1、平面向量的数量积的物理背景平面向量的数量积的物理背景及其含义及其含义向量的夹角向量的夹角 两个非零向量两个非零向量a 和和b，作，作 ，则，则 叫做向量叫做向量a 和和b 的夹角的夹角aOA bOB AOB)1800(OABab OABba若若 ，a 与与b 同向同向0 OABba若若 ，a 与与b 反向反向180 OABab 若若 ，a 与与b 垂直，垂直，90 ba 记作记作0.:,两两向向量量的的夹夹角角定定义义 两两向向量量必必须须是是同同起起点点的的 范范围围是是注注意意复习回顾复习回顾问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般
2、向量，其结果又该如何表述？般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。cosSFW|a|bcosba功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；平面向量的数量积的定义平面向量的数量积的定义说明：说明：已知两个已知两个非零非零向量向量a 和和b，它们的夹角为，它们的夹角为 ，我们把，我们把数量数量 叫做叫做a 与与b 的数量积（或内积），记作的数量积（或内积），记作a b ，即，即 cos|ba cos|baba （2）a b中间的中间的“”在向量的运算中不能省略，也不能在向量的运算中不能省略，也不能写写 成成a
3、b，ab 表示向量的另一种运算（外积）表示向量的另一种运算（外积）规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为0，即即 00a（1）问题问题3 3：向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的结果有什么不同？结果有什么不同？实数同向量积的实数同向量积的线性运算的结果是线性运算的结果是向量向量两向量的数量积是一个实数，是一个两向量的数量积是一个实数，是一个数量数量问题问题4：影响数量积大小的因素有哪些？：影响数量积大小的因素有哪些？a b|a|b|cos这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。这个数值的大小不仅和向量与的
4、模有关，还和它们的夹角有关。夹角夹角 的范围的范围 900 9018090的正负ba正正负负0数量积符号由数量积符号由cos 的符号所决定的符号所决定平面向量的数量积的运算性质平面向量的数量积的运算性质问题问题5 5：设：设a与与b都是非零向量，若都是非零向量，若ab，则，则ab等于多少？等于多少？反之成立吗？反之成立吗？ab ab0问题问题6 6：当：当a与与b同向时，同向时，ab等于什么？当等于什么？当a与与b反向时，反向时，ab等于什么？特别地，等于什么？特别地，aa等于什么？等于什么？当当a与与b同向时，同向时，abab；当当a与与b反向时，反向时，abab；aaa2a2或或a .aa
5、问题问题7 7：ab与与ab的大小关系如何？为什么的大小关系如何？为什么？abab 问题问题8：对于向量：对于向量a，b，如何求它们的夹角，如何求它们的夹角？.cosbaba 12,9,54 2,.ababab 例：已知求与的夹角212abaa bb 例：已知，满足：=9，求的取值范围。（）（）a b|a|b|.（）（）ab a b=0.(判断两向量垂直的依据判断两向量垂直的依据)|.2或a aaaa a特别地，特别地，（）当（）当a与与b同向时，同向时，ab|a|b|；当当a与与b反向时，反向时，ab|a|b|.cos.a bab（）（）平面向量的数量积的运算性质平面向量的数量积的运算性质设
6、向量设向量a、b为两非零向量，为两非零向量，e是与是与b同向的单位向量：同向的单位向量：例例1.1.已知已知，当，当，与与的夹角是的夹角是6060时，分别求时，分别求.解：当时，若与同向，则它们的夹角，cos036118；若与反向，则它们的夹角180，cos18036（-1）18；当时，它们的夹角90，；当与的夹角是60时，有cos6036219,00ABCABa ACba ba bABC 1 1、已已知知中中，当当或或时时，试试判判断断的的形形状状。练习:,0ABCABa BCba bABC 变变式式：已已知知中中，当当时时，试试判判断断的的形形状状。平面向量数量积的几何意义平面向量数量积的
7、几何意义向量向量a在在b方向上的投影方向上的投影是什么？是什么？投影一定是正数吗？投影一定是正数吗？|b|cos叫向量叫向量b 在在a 方向上的方向上的投影投影bOBaOA ，作作，过点，过点B作作1BB垂直于直线垂直于直线OA，垂足为，垂足为 ，则，则1B 1OB|b|cosOABab 1BacosC说明：说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。）投影也是一个数量，不是向量。（1）OABab 1BBOAab 1BOABab)(1B为锐角时，为锐角时，|b|cos0为钝角时，为钝角时，|b|cos0为直角时，为直角时，|b|cos=0当当 =0 时投影为时投影为|b|当当 =180 时投影为时
8、投影为-|b|.问题问题4 4：根据投影的概念，数量积：根据投影的概念，数量积ab=a|bcos的几何意义是什么？的几何意义是什么？数量积数量积ab等于等于a的模与的模与b在在a方向上的方向上的投影投影bcos的乘积，或等于的乘积，或等于b的模与的模与a在在b方向上的投影方向上的投影acos的乘积的乘积.上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（上的投影为在时）当（夹角为与若abbababababa000012041203902301,8|,4|32024练一练：练一练：类比实数的乘法运算律：()()()a bb aab ca bcabca ba c 交换律：结合律：分配律：
9、数量积的运算律：数量积的运算律：关于向量的数量积运算：关于向量的数量积运算：平面向量的数量积平面向量的数量积运算律运算律数量积运算不满足乘法结合律。数量积运算不满足乘法结合律。交换律：交换律：abba分配律：分配律：cbcacba)(思考：ab与ba相等吗？为什么？思考：对于非零向量a，b，c，(ab)c表示什么意义？(ab)c与a(bc)相等吗？为什么？思考：对于向量a，b，c，(ab)c表示什么意义？它与acbc相等吗？为什么？问题问题:我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些 运算运算律对向量是否也适用？律对向量是否也适用？数乘结合律：数乘结合律：(a)b
10、(ab)a(b)12 1A1BABOabCc2B1|cos|cosOBOBab 11|cosOAa1122|cosABABb 如图可知：如图可知：111112|cos|cos|cosOBOAABabab 12|cos|cos|coscabcac b()abca cb c ()abca cb c ()cabc ac b 判断下列命题或等式的正确与否判断下列命题或等式的正确与否若若b0b0，ab=0ab=0，则，则a=0a=0若若ab=bc，(b0)，则，则a=c（a b）c=a（b c）a b0 b0 若若，a0那那么么a bb c b0ac 若若（），那那么么a b ca b c （）（）错误
11、错误错误错误错误错误 3646023.abababab 例例、已已知知，与与 的的夹夹角角为为，求求 222222(1)2(2)ababaabbababab 例例、对对 任任 意意 向向 量量，是是 否否 有有 以以 下下 结结 论论：4 34ababkakbakb 例例、已已知知，与与 不不共共线线，为为何何值值时时，向向量量与与互互相相垂垂直直？利用平面向量数量积求解利用平面向量数量积求解长度长度问题问题|aa a 1(2008)12,3,abababab 例例上上海海:已已知知，向向量量 与与 的的夹夹角角为为，求求变式：变式：32,13ababababab 若若，求求:(1 1)(2
12、2)与与的的夹夹角角的的余余弦弦值值.(2008)13,1205ababab 练练习习江江苏苏:已已知知，向向量量 与与 的的夹夹角角为为，求求利用平面向量数量积求解利用平面向量数量积求解夹角夹角问题问题|cosbaba 32,23,abamn bnmab 变变 式式：若若 两两 个个 单单 位位 向向 量量与与 的的 夹夹 角角 为为，求求与与 的的 夹夹 角角 例：例：已知已知a、b都是非零向量，且都是非零向量，且a+3b与与7a 5b垂直，垂直，a 4b与与7a 2b垂直，求垂直，求a与与b的夹角的夹角(2007)21,1b.abaaba 练练习习：上上海海:已已知知，（）求求，354,
13、3k2kabababab :已已知知，向向量量 与与 的的夹夹角角为为，如如果果（）（）,求求实实数数 的的值值.6332baababab 4 4:已已知知，向向量量 与与 的的夹夹角角为为，且且（）（）=-7 72 2,求求.一一.辨析辨析1 1若若a=0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b=02 2若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b,有有a b03 3若若a 00，a b=0，则，则b=0.4 4若若a b=0，则，则a,b中至少有一个为中至少有一个为0.对任意向量对任意向量 a 有有.(a a 常记作常记作a2)22aacbcabaa则，若,0.6练习:小结小结1
14、.向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是算不同的是，数量积的运算结果是数量数量而不是向量而不是向量.2.实数的运算性质与向量的实数的运算性质与向量的运算性质运算性质不不完全一致，应用完全一致，应用时不要似是而非时不要似是而非.3.常用常用a 求向量的求向量的模模.常用求向量的常用求向量的夹角夹角.a a2.4.1 平面向量
15、的数量积的物理背景及其含义平面向量的数量积的物理背景及其含义cosa bab一、平面向量数量积的定义一、平面向量数量积的定义:已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ，它们的夹角为，它们的夹角为 ,我们把数量我们把数量 叫做叫做 与与 的的数量积数量积(或或内积内积),记作记作 .abbacosbaabcosbaba规定：零向量与任意向量的数量积为规定：零向量与任意向量的数量积为000 a 向量的数量积是一个数量，那么向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？它什么时候为正，什么时候为负？当当090时时 ab 0当当90180时时 ab 0当当=90时时 ab=0cosbaba
16、二、投影二、投影:B1OABba A1OABba cosacosb 叫做向量叫做向量 在在 方向上方向上(向量向量 在在 方向上方向上)的的投影投影.ba)cos(cosbaba 向量向量 在方向在方向 上的上的投影投影是数量是数量,不是向量不是向量,什么时候为正，什么时候为负？什么时候为正，什么时候为负？cosbbaOABab 1BOABab)(1BBOAab 1BOABbaOABba0cosb0cosb0cosbbbcosbbcoscos.a baabab 数量积等于 的长度与 在 的方向上的投影数量的乘积abBAO三、平面向量数量积的几何意义三、平面向量数量积的几何意义:cos|bcos
17、baba四、平面向量数量积的运算率四、平面向量数量积的运算率:(1)交换律交换律：(2)数乘结合律数乘结合律：(3)分配律分配律：abba)()()(bababacbcacba)(数量积不满足数量积不满足结合律结合律和和消去率消去率)()(cbacbabacbca221.a aaa2224.2abaa bb 222.ababab 3.abcda ca db cb d 金榜112.7.8.9平面向量数量积的重要性质平面向量数量积的重要性质:设设ba、是非零向量，是非零向量，be是与方向相同的方向相同的 单位向量，单位向量，ea与是的夹角，则的夹角，则:cos1aaeea 02baba判断两个向量
18、判断两个向量垂直垂直的依据的依据同向时与当baba|,|反向时与当baba|,|ba/3ba2aaaa或 224aaaa求向量求向量模模的依据的依据 baba cos5求向量求向量夹角夹角的依据的依据 baba6平面向量数量积的重要性质平面向量数量积的重要性质:00180,0已知已知 ，你能得出，你能得出 的坐标吗？的坐标吗？),(),(2211yxbyxa ba 22222,).,()1(yxayxayxa 则则若若2121yyxxba 0).,(),()2(21212211 yyxxbayxbyxa，设设结论结论212121212211,cos).,(),()3(yxyxyyxxbabab
19、ayxbyxa ，设设自学例5，例6解：）（）（babak202）（）（babak021222bbakak）（0260cos1222bbakako）（042214512252）（kk1514k垂垂直直。与与时时，向向量量当当babakk21514 一、利用向量的垂直解题一、利用向量的垂直解题:54602oaba bkka b ab例3、已知，与 的夹角为，问当 为何值时，向量与垂直？例例1:22225ababaa bb 222225,25aabb 解：因为25cos5 5 cos32a bab 22225 3ababaa bb 5aba ba b a b 例2、已知，向量 与的夹角为，求，？3
20、例例2:二、利用二、利用 求模求模:aaaa2解：解：224263m nnmm n 223a bmnnm 例3、设m和n是两个单位向量，其夹角为，3求a=2m+n，b=2n-3m的夹角？例例3:三、利用三、利用 求夹角求夹角:cosbaba2262mnnm27623cos22mnnm 例3、设m和n是两个单位向量，其夹角为，3求a=2m+n，b=2n-3m的夹角？例例3:三、利用三、利用 求夹角求夹角:cosbaba222am nm n7b 同理712cos277a ba b 32,0解：解：2244nnmm73cos4422nnmm，求的夹角为与，已知练习obaba12032:babababa3232122解：解：3)21(32120cos1obaba 22352323bbaababa 59422222baba34271583120cos5222bbaao 79642)(4222bbaababa 199642)(5222bbaababa baba54【总一总总一总成竹在胸成竹在胸】公式变公式变形形特殊特殊化化数形数形结合结合几何几何意义意义(1)如何用坐标表示平面向量数量积如何用坐标表示平面向量数量积;(2)如何运用平面向量数量积的坐标表如何运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题示解决有关长度、角度及垂直问题.
