1、 - 1 - 数数 学学 理理 科科 试试 卷卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . 1、设xR R，则“x1”是“x 31”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2、设命题p：“任意x0，xx 43 loglog”，则非p为( ) A存在x0，xx 43 loglog B存在x0，xx 43 loglog C任意x0， xx 43 loglog D任意x0，xx
2、 43 loglog 3、已知椭圆x 2 a 2y 2 b 21(ab0)上任意一点P到两焦点的距离之和为 6，且椭圆的离心率为 1 3，则椭圆方程为( ) A.x 2 3 y 2 21 B. x 2 9 y 2 81 C. x 2 2 y 2 31 D. x 2 8 y 2 91 4某学校有男、女学生各 500 名，为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在 显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( ) A抽签法 B随机数法 C系统抽样法 D分层抽样法 5、双曲线C：x 2 a 2y 2 b 21(a0，b0)的焦距为 2c，焦点到双曲线C的渐近线的距
3、离为c 2， 则双曲线C的离心率为( ) A2 B. 3 C. 6 2 D.2 3 3 6、已知直线axy10 经过抛物线y 24x 的焦点，则直线与抛物线相交弦的弦长为 ( ) A6 B7 C8 D9 7、某设备的使用年限x(单位：年)与所支付的 维修费用y(单位：千元)的一组数据如下表： 从散点图分析，y与x线性相关，根据上表中数 据可得其线性回归方程y bxa中的b1.54.由此预测该设备的使用年限为 6 年时需支付的 维修费用是( ) A7.2 千元 B7.8 千元 C8.1 千元 D9.5 千元 8、下图是一容量为 100 的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位 数
4、为( ) 使用年限x 2 3 4 5 维修费用y 2 3.4 5 6.6 - 2 - A11 B11.5 C12 D12.5 9、设 P 是椭圆 x2 25 y2 9 1 上一点，M，N 分别是两圆：(x4)2y21 和(x4)2y2 1 上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为( ) A9,12 B8,11 C8,12 D10,12 10、.如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，D是棱PB的中点，已知PABC2， AB4，CBAB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为( ) A 30 10 B 30 5 C. 30 5 D. 30 10 11、已知函数f(x)x 2txt，xR
5、，f(x)0，函数 g(x)3x 22(t1)xt， 则 “ a ， b (0,1) ， 使 得g(a) g(b) 0” 为 真 命 题 的 概 率 是 ( ) - 3 - A.1 2 B. 1 3 C. 1 4 D.1 5 12、如图，已知四棱锥P ABCD的底面ABCD是等腰梯形，ABCD，且ACBD， AC与BD交于O，PO底面ABCD，PO2，AB2 2，E，F分别是AB，AP的中点 则二面角F -OE -A的余弦值为_ A. 3 3 B. 3 3 C. 3 6 D. 3 6 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 2020 分
6、分. . 13、给出以下三个命题： 若 ab，则 am2bm2； 在ABC 中，若 sinAsinB，则 AB； 在一元二次方程 ax2bxc0 中，若 b24ac0， 4t1212t0， 解得 0t1， “a，b(0,1)，使得 g(a)g(b)0”为真命题的概率是10 40 1 4. 12、解析：以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示 的空间直角坐标系Oxyz， 由题知，OAOB2， 则A(0，2,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，E(1，1,0)， F(0，1,1)，则OE (1，1,0)， OF (0，1,1)， 设平面OEF的法向量为 m(
7、x，y，z)， 则 mOE 0， mOF 0， 即 xy0 yz0. 令x1，可得 m(1,1,1) 易知平面OAE的一个法向量为 n(0,0,1)，则 cosm，n mn |m|n| 3 3 . 由图知二面角FOEA为锐角，所以二面角FOEA的余弦值为 3 3 . 答案：B 13、解析：对于其原命题和逆否命题为假，但逆命题和否命题为真；对于其原命题、 逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对于其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为 假答案： - 8 - 14、解析：设样本数据的平均数为 x ，则 yi2xi1 的平均数为 2 x 1，则 y1，y2， y2 018的方差为 1 2 018(2x
8、112 x 1) 2(2x 212 x 1) 2(2x 2 01812 x 1) 2 4 1 2 018(x1 x ) 2(x 2 x ) 2(x 2 018 x ) 24416.答案：16 15、)0( 1 9 2 2 x y x 16、解析：设 C 到平面 GEF 的距离为 h，连接 AC 交 EF 于点 O，连接 GO，则 CO3 4AC 3 44 23 2， GO GC2CO 2 418 22，又 VGEFCVCEFG， 1 3 1 2 3 2 2 2 221 3 1 22 2 22h，得 h 6 11 11 . 答案：6 11 11 17、解：Ax|x26x80x|2x4，Bx|(x
9、a)(x3a)0 时，Bx|ax3a，则 a2， 3a4， 解得4 3a2. 当 a0 时，Bx|3ax0 时，Bx|ax3a则 a4 或 3a2，即 0a2 3或 a4. 当 a0 时，Bx|3axa，则 a2 或 a4 3，即 a0. 当 a0 时，B，AB. 综上，a 的取值范围为 ，2 3 4，) 18、 （1）解：从 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛的所有可能结果为A，B，A， C，A，X，A，Y，A，Z，B，C，B，X，B，Y，B，Z，C，X，C，Y，C， Z，X，Y，X，Z，Y，Z，共 15 种 选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能结果
10、为A，Y， A，Z，B，X，B，Z，C，X，C，Y，共 6 种 因此，事件 M 发生的概率 P(M ) 6 15 2 5. - 9 - （2）解析：设第一串彩灯亮的时刻为 x，第二串彩灯亮的时刻为 y， 则 0x4， 0y4， 要使两串彩灯亮的时刻相差不超过 2 秒， 则 0x4， 0y4， 2xy2. 如图，不等式组 0x4， 0y4 所表示的图形面积为 16， 不等式组 0x4， 0y4， 2xy2 所表示的六边形 OABCDE 的面积为 16412， 由几何概型的公式可得 P12 16 3 4. 19、解：(1)居民月收入在3 000,4 000)的频率为(0.000 30.000 1)
11、5000.2. (2)第一组和第二组的频率之和为(0.000 20.000 4)5000.3， 第三组的频率为 0.000 55000.25， 因此，可以估算样本数据的中位数为 2 0000.50.3 0.25 5002 400(元) (3)第四组的人数为 0.000 550010 0002 500， 因此月收入在2 500,3 000)的这段应抽 2 500 100 10 00025(人) 20、解：(1)从 5 名学生中任取 2 名学生的所有情况为：(A4，A5)、(A4，A1)、(A4，A2)、(A4， A3)、(A5，A1)、(A5，A2)、(A5，A3)、(A1，A2)、(A1，A3
12、)、(A2，A3)共 10 种情况，其中至少有 一人物理成绩高于 90 分的情况有：(A4，A5)、(A4，A1)、(A4，A2)、(A4，A3)、(A5，A1)、(A5， A2)、(A5，A3)共 7 种情况，故上述抽取的 5 人中选 2 人，选中的学生的物理成绩至少有一人的 成绩高于 90 分的概率 P 7 10. (2)散点图如图所示 可求得 x 8991939597 5 93， y 8789899293 5 90， 5 i1 (xi x )(yi y )30， 5 i1 (xi x ) 2(4)2(2)202224240，b30 400.75， a y b x 20.25， 故 y 关
13、于 x 的线性回归方程是：y 0.75x20.25. - 10 - 21、解：(1)证明：因为底面 ABCD 和侧面 BCC1B1是矩形， 所以 BCCD，BCCC1， 又因为 CDCC1C， 所以 BC平面 DCC1D1， 因为 D1E平面 DCC1D1， 所以 BCD1E. (2)证明：因为 BB1DD1，BB1DD1， 所以四边形 D1DBB1是平行四边形 连接 DB1交 D1B 于点 F，连接 EF，则 F 为 DB1的中点 在B1CD 中，因为 DECE，DFB1F， 所以 EFB1C. 又因为 B1C平面 BED1，EF平面 BED1， 所以 B1C平面 BED1. (3)由(1)
14、可知 BCD1E， 又因为 D1ECD，BCCDC， 所以 D1E平面 ABCD. 设 G 为 AB 的中点，以 E 为原点，EG、EC、ED1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴， 如图建立空间直角坐标系， 设 D1Ea，则 E(0,0,0)、B(1,1,0)、D1(0,0，a)、C(0,1,0)、B1(1,2，a)、G(1,0,0)，设平面 BED1法向量为 n(x，y，z)， 因为EB (1,1,0)，ED 1 (0,0，a)， 由 n EB 0， n ED1 0， 得 xy0， z0， 令 x1，得 n(1，1,0) 设平面 BCC1B1法向量为 m(x1，y1，z1)， 因为CB
15、(1,0,0)，CB 1 (1,1，a)， 由 m CB 0， m CB1 0 得 x10， x1y1az10. 令 z11，得 m(0，a，1) 由平面 BCC1B1与平面 BED1所成的锐二面角的大小为 3， 得|cosm，n|m n| |m|n| a 2 a21cos 3，解得 a1. - 11 - 22、解：(1)由已知条件，得 b 3，且2a2c 2 33 3， ac3.又, 1, 2, 3 22 caca 椭圆的方程为. 1 34 22 yx (2)显然，直线的斜率不能为 0， 设直线的方程为 xmy1，).,(,A 221 1 yxByx）（ 联立方程，得 1 , 1 34 22
16、 myx yx 消去 x 得， 096)43( 22 myym 直线过椭圆内的点， 无论 m 为何值，直线和椭圆总相交 . 43 9 , 43 6 2 21 2 21 m yy m m yy | 22 2 21 2 21212121 )43( 1 124)( 2 1 2 m m yyyyyyyyFFs ABF ) 1(9 1 3 2 ) 1( 1 4 ) 3 1 1( 1 4 2 222 2 m mm m ， 令 tm211，设 f(t)t 1 9t， 易知 t 0，1 3 时，函数 f(t)单调递减，t 1 3， 时，函数 f(t)单调递增， 当 tm211，即 m0 时，f(t)取得最小值，f(t)min10 9 ， 此时， ABF s 2 取得最大值 3.
