1、第一章第一章现实世界中的数学模型现实世界中的数学模型第一节第一节 现实世界的模型现实世界的模型 在现实生活中，我们对在现实生活中，我们对“模型模型”（Model）这个名词）这个名词并并不陌生。我们经常谈到不陌生。我们经常谈到“物理模型物理模型”、“化学模型化学模型”、“生物生物模型模型”等。等。“原型原型”（Prototype）和）和“模型模型”是一对对偶体。是一对对偶体。原型：是指人们在现实世界里关心、研究或从事生原型：是指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象。在科技领域中通常使用系统、过产、管理的实际对象。在科技领域中通常使用系统、过程等词汇来描述相应的对象。程等词汇来描述
2、相应的对象。模型：指为了某个特定的目的将原型的一部分信息简模型：指为了某个特定的目的将原型的一部分信息简缩、提炼而构成的原型替代物。缩、提炼而构成的原型替代物。尤其要说明的是：模型不是原型原封不动的复制品。尤其要说明的是：模型不是原型原封不动的复制品。原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求与某原型有各个方面和各个层次的特征，而模型只要求与某种目的有关的那些方面和层次。种目的有关的那些方面和层次。模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。模型的基本特征是由构造模型的目的决定的。一、形象模型一、形象模型 根据某种物体的实际大小，按一定比例制作的模型称根据某种物体的实际大小，按一定比例制作的模型
3、称为形象模型。例如汽车模型、建筑模型都是形象模型。为形象模型。例如汽车模型、建筑模型都是形象模型。形象模型又称为直观模型。形象模型又称为直观模型。二、物理模型二、物理模型 物理模型主要指科研工作者为一定的目的根据相似原物理模型主要指科研工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以可以显示原型的外形或相似理构造的模型，它不仅可以可以显示原型的外形或相似特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究模型的特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究模型的某些规律。某些规律。三、思维模型三、思维模型 思维模型是指人们对原型的反复认识，将获取的知识思维模型是指人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验
4、形式直接存储于人脑中，从而可以根据思维或直以经验形式直接存储于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。觉作出相应的决策。思维模型的特征是容易接受，也可以在一定的条件思维模型的特征是容易接受，也可以在一定的条件下或得满意的结果，但是它往往带有模糊性、片面性、下或得满意的结果，但是它往往带有模糊性、片面性、主观性、偶然性等缺点。主观性、偶然性等缺点。四、符号模型四、符号模型 用一些比较生动、鲜明的符号来刻画某种事物的特征，用一些比较生动、鲜明的符号来刻画某种事物的特征，这种模型称为符号模型。例如地图、电路图、化学结构这种模型称为符号模型。例如地图、电路图、化学结构表等。表等。五、数学模型五、
5、数学模型 在初等数学中，我们就已经碰到了数学模型的具体问在初等数学中，我们就已经碰到了数学模型的具体问题，只是那时并不知道这就是数学模型。我们看下面的题，只是那时并不知道这就是数学模型。我们看下面的例子。例子。例例 甲乙两地相距甲乙两地相距740km，某船从甲地到乙地顺水需，某船从甲地到乙地顺水需要要30小时，从乙地到甲地逆水需要小时，从乙地到甲地逆水需要50小时，问船速、水小时，问船速、水速各为多少？速各为多少？分析：在该问题中，两地之间的距离是已知的，并且分析：在该问题中，两地之间的距离是已知的，并且假定在考察问题的时间段中水的流速不变，在这样的假假定在考察问题的时间段中水的流速不变，在这
6、样的假设之下，我们可以得出问题的解。设之下，我们可以得出问题的解。求解求解 设水的流速为设水的流速为 ，船的行驶速度为，船的行驶速度为 ，则当顺，则当顺水航行时有关系水航行时有关系xy30750,xy当船只逆水航行时，有当船只逆水航行时，有50750,yx即有方程组即有方程组30750,50750.xyyx上式即为原问题的数学表达式，又称为数学模型。上式即为原问题的数学表达式，又称为数学模型。容易求出该问题的解：容易求出该问题的解：。即船速为。即船速为20km/h，水速为，水速为5km/h。20,5yx 在上面的例中我们看到数学模型的一般意义：在上面的例中我们看到数学模型的一般意义：对于现实世
7、界的一个特定对象，为了一个特定的目对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，作出一些必要的假设，运用的，根据特有的内在规律，作出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。适当的数学工具，得到一个数学结构。注意：本课程的重点并不是单单介绍现实世界的数学注意：本课程的重点并不是单单介绍现实世界的数学模型，而主要的是介绍建立数学模型的全部过程和求解模型，而主要的是介绍建立数学模型的全部过程和求解过程。过程。建立模型的过程就称为数学建模。建立模型的过程就称为数学建模。第二节第二节 数学建模的重要意义数学建模的重要意义 一、在一般的工程领域中，数学建模仍然大有用武之
8、一、在一般的工程领域中，数学建模仍然大有用武之地。地。二、在高新技术领域中，数学建模几乎是必不可少二、在高新技术领域中，数学建模几乎是必不可少的工具。的工具。三、数学迅速进入一些新兴领域，为数学建模开拓三、数学迅速进入一些新兴领域，为数学建模开拓了许多新的处女地。了许多新的处女地。四、数学建模在国民经济和社会活动中的具体表现：四、数学建模在国民经济和社会活动中的具体表现：1.预报与决策；预报与决策；2.分析与设计；分析与设计；3.控制与优化；控制与优化；4.规划与管理。规划与管理。第三节第三节 数学模型的例子数学模型的例子 一、椅子放稳问题一、椅子放稳问题 问题问题 一个有四个脚的方凳能否在地
9、上放稳，如能一个有四个脚的方凳能否在地上放稳，如能的话，给出具体的方法。的话，给出具体的方法。假设假设1 椅子的四个脚是等长的并且四个脚正好位于一椅子的四个脚是等长的并且四个脚正好位于一个四方形的顶点上；个四方形的顶点上；假设假设2 地面是一张连续变化的曲面；地面是一张连续变化的曲面；假设假设3 在任一时刻。椅子至少有三只脚落地。在任一时刻。椅子至少有三只脚落地。xyABCD1A1B1C1Do 建模建模 设椅子的四只脚位于点设椅子的四只脚位于点 其连线构其连线构成一正方形，对角线的交点为坐标原点，对角线成一正方形，对角线的交点为坐标原点，对角线 为坐标轴（坐标系统如图所示）。为坐标轴（坐标系统
10、如图所示）。,A B C D,ACBD 设设 为为 两点椅子的脚离开地面的距离只和；两点椅子的脚离开地面的距离只和；为为 两点的椅子的脚离开两点的椅子的脚离开地面的距离之和，则由条件得地面的距离之和，则由条件得 f,A C g,B D 00,.2fg 注意到：注意到：并且并且 ,0,0,0.2f gCfg椅子的四脚落地意味着椅子的四脚落地意味着 故不妨假设故不妨假设 0.fg 00,00.fg则问题归结为是否存在则问题归结为是否存在 使得使得00,2000.fg 解模解模 由条件对任意由条件对任意 ，有，有 且且 0,0.fg0,0.22fg令令 ,hfg则则 因因0,2hC 0000,hfg
11、0,222hfg由闭区间连续函数的零点定理知，存在由闭区间连续函数的零点定理知，存在00,200.h使得使得注意到条件：椅子的四个脚中在同一时刻至少有三脚落注意到条件：椅子的四个脚中在同一时刻至少有三脚落地，即地，即0000.fg所以由所以由 ，即有，即有00h000.fg 此说明在问题所设的条件下，椅子可以放稳，并给出此说明在问题所设的条件下，椅子可以放稳，并给出了放稳的具体方法。了放稳的具体方法。注注 若在原问题中，若将一个四方形的椅子改为长方若在原问题中，若将一个四方形的椅子改为长方形的桌子，则该如何求解？形的桌子，则该如何求解？二、人口增长的预报问题二、人口增长的预报问题 随着科学技术
12、的发展，在近几个世纪来，世界人口也随着科学技术的发展，在近几个世纪来，世界人口也得到了快速的的增长。下面的数据表反映了近几个世纪得到了快速的的增长。下面的数据表反映了近几个世纪的人口增长情况。的人口增长情况。年年1625183019301960人口（亿）人口（亿）5102030年年197419871999人口（亿）人口（亿）405060 从表中看出，人口每增加十亿的时间，由一百多年缩从表中看出，人口每增加十亿的时间，由一百多年缩短至十二、三年。常此以往，人口问题将严重困扰世界短至十二、三年。常此以往，人口问题将严重困扰世界经济的发展。经济的发展。下表是我国在下表是我国在20世纪中人口发展的状况
13、：世纪中人口发展的状况：年年1908193319531964人口（亿）人口（亿）3.04.76.07.2年年198219902000人口（亿）人口（亿）10.311.312.95 认识人口数量变化的规律，建立合适的人口模型，作认识人口数量变化的规律，建立合适的人口模型，作出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。下面介绍两个基本的人口模型，并利用表下面介绍两个基本的人口模型，并利用表1给出的近给出的近两个世纪的美国人口统计数据（单位：百万）对模型作两个世纪的美国人口统计数据（单位：百万）对模型作出检验，最后用它预报出检验，最后用它预报2010年美国的人口。
14、年美国的人口。年年179018001810182018301840人口人口3.95.37.29.612.917.1年年185018601870188018901900人口人口23.231.438.650.262.976.0年年191019201930194019501960人口人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3年年1970198019902000人口人口204.0226.5251.4281.4表表1 美国人口数据统计美国人口数据统计 指数增长模型指数增长模型 一个简单的人口模型是指数模型：记今年人口为一个简单的人口模型是指数模型：记今年人口为 ，年增长率为年增长率为
15、 ，则以后第，则以后第 年的人口为年的人口为0 xrk在上面的问题中，假定人口的增长率在上面的问题中，假定人口的增长率 是一个不变的常是一个不变的常数。数。r 200多年前，马尔萨斯基于增长率不变的基础，建立多年前，马尔萨斯基于增长率不变的基础，建立了著名的人口指数模型。了著名的人口指数模型。01.kkxxrtt 建模建模 记时刻记时刻 时的人口为时的人口为 ，并视其为连续变量，并视其为连续变量，初始时初始时 的人口为的人口为 ，从，从 到到 时间内人口的时间内人口的增量为增量为 ，则有，则有 x t0t 0 xtt x .xx ttx tr x tt 令令 则得到则得到 应满足的微分方程：应
16、满足的微分方程：0,t x t 0.0dxrxdtxx由这个方程容易解得：由这个方程容易解得：当当 时，式表明人口将按指数规律无限增长。故时，式表明人口将按指数规律无限增长。故称为指数增长模型。称为指数增长模型。0r 0.rtx tx e 参数估计：式中的参数估计：式中的 和和 可以用表可以用表1中的数据进行中的数据进行估计。为了利用简单的最小二乘法，将式取对数后得估计。为了利用简单的最小二乘法，将式取对数后得0 rx其中：其中：。0ln.lnyxax,yrta 以以1790年到年到1900年的数据拟合式，可得年的数据拟合式，可得0,0.2743/104.1884.xr 年 以以1790年到年
17、到2000年的全部数据拟合式，可得年的全部数据拟合式，可得0,0.2022/106.0450.xr 年17901900实际人口与计算人口的比较实际人口与计算人口的比较24681012t20406080100 x计算人口曲线计算人口曲线实际人口实际人口17902000实际人口与计算人口比较实际人口与计算人口比较5101520t100200300400500 x计算人口曲线计算人口曲线实际人口实际人口年年179018001810182018301840人口人口3.95.37.29.612.917.1x14.25.57.29.512.516.5x26.07.49.111.113.616.6年年185
18、018601870188018901900人口人口23.231.438.650.262.976.0 x121.728.637.649.565.185.6x220.324.930.537.345.755.9表表2 指数增长模型拟合美国人口数据的结果指数增长模型拟合美国人口数据的结果 结果分析结果分析 用上面得到的参数用上面得到的参数 代入式，将计代入式，将计算结果与实际数据作比较得下表，表中计算人口算结果与实际数据作比较得下表，表中计算人口 是用是用1790年的数据拟合的结果；计算人口年的数据拟合的结果；计算人口 是用全部数据拟是用全部数据拟合的结果，用这个模型基本上能够描述合的结果，用这个模型
19、基本上能够描述19世纪以前美国世纪以前美国人口的增长情况，但是进入人口的增长情况，但是进入20世纪后，美国人口增长明世纪后，美国人口增长明显放慢，此时模型不再适合了。显放慢，此时模型不再适合了。0,r x1x2x年年191019201930194019501960人口人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3x1x268.483.7102.5125.5153.6188.0年年1970198019902000人口人口204.0226.5251.4281.4x1x2230.1281.7344.8422.1 从历史上看，指数增长模型与十九世纪以前欧洲一些从历史上看，指数增长模型与
20、十九世纪以前欧洲一些地区人口统计数据可以很好地吻合，此外，以此模型作地区人口统计数据可以很好地吻合，此外，以此模型作短时间里的人口预测可以得到较好地结果。原因是此时短时间里的人口预测可以得到较好地结果。原因是此时人口的增长率几乎是一个不变的常数。人口的增长率几乎是一个不变的常数。但是，从长期看，任何地区、任何国家的人口不可但是，从长期看，任何地区、任何国家的人口不可能无限增长，这是因为人口的增长率实际上是在不断能无限增长，这是因为人口的增长率实际上是在不断地变化。一般情况下，当人口较小时，增长较快；当地变化。一般情况下，当人口较小时，增长较快；当人口达到一定数量时，增长率明显下降。因而用平均人
21、口达到一定数量时，增长率明显下降。因而用平均增长率增长率 来代替变化增长率来代替变化增长率 ，会与实际结果有较，会与实际结果有较r r t大的差距。大的差距。阻滞增长模型（阻滞增长模型（Logistic模型）模型）分析分析 当人口增长到一定数量后，自然资源、环境条当人口增长到一定数量后，自然资源、环境条件等因素对人口的增长会起到一个阻滞作用，并且随着件等因素对人口的增长会起到一个阻滞作用，并且随着人口的不断增加，阻滞作用会越来越大。阻滞增长模型人口的不断增加，阻滞作用会越来越大。阻滞增长模型就是基于这个事实，对指数增长模型的基本假设进行修就是基于这个事实，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到
22、的。改后得到的。建模建模 设增长率设增长率 随人口数量随人口数量 的增长而下降，则关的增长而下降，则关系式可改写成系式可改写成rx 0,0dxr x xdtxx其中其中 是是 的减函数。进一步假定，设的减函数。进一步假定，设 是是 的线的线性函数，即性函数，即 r xx r xx (,0)r xrsxr s这里这里 称为固有增长率。引入称为固有增长率。引入 ，称为人口容量，即，称为人口容量，即rx当当 时，人口不再增长，即时，人口不再增长，即 代入式代入式得得 于是式为于是式为xx0,r x,rsx 1.xr xrx把代入方程，得把代入方程，得 01,0,dxxrxdtxxx方程右端的因子方程
23、右端的因子 体现人口自身的增长趋势，因子体现人口自身的增长趋势，因子rx 则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。1xx注意到：注意到：越大，前一因子越大，而后一因子越小，人越大，前一因子越大，而后一因子越小，人口的增长是两个因子共同作用的结果。口的增长是两个因子共同作用的结果。x100200300400510152025 以以 为横轴，为横轴，为纵轴作为纵轴作出方程的图形。从该图形出方程的图形。从该图形中可以大致描绘出中可以大致描绘出 的的图形。图形。xdxdt x t51015202530100200300Logistic模型模型 xt 曲线曲线 参
24、数估计参数估计 为了利用简单的线性最小二乘法估计这个模型的参数为了利用简单的线性最小二乘法估计这个模型的参数 和和 ，将方程表为，将方程表为rx/,dx dtrrsx sxx 用数值微分和曲线拟合，利用从用数值微分和曲线拟合，利用从1860到到1990年的数年的数据计算得到据计算得到 /10年，年，0.2557r 392.0886.x 结果分析：用上面的数据代入方程的解：结果分析：用上面的数据代入方程的解：.11rtxx txe将计算结果与实际数据加以对比：有下面的图表将计算结果与实际数据加以对比：有下面的图表年年179018001810182018301840人口人口3.95.37.29.6
25、12.917.1x13.95.06.58.310.713.7年年185018601870188018901900人口人口23.231.438.650.262.976.0 x117.522.328.335.845.056.2表表3 阻滞增长模型拟合美国人口数据的结果阻滞增长模型拟合美国人口数据的结果年年191019201930194019501960人口人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3x169.785.5103.9124.5147.2171.3年年1970198019902000人口人口204.0226.5251.4281.4x1196.2221.2245.3510
26、1520t50100150200250 x阻滞增长型拟合图形（阻滞增长型拟合图形（17901990）计算人口曲线计算人口曲线实际人口实际人口 从数据中可以看出，在阻滞增长模型中虽然有一段时从数据中可以看出，在阻滞增长模型中虽然有一段时间，数据拟合的情况不是很好，但在最后一段时间，吻间，数据拟合的情况不是很好，但在最后一段时间，吻合得相当不错。合得相当不错。以该数据来预测以该数据来预测2000年的人口情况，我们有年的人口情况，我们有20001990274.5,xxx 与实际数据有约与实际数据有约 的误差，可以认为该模型是能够的误差，可以认为该模型是能够令人满意的。令人满意的。2.5%将将2000
27、年的数据加入，可以预测到在年的数据加入，可以预测到在2010年美国人年美国人口将达到口将达到 百万。百万。306.0 三、传染病的蔓延问题三、传染病的蔓延问题 问题问题 当某种传染病流行时，得病者人数是如何变化当某种传染病流行时，得病者人数是如何变化的？在何时病人的增加率最大？有关部门应如何控制传的？在何时病人的增加率最大？有关部门应如何控制传染病的蔓延？染病的蔓延？模型一模型一 假设：病人是通过与他人接触而将病菌传染给他人假设：病人是通过与他人接触而将病菌传染给他人的。进一步地假设，在单位时间内一个病人能传染的人的。进一步地假设，在单位时间内一个病人能传染的人数为定量，记作数为定量，记作 ，
28、称其为传染系数。，称其为传染系数。0k 建模建模 设时刻设时刻 ，有病人数，有病人数 ，且初始时，且初始时再设从时刻再设从时刻 到时刻到时刻 时间段中病人的增量为时间段中病人的增量为t i t 00.iittt 0,ii tti tk i tt 从而有从而有 0.ik i tt令令 则有微分方程，并有初始条件则有微分方程，并有初始条件0,t 00,0.dik i tdtii从而问题转变为一个常微分方程的初值问题从而问题转变为一个常微分方程的初值问题.解模解模 方程为一阶线性齐次常系数微分方程，方程方程为一阶线性齐次常系数微分方程，方程的通解为的通解为 0.k ti tCe再由初始条件得初值问题
29、的解为再由初始条件得初值问题的解为 00.k ti ti e式表明，病人数将按指数规律无限制地增加，即式表明，病人数将按指数规律无限制地增加，即 lim.ti t 实际问题是，一个地区的人口总数是一个有限数，故实际问题是，一个地区的人口总数是一个有限数，故上面的模型并不适用上面的模型并不适用.模型二模型二 假设假设 1.在传染病流行的地区里，总人口数在传染病流行的地区里，总人口数 是不变是不变的的;n 2.在单位时间内一个病人能传染的健康人数量是个变在单位时间内一个病人能传染的健康人数量是个变量量 .因为随着病人数的增加，健康人的数量在减少，因为随着病人数的增加，健康人的数量在减少，从而从而
30、也会减少也会减少.为此假定为此假定 与健康人数量成正比与健康人数量成正比,其其比例系数为比例系数为 ，仍然称为传染系数，仍然称为传染系数.0k0k0kk 建模建模 设时刻设时刻 时有病人数时有病人数 健康人数健康人数 。初始时刻初始时刻 时有病人数时有病人数 .t,i t s t0t 0i 由假定由假定1，有，有 在时刻在时刻 到到 的时间段中，病人数的增量为的时间段中，病人数的增量为ttt ,ii tti tks t i tt .i ts tn两边同除以两边同除以 ，并令其趋于零，则有微分方程，并令其趋于零，则有微分方程t 0,0diks t i tki nidtii如此，把问题转变成一个微
31、分方程如此，把问题转变成一个微分方程.解模解模 此方程是一个一阶可分离变量的微分方程，容此方程是一个一阶可分离变量的微分方程，容易解出易解出:,dikdtini两边积分，得两边积分，得11,dikndtiniln,ikntCni再由初始条件，得再由初始条件，得00ln,iCni所以方程的解为所以方程的解为00lnln,iikntnini变形后有变形后有00,kntniienii即即001.kntineini00,kntinieini所以所以001,kntnineii 从而原方程的解为从而原方程的解为 0.11kntni tnei曲线的大致图形如下：曲线的大致图形如下：分析：当分析：当 时，时，
32、此表明所有的人都将成为病人，此表明所有的人都将成为病人，这也是不合理的这也是不合理的.因为最终病人因为最终病人数将趋于零数将趋于零.t ,i tntinO0t()i t 此模型的一个应用是，利用该模型可以预测该传染病此模型的一个应用是，利用该模型可以预测该传染病何时会达到最大值何时会达到最大值.对式求导并令其为零，则有对式求导并令其为零，则有 20,ddididikniidtdtdtdtdik nidt由方程由方程 0,diks t i tki nidt从而方程意味着从而方程意味着即在病人数达到总人数的一半时，病人数的增加率达到即在病人数达到总人数的一半时，病人数的增加率达到最大最大.,2ni
33、 tdidt/2ndidtn 将代入将代入,得最传染得最传染病高峰时刻为病高峰时刻为001ln1.ntkni 模型三模型三 假设假设:1.在传染病流行的区域内，总人口数在传染病流行的区域内，总人口数 是不变是不变的的;n 2.在单位时间内，一个病人能传染的健康人数量成正在单位时间内，一个病人能传染的健康人数量成正比，其比例系数记为比，其比例系数记为 ，称为传染系数。，称为传染系数。k 3.在单位时间内，一个病人通过治疗或其它过程能够在单位时间内，一个病人通过治疗或其它过程能够不再成为病人的可能性记为不再成为病人的可能性记为 ，称为恢复系数。，称为恢复系数。l 建模建模 设时刻设时刻 有病人有病
34、人 人，健康人人，健康人 ，免疫者，免疫者 人，初始时刻有病人人，初始时刻有病人 及免疫人数为及免疫人数为0.t i t s t r t0i 由假设由假设1及及3得得 ,i ts tr tn,drl i tdt 从时刻从时刻 到时刻到时刻 的时段中病人数的增量为的时段中病人数的增量为ttt ,iks t i ttr 其中其中 为免疫者数量的增量。把为免疫者数量的增量。把 除以上式的两边，除以上式的两边，并令其趋于零，则有微分方程：并令其趋于零，则有微分方程：rt ,didrks t i tks t i tli tdtdt再由式得再由式得0,didsdrdsdidrksidtdtdtdtdtdt
35、 所以所以 0,0diksilidtii 00,0dsksidtssni 如此，模型三归结为求解一阶非线性微分方程组的初值如此，模型三归结为求解一阶非线性微分方程组的初值问题问题.上面方程组的求解是极为困难的。我们从另一个角度上面方程组的求解是极为困难的。我们从另一个角度来进行讨论来进行讨论.引入量引入量 ，称为特征系数，则微分方程转变为，称为特征系数，则微分方程转变为lk001,diksilidsksisi si此方程为变量可分离的微分方程，分离变量后求解：此方程为变量可分离的微分方程，分离变量后求解：001,1,isisdidsdidsss得得000ln,siisss由此得到初值问题的解为
36、由此得到初值问题的解为0ln,sisns 解的分析解的分析 由于由于故解曲线必定在下述一个三角形区域内：故解曲线必定在下述一个三角形区域内：0,0,0,i ts tr t ,i ts tn r tn,0,0,.Ds i sisin 由知由知 即随时间即随时间 的增加，健康人数的增加，健康人数 将减少。再将减少。再由知当由知当 时，时，此时病人数达到了极大值此时病人数达到了极大值0,dsdttss0si max.i 再来看当时间在增加时病人数和健康人数的极值情再来看当时间在增加时病人数和健康人数的极值情况。况。由于由于 由极限存在准则：故极限值由极限存在准则：故极限值 0,0,dss tdts
37、0,drr tndt存在，且由于存在，且由于 故极限值故极限值 存在。从而由存在。从而由r式式知极限值式式知极限值insr必存在，且必存在，且0.i 其次，假定其次，假定 则由则由 当当 相当大时，有相当大时，有 0,it,2drlrdt 此与此与 的存在性矛盾，所以的存在性矛盾，所以r0.i 从图中可以看出，在健康人数初始值从图中可以看出，在健康人数初始值 的条件的条件下，当时间下，当时间 时，健康人数量时，健康人数量减少，而病人数减少，而病人数 先增加，在达先增加，在达到极大值到极大值 后再减少；而在健后再减少；而在健康人数初始值康人数初始值 的条件下，的条件下，i0stsmaxi0sma
38、xisx00,s isi0s当时间当时间 增加时，健康人数量增加时，健康人数量 减少，病人数量减少，病人数量 也减也减少。少。ts 结论：只有当结论：只有当 时传染病才会蔓延。时传染病才会蔓延。0si 数量数量 称为阀值。显然称为阀值。显然 越大则越不容易使传染病蔓越大则越不容易使传染病蔓延。由延。由 的定义知，欲使的定义知，欲使 增大，可使恢复系数增大，可使恢复系数 增大增大和传染系数和传染系数 值降低。其实际意义是：提高医疗水平及值降低。其实际意义是：提高医疗水平及提高卫生保健水平，是预防传染病蔓延的良好途径。提高卫生保健水平，是预防传染病蔓延的良好途径。lk 从以上的分析中可以看到，模型
39、三还是比较符合实际从以上的分析中可以看到，模型三还是比较符合实际情况的。情况的。应应 用用 应用模型三，我们来估计一次传染病流行过程中被传应用模型三，我们来估计一次传染病流行过程中被传染者的总数。染者的总数。若一次被传染病流行后健康人数量为若一次被传染病流行后健康人数量为 ，则被传染者，则被传染者的总数为的总数为s显然，显然，应该满足中的应该满足中的 时的形式时的形式s0i 0.xss 因为一般有因为一般有 故故 代入、代入、，得近似方程，得近似方程，000,00,irr0,sn0ln0.ssns0ln 10.xxs 又由于又由于 由幂级数展开式，为由幂级数展开式，为 01,xs20010,2
40、xxxss略去较高项，有略去较高项，有解出，得解出，得20010,2xxss001.2ssxmaxisx00,s isi0s若记健康人数量超过阀值部分为若记健康人数量超过阀值部分为 ，即，即0,s则被传染者总数为则被传染者总数为21.x 特别地，当健康人数量的初始值超过阀值部分很小特别地，当健康人数量的初始值超过阀值部分很小时，即时，即 时，就有时，就有2.x 从上面的几个式中可以看到，在阀值从上面的几个式中可以看到，在阀值 提高后，提高后，值值将变小，于是，一次传染病流行过程中被传染者总数将变小，于是，一次传染病流行过程中被传染者总数也会变小。也会变小。x 在上面的讨论中，参数在上面的讨论中
41、，参数 可以由实际数据估计得到的。可以由实际数据估计得到的。因初始值因初始值 从而从而 故由得故由得00,i 0000,nisrs00ln0,ssss从而从而00.lnlnssss检检 验验 所建立的模型在应用于实践前，还必须用已往的一些所建立的模型在应用于实践前，还必须用已往的一些经验和统计资料做一番检验。如果它与实际数据吻合，经验和统计资料做一番检验。如果它与实际数据吻合，则该模型可以用于实际的应用；如果它与实际数据吻合则该模型可以用于实际的应用；如果它与实际数据吻合得不好，则该模型还不能做定量的应用。在后一种情况得不好，则该模型还不能做定量的应用。在后一种情况下，则需要对模型做进一步地修
42、改，直到模型与实际数下，则需要对模型做进一步地修改，直到模型与实际数据吻合为止。据吻合为止。假设有一组数据，该数据反映的是某医院每周的传染假设有一组数据，该数据反映的是某医院每周的传染病病人病愈和死亡的情况：（时间单位病病人病愈和死亡的情况：（时间单位 为一周）为一周）t时间时间1234N治愈治愈人数人数1r2r3r4rNr 今以这组数据来检验模型三。为此首先求出今以这组数据来检验模型三。为此首先求出 与与 的的关系：由关系，关系：由关系，得微分方程，得微分方程rt00,.r rdsksisdrl iss 该初值问题的解为该初值问题的解为0.rss e代入式得到代入式得到.rdrl nrsed
43、t由于病愈和死亡的人数由于病愈和死亡的人数 将指数函数按幂级数展将指数函数按幂级数展开：开：,r2323111,23!rrerr 代入到上式，并略去高阶项后得：代入到上式，并略去高阶项后得：200201,20.tsdrsl nsrrdtr(21)用分离变量法求得上面方程的解用分离变量法求得上面方程的解 2001tan,2sl tr ts其中其中000022/11,arctan,snsss由前式得到由前式得到2220,2 ch2rdrllttdts 当当 则上式成为则上式成为1t(22)2,chArBt(23)其中，其中，220,22llABs(24)下面介绍参数下面介绍参数 的确定方法：的确定
44、方法：,A B 当参数当参数 各取定某个数值时，对于各取定某个数值时，对于由公式由公式(23)可确定相应的理论值：可确定相应的理论值：,A B1,2,tN2.chtArBt 构造理论值和实际值间的误差平方和函数如下：构造理论值和实际值间的误差平方和函数如下：21,chNtAE A BBt 通过在一定的范围中寻找参数通过在一定的范围中寻找参数 的值的值使值使值,A B*,A B*min,EE A B成为函数成为函数 的一个极小值。的一个极小值。,E A B 如果如果 很小，则说明理论公式计算得到的值是非常很小，则说明理论公式计算得到的值是非常接近实际值的，说明模型是经得起检验的；如果接近实际值的
45、，说明模型是经得起检验的；如果 比比较大，则说明理论计算得到的值与实际值有相当大的差较大，则说明理论计算得到的值与实际值有相当大的差距，因此需要进行修改。距，因此需要进行修改。minEminE Kermak和和Mckendrick利用本世纪初在印度孟买发生利用本世纪初在印度孟买发生的依次瘟疫中死亡人数的历史统计资料老检验模型三，的依次瘟疫中死亡人数的历史统计资料老检验模型三，求得参数值求得参数值 使得使得 为很为很小，从而验证了模型三的合理性。小，从而验证了模型三的合理性。890,0.2,3.4ABminE 我们做了三个传染病蔓延数学模型，一个比一个更接我们做了三个传染病蔓延数学模型，一个比一
46、个更接近实际。一次次对问题进行简化和修改，建立了愈来愈近实际。一次次对问题进行简化和修改，建立了愈来愈复杂但更符合实际情况的数学模型。复杂但更符合实际情况的数学模型。第四节第四节 建立数学模型的方法和步骤建立数学模型的方法和步骤 从上面的几个例子中我们看到建立数学模型的基本方从上面的几个例子中我们看到建立数学模型的基本方法为：法为：一、模型的准备一、模型的准备了解问题和问题的特征；了解问题和问题的特征；二、模型的假设二、模型的假设对问题作出某些必要和合乎实际的对问题作出某些必要和合乎实际的假设；假设；三、模型的建立三、模型的建立用适当的数学关系来刻画问题的内用适当的数学关系来刻画问题的内部关系
47、；部关系；四、模型的求解四、模型的求解用适当的数学工具，对模型中的数用适当的数学工具，对模型中的数学关系进行求解；学关系进行求解；五、模型的分析五、模型的分析对求出的解进行数学上的分析：对对求出的解进行数学上的分析：对解中的各个变量寻找数学上的关系，从而找出这些关系解中的各个变量寻找数学上的关系，从而找出这些关系的实际意义；的实际意义；六、模型检验六、模型检验用以往的数据对模型进行检验，以考用以往的数据对模型进行检验，以考察该模型是否具有实际意义；察该模型是否具有实际意义；七、模型的应用七、模型的应用对通过检验的模型再应用于实际中。对通过检验的模型再应用于实际中。1.怎样解决下面的实际问题怎样
48、解决下面的实际问题,包括需要哪些数据资料包括需要哪些数据资料?做些什么什么观察和实验做些什么什么观察和实验?练习练习估计一个人体内的重量估计一个人体内的重量;估计一种日光灯的寿命估计一种日光灯的寿命;决定十字路口的交通灯信号的设计决定十字路口的交通灯信号的设计;一高层办公楼有一高层办公楼有4部电梯部电梯,早上班时非常拥挤早上班时非常拥挤,试指定试指定合理的运行计划合理的运行计划.2.在椅子放稳问题中在椅子放稳问题中,将椅子改为长方形的办公桌将椅子改为长方形的办公桌,该如该如何解决这个问题何解决这个问题.3.在人口增长模型中在人口增长模型中,假定人口增长服从这样的规律假定人口增长服从这样的规律:时时刻刻 的人口为的人口为 从从 到到 时间人口的增量与时间人口的增量与 成正比成正比,（其中（其中 为最大容量）为最大容量）,试建立模型试建立模型并求解并求解,并做出解的图形并与指数增长模型并做出解的图形并与指数增长模型,阻滞增长阻滞增长t,x tttt mxx tmx模型的结果进行比较模型的结果进行比较.
