1、第第5 5章章 线性定常系统的综合线性定常系统的综合 本章结构本章结构 5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性线性反馈控制系统的基本结构及其特性 5.2 极点配置问题极点配置问题 5.3 系统镇定问题系统镇定问题 5.4 状态观测器状态观测器 5.5 利用状态观测器实现状态反馈的系统利用状态观测器实现状态反馈的系统第第5 5章章 线性定常系统的综合线性定常系统的综合5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性线性反馈控制系统的基本结构及其特性1 问题提出问题提出 前几章我们介绍的内容都属于前几章我们介绍的内容都属于系统的描述与分析系统的描述与分析。系系统的描述统的描述主要解决系统的建模、各种
2、数学模型之间的相互主要解决系统的建模、各种数学模型之间的相互转换等；转换等；系统的分析系统的分析则主要研究系统的定量变化规律则主要研究系统的定量变化规律(如如状态方程的解，即系统的运动分析等状态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为和定性行为(如能控如能控性、能观测性、稳定性等性、能观测性、稳定性等)。而而综合与设计问题综合与设计问题则与此相反，即在已知系统结构和则与此相反，即在已知系统结构和系统数学模型的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某系统数学模型的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。种期望的性能。在在本章本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为中，我们将以状态空间描
3、述和状态空间方法为基础，仍然在时域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计基础，仍然在时域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计方法。方法。2 状态反馈状态反馈把状态乘以一个把状态乘以一个反馈系数反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相减，然后反馈到输入端与参考输入相减形成控制律。形成控制律。0 xAxBuyCxDu：uvKx其中，其中，参考输入；参考输入；状态反馈系数阵状态反馈系数阵对单输入系统，对单输入系统，K为为n维行向量。维行向量。1vr Krn()()KxABK xBvyCDK xDv：uvKx若若D=0()KxABK xBvyCx：闭环系统传递函数为：闭环系统传递函数为：1()()kG sC
4、sIABKB0 xAxBuyCxDu：比较开环系统比较开环系统 与闭环系统与闭环系统 可见，状态反馈阵可见，状态反馈阵K的引入，并不增加系统的维数，但可的引入，并不增加系统的维数，但可通过通过K的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能。获得所要求的性能。0(,)A B C(,)ABK B C3 输出反馈输出反馈把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相减形成控制律。其中，参考输入；输出反馈系数阵对单输入系统，K为m维行向量。xAxBuyCxDu在系统中引入反馈控制律1vr Hrm uvHyxAxBuyCxDu1111()
5、()()()xAB IHDHC xB IHDvyCD IHDHC xD IHDvuvHy1()()()uvH CxDuvHCxHDuIHDvHCx若D=0，状态空间表达式为()xABHC xBvyCx()xABK xBv状态反馈：如果如果KCH输出反馈等价于状态反馈输出反馈等价于状态反馈4 从输出到状态微分从输出到状态微分反馈反馈xAxBuyCxDuxAxGyBuyCxDu()()xAGC xBGD uyCxDu若D=0，状态空间表达式为()xAGC xBuyCx,GAGC B C记作：1()()GWsC sIAGCB把输出乘以一个反馈系数，然后反馈到状态微分端5 闭环系统的能控与能观性闭环系
6、统的能控与能观性定理定理5.1-1：状态反馈不改变原系统的能控性，但却不一定能保证能观性证明：设原系统为 ，是能控的。0(,)A B C：状态反馈后系统,KABK B C211ncQB AB A BAB 212)ncQBABK BABKBABKB)()(,11221ccccQrankQrankQQn 时，当)()(0)(21221ccccQrankQrankIKBIABBBBKABQABBQn 时，当)()(,)()()()(312122ccccccQrankQranknnQrankQrankIKBIKBKBKABBKIBAABBBKBKBBKABABBKBABKBABBBBKABBKABQB
7、AABBQn00022221时，当1200311 1x xuyx状态反馈可能改变系统的能观性，举例说明状态反馈可能改变系统的能观性，举例说明原系统可观，设状态反馈阵原系统可观，设状态反馈阵K=0 4nCAC25111rankrank120(-)011A BKB xxvxunBKACC11111rank)(rank状态反馈系统不能观，原因是当用状态反馈配置的极点与原系状态反馈系统不能观，原因是当用状态反馈配置的极点与原系统零点相对消。统零点相对消。)3)(1(1)(0ssssG原系统)1)(1(1)(ssssGf反馈后定理定理5.1-2：输出至参考输入端的反馈不改变原系统的能观性与能控性定理定理
8、5.1-3：输出至状态导数的反馈不改变原系统的能观性，但可能改变原系统的能控性5.2 极点配置问题极点配置问题5.2 极点配置问题极点配置问题1 问题提出问题提出2 采用状态反馈采用状态反馈0(,)A B C：,KABK B C改变了系统的极点。（1）定理）定理5.2-1 采用状态反馈对 任意配置极点的充要条件是 完全能控。0(,)A B C：0(,)A B C：证明 只证充分性。若0完全能控，通过状态反馈必成立式中，为期望特征多项式。（31）（32）式中 为期望的闭环极点(实数极点或共轭复数极点)。1)若0完全能控，必存在非奇异变换：能将0化成能控标准I型：（33）式中受控系统0的传递函数为
9、：（34）2)加入状态反馈增益阵：（35）可求得对 的闭环状态空间表达式：（36）闭环特征多项式为：式中（37）闭环传递函数为：3)使闭环极点与给定的期望极点相符，必须满足：（38）由等式两边 同次幂系数对应相等可解出反馈阵各系数：于是得：（39）4)最后，把对应于 的 ，通过如下变换，得到对应于状态 的 ：这是由于 的缘故。2 采用状态反馈采用状态反馈5.2 极点配置问题极点配置问题（2）采用状态反馈的步骤：）采用状态反馈的步骤：验证原系统的验证原系统的能控性能控性。定义反馈增益矩阵定义反馈增益矩阵K，闭环系统特征方程闭环系统特征方程。求出求出希望的希望的闭环系统特征方程。闭环系统特征方程。
10、计算计算K121110()()nnnnKkkkfIABKaaa*1*1101()()nnninifaaa 11012nnaa aKkkk,例题：已知线性定常连续系统的状态空间表达式为 01003210uy xxx设计状态反馈增益矩阵K，使闭环系统的极点为1和2，并画出闭环系统的结构图。解：先判断系统的能控性。02rankrankrank226cQBAB系统状态完全能控，可以通过状态反馈任意配置其极点。12kkK令则状态反馈闭环系统的特征多项式为 221121()|()|(32)22(32)fkkkkIABK期望的特征多项式为*2()(1)(2)32f由 ff，求得13K 状态反馈闭环系统的结构
11、图如下：例题例题例题 5.3 系统镇定问题系统镇定问题5.3 系统镇定问题系统镇定问题1 问题提出问题提出5.3 系统镇定问题系统镇定问题2个定理个定理)det()det(0det)det()det(12121cccccccAsIKBAsIAsIKBAKBAsIKBAsIBKAsIuxxxxBAcccc0,0121cccBPBBAAAPAPA证明：证明：由于系统由于系统 A,B 不完全可控，则有可控性结构分解不完全可控，则有可控性结构分解引入状态反馈引入状态反馈,21KKK 例题：系统的状态方程为（2）由动态方程知系统是不能控的，但不能控部分的特征值是-5，位于左半S平面，可知此部分是渐近稳定
12、的。因此该系统是状态反馈能镇定的。：（1）系统的特征值为1，2和5。有两个特征值在右半S平面，因此系统不是渐近稳定的。5,22,22321 jj（1）该系统是否是渐近稳定的？（2）该系统是否是状态反馈能镇定的？（3）设计状态反馈，使期望的闭环极点为100102010050XAXbuXu （3）不能控部分的极点为5，与其中一个期望极点相同。此时，只能对能控部分进行极点配置。设 ，对能控部分进行极点配置。21,kkK 21212121212001kkkkkkkkBKAA 212122121212212122321321kkkkkkkkkkkkkkAIf 8422222 jjf期望的特征多项式为：f
13、f 822432121kkkk131 k202 k由 得：解得：所以反馈阵为：2013 K5.4 状态观测器状态观测器5.5 状态观测器状态观测器1 问题提出问题提出状态反馈实现的前提是获得系统全部状态信息，然而，状态变量并不一定是系统的物理量，选择状态变量的这种自由性本是状态空间综合法的优点之一，但这也使得系统的所有状态变量不一定都能直接量测；另一方面，有些状态变量即使可测，但所需传感器的价格可能会过高。状态观测或状态重构问题正为了克服状态反馈物理实现的这些困难而提出的，其核心是通过系统可量测参量(输出及输入)重新构造在一定指标下和系统真实状态等价的估计状态或重构状态。2 全维状态观测器全维
14、状态观测器设线性定常连续系统的状态空间模型为(A,B,C),即为xABCxuyx在这里设系统的状态矩阵A、输入矩阵B和输出矩阵C都已知。这里的问题是：若状态变量x(t)不能完全直接测量到，如何构造一个系统随时估计该状态变量x(t)。对此问题一个直观想法是：利用仿真技术来构造一个和被控系统有同样动力学性质(即有同样的状态矩阵A,B和C)的如下系统来重构被控系统的状态变量:ABCxxuyx其中 为被控系统状态变量x的估计值。xq 该状态估计系统称为开环状态观测器,B A C u+B A C x x x y开环状态观测器 y x+x 开环状态观测器的结构图 其结构如下图所示。简记为(,),A B C
15、q 比较系统(A,B,C)和 的状态变量,有(,)A B C()(2)(1)()AyyCxxxxxx()()(0)(0)Atttexxxx则状态估计误差 的解为 xx (2)ABCxxuyx (1)xABCxuyx 显然显然,当当 时时,则有则有 ,()()ttxx(0)(0)xx 即估计值与真实值完全相等。即估计值与真实值完全相等。但是但是,一般情况下是很难做到这一点的。这是因为一般情况下是很难做到这一点的。这是因为:2.若矩阵若矩阵A的某特征值位于的某特征值位于s平面的虚轴或右半开平面平面的虚轴或右半开平面上上(实部实部 0),则矩阵指数函数则矩阵指数函数eAt中包含有不随时间中包含有不随
16、时间t趋趋于无穷而趋于零的元素。于无穷而趋于零的元素。1.有些被控系统难以得到初始状态变量有些被控系统难以得到初始状态变量x(0),即不能保即不能保证证 ;(0)(0)xxv 此时若此时若 或出现对被控系统状态或出现对被控系统状态x(t)或或状态观测器状态状态观测器状态 的扰动的扰动,则将导致状态估计则将导致状态估计误差误差 将不趋于零而为趋于无穷或产生将不趋于零而为趋于无穷或产生等幅振荡。等幅振荡。(0)(0)xx()tx()()ttxx()()(0)(0)Atttexxxx 所以,由于上述状态观测器不能保证其估计误差收敛到零,易受噪声和干扰影响,其应用范围受到较大的限制。q 仔细分析便会发
17、现,该观测器只利用了被控系统输入信息u(t),而未利用输出信息y(t),其相当于处于开环状态,未利用输出y(t)的观测误差或对状态观测值进行校正。即,由观测器得到的 只是x(t)的一种开环估计值。()tx)()(tyty)(tx0)()(tyty0)()(ttxxq 显然显然,当当 时时,则有则有 ,但输出可以但输出可以测量，所以根据反馈控制原理，将测量，所以根据反馈控制原理，将 负反馈至状负反馈至状态微分端态微分端 ，控制，控制()(),()()tty ty txx(0)(0)xx B A C H y B A C x y闭环状态观测器 x u-+-x xx 3 状态观测器的设计状态观测器的设
18、计闭环状态观测器的极点可任意配置的充分必要条件是被控系统能观测。设计状态观测器的一般步骤为设计状态观测器的一般步骤为:)(*f)()(*ffH确定)(det)(HcAI f 102102,10,3210cbAnrankcAcrank22002解：解：判断系统的能观性判断系统的能观性所以，系统可观，状态观测器极点可以任意配置。所以，系统可观，状态观测器极点可以任意配置。21hhH设设112221012 02 2323hhA Hchh 则则2112()det()(32)(262)fIAHchhh系统特征方程如下：系统特征方程如下：10020)10()(22*f状态观测器的期望特征方程为状态观测器的
19、期望特征方程为1002622023211hhh581.h5232.h解得解得52358.H即即uy2x图8.10 状态观测器结构图2-3-2y 2 x2-3-223.58.51x1 x 5.5 利用状态观测器实现状态反馈的系统利用状态观测器实现状态反馈的系统1 问题提出问题提出1)用观测器的估计状态来设计状态反馈阵，会不会对原来的状态反馈系统产生影响？2)在状态反馈中加入观测器，会不会影响原系统输入输出特性？设反馈控制律：设反馈控制律：xvuKvxxxxBBKABuAxyC全维状态观测器：全维状态观测器：vxxuxxBHCBKHCAHyBHCA)()()()()(xxxxxxHCAHCAHCA
20、构造构造2n维复合系统：维复合系统：vxxxxxx00BHCABKBKAxxxy0C000)(1BHCAsIBKBKAsICsG注意：注意：1111100TSTRRTSRBBKAsICBHCAsIBKAsICsG111)(0)(0*)(0)(对对2n2n维复合系统的传递函数维复合系统的传递函数 因此,带观测器的闭环系统的传递函数阵完全等于直接采用状态变量作反馈量的闭环系统的传递函数阵,即状态观测器不改变闭环系统的传递函数阵,也就是不改变闭环系统的外部输入输出特性。对对2n2n维复合系统的特征值维复合系统的特征值|0detHCAsIBKAsIHCAsIBKBKAsI分离定理：分离定理：若被控系统
21、（，）可控可观测，用状态观若被控系统（，）可控可观测，用状态观测器估值形成的状态反馈，其系统的极点配置和观测器设计可测器估值形成的状态反馈，其系统的极点配置和观测器设计可以分别进行以分别进行由闭环系统状态空间模型的状态方程可知由闭环系统状态空间模型的状态方程可知,整个闭环系统的特整个闭环系统的特征值由矩阵块征值由矩阵块A-BK的特征值和矩阵块的特征值和矩阵块A-HC的特征值所组成的特征值所组成,即由状态反馈部分的特征值和状态观测器部分的特征值所组即由状态反馈部分的特征值和状态观测器部分的特征值所组成。成。一般在工程上一般在工程上,为保证有较好的控制精度、快速性和超调量等为保证有较好的控制精度、
22、快速性和超调量等动态指标动态指标,状态观测器部分状态观测器部分A-HC的特征值的实部应远小于状态的特征值的实部应远小于状态反馈部分反馈部分A-BK的特征值的实部的特征值的实部,即更远离虚轴。即更远离虚轴。已知系统的状态空间描述为：01,1000,5010 CBA请采用状态观测器实现状态反馈控制，使闭环系统的特征值配置在07.707.71j 所以该系统状态完全能控，通过状态反馈，极点可任意配置。25001001000 rankABBrankQrankc先判断系统的能控性和能观测性：21001 rankCACrankQranko所以该系统状态完全能观，观测器存在且其极点可任意配置。21kkK 设状
23、态反馈增益矩阵为：写出直接反馈下，闭环系统的特征多项式：12221100)5100()5100(1001|)(|)(kkkkBKAIf 由 可以求得：0914.0,121 kk10014.14)07.707.7)(07.707.7()(2*jjf计算期望的特征多项式：)()(*ff 全维状态观测器的特征多项式：2112215551hhhhhHCAI f)()()(为了使观测器的响应速度稍快于系统响应速度，选择观测器特征值为：50,5021 21hhH设反馈增益矩阵Ke为：202595H所以状态观测器的反馈矩阵为：则状态观测器期望的特征多项式为：2500100)50)(22*（f由 可以求得：20259521hh,)()(*ff
