0t0X X),(00teX XX XetX XX Xlim0teX X2渐近稳定和一致渐近稳定 设 为动力学系统 的一个孤立平衡状态，如果如果 是稳定的，且从充分靠近是稳定的，且从充分靠近 的任一初始的任一初始状态状态 出发的运动轨迹出发的运动轨迹 有 或 即收敛于平衡状态收敛于平衡状态 ，则称称平衡状态平衡状态 为渐近稳定为渐近稳定。如
14、果 与初始时刻 无关，则称平衡状态 为一致渐近稳定一致渐近稳定。渐近稳定性等价于工程意义上的稳定性。),(tf X XX X0limetX XX X),2,1(0)(limniieit0teX XeX XeX XeX XeX X0X XeX X如果对状态空间中的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性。即 对所有点都成立，称平衡状态 为大范围渐近稳定。可见，这样的系统只能有一个平衡状态。由于线性定常系统有唯一解，所以如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定也是大范围内渐近稳定的。),2,1(0)(limniieiteX X 在控制工程中确定大范围内渐近稳定的范围是很重要的，因为渐近稳定性是个
15、局部概念，知道渐近稳定的范围，才能明确这一系统的抗干扰程度、从而可设法抑制干扰，使它满足系统稳定性的要求。古典控制理论的稳定性概念，只牵涉到小的扰动，没有涉及大范围扰动的问题，因此它是有局限性的。3不稳定 如果平衡状态如果平衡状态 既不是渐近稳定的，既不是渐近稳定的，也不是稳定的，当也不是稳定的，当 并无限增大时，并无限增大时，从从 出发的运动轨迹最终超越出发的运动轨迹最终超越 域，则称平衡状态域，则称平衡状态 为不稳定的。为不稳定的。返回eX X0tt SeX X0X X3.3 李亚普诺夫稳定性定理李亚普诺夫稳定性定理定理定理3.13.1 设系统的状态方程为式中，式中，如果有连续一阶偏导数的
16、标量函数 存在，并且满足以下条件：是正定的是正定的；是负定的是负定的。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的渐近稳定的。如果随着 有 ，则在原点处的平衡状态是在大范围内渐近稳定的。),(tf X XX X)(0),0(0tttf)(t tX X,V()V X X,t t()V X X,t t,X X)(t tX X,V例例3.13.1 设系统方程为 试确定其平衡状态的稳定性稳定性。)()(22212122221121xxxxxxxxxx解解:很明显，原点 是给定系统的唯一平衡状态，选取一个正定的标量函数 为则将系统方程代人上式得 （V(X X)为正定）又由于 时，因此系统在平衡点(0，0)是大范围渐
17、近稳定的。)0,0(21)(X XV2212()V X X221122)(X XV22221)(2)(X XVX X)(X XV定理定理3.23.2 设系统的状态方程为式中，。如果存在一标量函数 ，它有连续的一阶偏导数，且满足以下条件：是正定正定的；是负负半半定定的；对任意 和任意 在 时不恒等于零。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果还有 时，则为大范围渐近稳定。式中 表示 时从 出发的解轨迹。),(tf X XX X)(0),0(0tttf)(t tX X,V()V X X,t t()V X X,t t),(00tttX X V0t0,0tt X X)(t tX,X,V),(00ttX
18、X 0tt 0 由于 不是负定的，而只是负半定的，则典型点的轨迹可能与某个特定的曲面 相切。然而,由于 对于任意 和任意 在 时不恒等于零，所以典型点就不可能保持在切点处(在切点上 ），而必须运动到原点.)(t tX X,V)(t tX X,V00(,),tttV X X0t00X X0tt0)(t tX X,V例例3.23.2 设系统方程为确定系统平衡状态的稳定性。解解:显然，原点(0，0)为给定系统的唯一平衡状态。选取标准型二次函数为李氏函数，即 （V(X X)为正定）当 时，因此 是负半定的。212212222112221222),(),(ttX XX XVV0021、0)(t tX X
19、,V0),(0021tX XV时，、)(t tX,X,V 下面我们进一步分析 的定号性，即当 时，是否恒等于零。由于 恒等于零，必需要求 在 时恒等于零，而 恒等于零又必需要求 恒等于零。但从状态方程 来看，在 时，要使 和 ，必需满足 等于零的条件。这表明 只可能在原点 处恒等于零，因此系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。又由于 时,有 ，所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。)(t tX X,V0021、)(t tX X,V222)(t tX X,V0t t212)(X XVX X)(t tX X,V)0,0(2102202122x2x22x0tt 若在例中选取如下正定函数为李氏函
20、数，即 则 是负定的。而且当 时，有 所以系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。由以上分析看出，选取不同的李氏函数选取不同的李氏函数，可能使问题分析得出不同的结果。上面第二种情况下的选择，消除了进一步对 判别的必要性。)()(2221t tX X,VX X,)(t tX X,V)(t tX,X,V定理定理3.33.3 设系统方程为式中，。如果存在一标量函数 ，它具有连续的一阶偏导数，且满足以下条件：是正定正定的；是负半定负半定的，但在某一X X值恒为零。则系统在原点处的平衡状态在李亚普诺夫定义下是稳定的。但非渐近稳定。这时系统可以保持在一个稳定的等幅振荡状态上。),(tf X XX X)(
21、0),0(0tttf)(t tX X,V)(t tX X,V)(t tX X,V例例3.33.3 系统方程为 试确定系统平衡状态的稳定性。解解 显然，原点为平衡状态。选取正定函数为李氏函数，即 则 由上式可见，在任意 X X值上均可保持为零，则系统在李亚普诺夫定义下是稳定的但不是渐近稳定的。1211K)0()()(2221KKt tX X,V02222)(21212211KKKt tX X,V)(t tX,X,V定理定理3.43.4 设系统的状态方程为式中，。如果存在一标量函数 ，它具有连续的一阶偏导数，且满足以下条件：在原点的某一领域内是正定正定的；在同样的领域内是正定正定的；则在原点处的平
22、衡状态是不稳定不稳定的。),(tf X XX X0(0,)0()fttt)(t tX X,V)(t tX X,V)(t tX X,V例例3.43.4 设时变系统的状态方程为 显然坐标原点 为其平衡状态。试判断系统在坐标原点处平衡状态的稳定稳定性。性。teettt22122211cossin)0,0(21解解 可以找一个函数 为显然，为一标量函数，在 平面上的第一、三象限内，有 是正定的。在此区域内取 的全导数得所以当 时，因此根据定理4可知，系统在坐标原点处的平衡状态是不稳定的。返回)(X XV12()2te V X X)(X XV210)(X XV)(22)(22)(2)(222121222
23、1211211ttteeeX XV0)(X XV0)(X XV3.4 3.4 线性系统的李亚普诺夫稳线性系统的李亚普诺夫稳定性分析定性分析 由李亚普诺夫稳定理论可知，在寻求 函数时，要使 和 具有定号性，两者的符号相反，表示稳定两者的符号相反，表示稳定；两者的符号相同，表示不稳定两者的符号相同，表示不稳定；或者希望 或 中至少有一个是定号的，才能对稳定性进行判断。因此在构造 函数时，或者先试构造出 是正定的，然后考察 的符号；或者先给出 是负定的，然后确定 是否为正定；或者使 为正定，从系统稳定性要求出发，推导出对于系统的限制。由上一节例题可见，对于某些简单系统，特别是线性系统或近似线性系统，
24、通常可取 为X X 的二次型。VVVVVVVVVVVV一、一、线性定常系统的稳定性分析线性定常系统的稳定性分析 设线性定常系统为 (3.2)式中，为 维状态向量，是 X 常系数矩阵，假设 是非奇异矩阵。因为判定系统的稳定性，主要取决自由响应，所以令控制作用 =0，由系统状态方程知，系统唯一的平衡状态是原点 。对于式(3.2)确定的系统，选取如下形式的正定无限大 函数，即式中，P P是一个正定的赫米特矩阵(即复空间内的二次型，如果X X是一个实向量则可取正定的实对称矩阵)。沿轨迹的导数为A AX XX XX XnA AnnA Au0X XVP PX XX XX XT)(V)(X XVPA)XPA
25、)XP P(A(AX XPAXPAXX XPXPXA AX XPAXPAXX XPXPXAX)AX)X XP PX XPXPXX XX XTTTTTTTTT()(V对于系统在大范围内渐近稳定性来说，要求 是负定的，因此必须有为负定。式中 (3.3)由上式可知，在已知P P是正定的条件下，找到满足式(3.3)的一个赫米特矩阵(或实对称短阵)Q是正定的，则由式(3.2)描述的系统在原点处的平衡状态，必是大范围内渐近稳定的。这样得到如下定理。)(X XVQ QX XX XT)(X XV)(P PA AP PA AQ QT定理定理3.53.5 设系统状态方程为式中，是 维状态向量，是 常系数矩阵，且是
26、非奇异的。若给定一个正定的赫米特矩阵(包括实对称矩阵)Q Q ，存在一个正定的赫米特矩阵(或实对称矩阵)P，使得满足如下矩阵方程 则系统在X X0处的平衡状态是大范围内渐近稳定的，而标量函数 就是系统的李亚普诺夫函数。对该定理需要说明如下几点。A AX XX XX XnA AnnQ QP PA AP PA ATP PX XX XT 如果 沿任意一条轨迹不恒等于零，则Q Q可取做半正定矩阵。该定理阐述的条件，是充分且必要充分且必要的。因为正定对称矩阵Q Q的形式可任意给定，且最终的判断结果将和Q Q的不同形式选择无关，所以通常取通常取Q QI(I(单位阵单位阵)较为方便。这样线性系统线性系统 平
27、衡状平衡状态态X X0 0为渐近稳定的充要条件为：存在一个正定对为渐近稳定的充要条件为：存在一个正定对称矩阵称矩阵P P，满足矩阵方程满足矩阵方程 将上述定理同从 的特征值分布来分析系统稳定性联系起来看，它实际上就是 中矩阵 的特征值均具有负实部的充要条件。Q QX XX XX XT)(VA AX XX XT A A P PP PA AI IA AA AA AX XX X可以证明，要求特征值均具有小于某一数值的负实部，即 的充要条件(即考虑衰减程度)是：对任意给定的正定对称矩阵Q Q，存在正定对称阵P P，它为矩阵方程 的解。)(ieRQ QP P-PAPAP PA A2T证明证明 用上述定理
28、考察系统 ，若特征值均具有负实部(充要条件是对任意正定对称矩阵Q Q，存在正定对称矩阵P P，满足 )，对系统作平移变换,将 代替上式中的A A，则有即:A AX XX XQ QP PA AP PA ATI IA AQ QA AA A)()(I IP PP PI ITQ QP P-P PA AP PA A2T例例3.53.5 设系统的状态方程为 显然，坐标原点是系统的一个平衡状态,试确定系统在该平衡状态下的渐近稳定性条件，并求出系统的李亚普诺夫函数。212221121121aaaa解解 设系统的李亚普诺夫函数为式中P P由下式决定取Q Q=I I，得展开得解上式得P PX XX XX XT)(
29、VQ QP PA AP PA AT100122211211222112112221121122122111aaaappppppppaaaa1)(20)(1)(2222212122122121122111222121111apapapapaapapapA AA AA AA AA AA AA AA AA AA ArrrrTaaTaaaaTaaaaTaapppp2222212211112122121121221222222122211211P P式中，叫作系统方程中矩阵A A的迹(代表矩阵A A的主对角线上的各元素之和）。是系统矩阵A A的行列式。显然，要使矩阵P P是正定的，必须使于是可得若满足此
30、不等式，必须有2211aaTrA A11 2212 21a aa aA A1111 2212 210,0pp pp p22112212212()()04()raaaaTAA A021122211aaaaA A由 ，可得 ，即故上述系统在原点处是渐近稳定的充要条件为因为系统是线性的，所以在原点处若是渐近稳定的，也是大范围内渐近稳定的。011p0A ArT02211aa00221121122211aaaaaa例例3.63.6 控制系统方块图如图3.3所示。要求系统渐近稳定，试确定增益K的取值范围。解 由3.3可写出系统的状态方程为 rKxxxKxxx0010120010321321若输入r为零，则
31、系统的状态方程为或写成32132110120010 xxxKxxx313322212K 不难看出，原点为系统的平衡状态(因为在原点处 )选取Q Q为正半定实对称矩阵，则 (3.4)100000000Q1230 xxx 由 为负半定的，因为 时，但当 ，而 时，也有 但由于 只在原点处才恒等于零，这是因为若设 除原点外在某X X值情况下也恒为零，则要求 恒为零。但要求 恒为零，就必须要求 也恒为零。由方程可看出，如果 则 也必为零。如果X X恒为零，其中 及 已经恒为零，则 也必恒为零。因此 恒为零的情况只有在原点(即 )处才成立。可见选择式选择式(3.4)(3.4)所示矩阵作为所示矩阵作为Q
32、Q是可行的是可行的，益处是可使数学运算得到简化。23)(Q QX XX XX XTV03210)(X XV0,02103。0)(X XV)(X XV23)(X XV333,0,0331132)(X XV0321设P P为实对称矩阵，且有如下形式由即求得332331232212131211pppppppppP PQ QP PA AP PA ATKKKKKKKKKKKKK212621202122122212602126212122P P 为使矩阵P P为正定，其充分且必要条件由赛尔维斯特准则得到 从而求得 故在0 0K K6 6范围内取K K值，则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。0,0212KK60 K
