1、 南京市、 盐城市 2020 届高三年级第一次模拟考试 数 学 试 题 一、 填空题（ 本大题共 14 小题， 每小题 5 分， 计 70 分， 不需写出解答过程， 请把答 案写在答题纸的指定位置上） 1.已知集合 A 0，) ， 全集U R ， 则CU A =_. 2.设复数 z 2 i ， 其中i 为虚数单位， 则 z z _. 3.学校准备从甲、 乙、 丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查， 则甲被选中的概率为 _. 4.命题“ R，cos sin 1 ”的否定是_命题（ 填“真”或“假”） . 5.运行如图所示的伪代码， 则输出的 I 的值为_. 6.已知样本 789，x，y 的平均
2、数是 9， 且 xy 110 ， 则此样本的方差是_ 7.在平面直角坐标系 xOy 中， 若抛物线 y2 4x 上的点 P 到其焦点的距离为 3， 则点 P 到点O 的距离为_. 8.若数列an是公差不为 0 的等差数列， lna1、 lna2、 lna5 成等差数列， 则 2 1 a a 的值为_. 9.在三棱柱 ABC A1B1C1 中， 点 P 是棱CC1 上一点， 记三棱柱 ABC A1B1C1 与四棱锥 P ABB1A1的体积分别为V1和V2 ， 则 2 1 V V _. 10.设函数 的图像与 y 轴交点的纵坐标为 3 2 ， y 轴右侧 第一个最低点的横坐标为 6 ， 则 的值为
3、_. 11.已知 H 是 ABC 的垂心（ 三角形三条高所在直线的交点） ， ， 则 cosBAC 的值为_. 12.若无穷数列cos(n)( R) 是等差数列， 则其前10项的和为_. 13.已知集合 P (x， y) xx yy 16， 集合Q (x， y) kx b1 y kx b2 ， 若 P Q ， 则 的最小值为_. 14.若对任意实数 x(，1， 都有 1 成立， 则实数 a 的值为_. 二、二、 解答题（解答题（ 本大题共本大题共 6 小题，小题， 计计 90 分分.解答应写出必要的文字说明，解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算证明过程或演算 步骤，步骤， 请把答案写在答
4、题纸的指定区域内）请把答案写在答题纸的指定区域内） 15.（ 本小题满分 14 分） 已知 ABC 满足 2cos（B 6 ）2cosB （ 1） 若 cos C 6 3 ，AC 3， 求 AB ； （ 2） 若A（0， 3 ），且 cos( BA) 4 5 ，求 sin A. 16.（ 本小题满分 14 分） 如图， 长方体 ABCD A1B1C1D1中， 已知底面 ABCD 是正方形， 点 P 是侧棱 CC1上的 一点. （ 1） 若 AC1 平面 PBD， 求 1 PC PC 的值； （ 2） 求证： BD A1P . 17.（ 本小题满分 14 分） 如图，是一块半径为 4 米的圆形铁
5、皮， 现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶。 具体做法是 从圆O 中裁剪出两块全等的圆形铁皮圆 P 与圆Q ， 做圆柱的底面， 裁剪出一个矩形 ABCD 做圆柱的侧面， AB 为圆柱的一条母线， 点 A、 B 在圆O 上， 点 P、 Q 在圆O 的一条 直径上， 圆 P 与圆Q 分别与直线 BC、 AD 相切，都与圆O 内切. （ 1） 求圆形铁皮圆 P 半径的取值范围； （ 2） 请确定圆形铁皮圆 P 与圆Q 半径的值， 使得油桶的体积最大.（ 不取近似值） 18. （ 本小题满分 16 分） 设椭圆 C: 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点分别为 F1， F2 ， 离心率是
6、e ， 动点 P(x0， y0) 在 椭圆上运动， 当PF2 x 轴时， x0 1， y0 e. （ 1） 求椭圆方程； （ 2） 延长 PF1， PF2 分别交椭圆 A， B （A， B 不重合） ，设 求 的最小值. 19. （ 本小题满分 16 分） 定义： 若无穷数列an满足an1 a n是公比为 q 的等比数列， 则数列an为“ M (q) 数 列”， 设数列bn中b1 1，b3 7. （1） 若 b2 4 ， 且数列bn是“ M (q) 数列”， 求数列bn的通项公式； （2） 设数列bn的前 n 项和为 Sn ， 且 ，请判断数列bn是否为“ M (q) 数列”， 并说明理由；
7、（ 3） 若数列bn是“ M (2)数列”， 是否存在正整数 m， n 使得 ? 若存在， 请求出所有满足条件的正整数 m， n ； 若不存在， 请说明理由. 20. （ 本小题满分 16 分） 若函数 f (x) ex aex mx(m R) 为奇函数， 且 x x0时 f (x) 有极小值 f (x0) （ 1） 求实数 a 的值； （ 2） 求实数 m 的取值范围； （ 3） 若f (x0) 2 e 恒成立， 实数 m 的取值范围. 南京市、 盐城市 2020 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题部分 21. 【 选做题】 （在 A、 B、 C 三个小题中只能选做 2 题， 每小题 10
8、 分， 计 20 分.请 把答案写在答题纸的指 定区域内） A.（ 选修 4-2： 矩阵与变换） 已知圆C 经矩阵 M变换后得到圆C : x2 y 2 13，求实数a 的值. B .（ 选修 4-4： 坐标系与参数方程） 在极坐标系中， 直线 cos 2 sin m 被曲线 4sin 截得的弦为 AB，当 AB 是最长 弦时， 求实数m 的值. C.（ 选修 4-5， 不等式选讲） 已知正实数 a，b，c 满足 1，求 a 2 b 3 c的最小值. 【 必做题】 （ 第 22、 23 题， 每小题 10 分， 计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22. （ 本小题满分 10 分）
9、如图， AA1、 BB1 是圆柱的两条母线， A1B1、 AB 分别经过上下底面圆的圆心O1、 O ， CD 是下底面与 AB垂直的直径， CD 2. （1） 若 AA1 3， 求异面直线 A1C 与 B1D 所成角的余弦值； （2） 若二面角 A1 CD B1 的大小为 3 ， 求母线 AA1的长. 23.（ 本小题满分 10 分） 设 （ 1） 求 Sn; （ 2） 记恒成立. 南南京市、盐城市京市、盐城市 20202020 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案数学参考答案 一、填空题一、填空题：本大题共本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，计
10、分，计 7070 分分. . 1(,0 25 32 3 4真 56 62 72 3 83 9 2 3 107 11 3 3 1210 134 14 1 2 二、解答题：二、解答题：本大题共本大题共 6 小题，计小题，计 90 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把 答案写在答题纸的指定区域内答案写在答题纸的指定区域内. 15解： （1）由sin()2cos 6 BB 可知BBBcos2cos 2 1 sin 2 3 ， 移项可得3tanB，又), 0(B，故 3 B， 2 分 又由 6 cos 3 C ，), 0(C可知 3
11、3 cos1sin 2 CC， 4 分 故在ABC中，由正弦定理 C c B b sinsin 可得 C ABAC sin 3 sin ，所以2AB. 7 分 （2）由（1）知 3 B，所以0, 3 A 时，) 3 , 0( 3 A， 由 4 cos 5 BA即 5 4 ) 3 cos( A 可得 5 3 ) 3 (cos1) 3 sin( 2 AA ， 10 分 10 334 5 3 2 1 5 4 2 3 ) 3 sin( 3 cos) 3 cos( 3 sin) 3 ( 3 sin(sin AAAA . 14 分 16 （1）证明：连结AC交BD于点O，连结OP， 又因为 1/ / AC
12、平面PBD， 1 AC平面 1 ACC 平面 1 ACC平面OPBDP ，所以 1/ / ACOP 3 分 因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O ， 所以点O是AC的中点，所以AOOC， 所以在 1 ACC中， 1 1 PCAO PCOC . 6 分 （2）证明：连结 11 AC. 因为 1111 ABCDABC D为直四棱柱，所以侧棱 1 C C垂直于底面ABCD， 又BD 平面ABCD，所以 1 CCBD 8 分 因为底面ABCD是正方形，所以ACBD 10 分 又 1 ACCCC，AC 面 11 ACC A， 1 CC 面 11 ACC A， 所以BD 面 11 ACC A
13、. 12 分 又因为 1111 ,PCC CCACC A面,所以 11 PACC A面，又因为 111 AACC A面， 所以 A1P面 ACC1A1,所以 1 BDA P 14 分 17解： （1）设P半径为r，则)2(4rAB， 所以P的周长 2 )2(41622rBCr， 4 分 解得 4 16 2 r，故P半径的取值范围为 4 16 , 0( 2 . 6 分 （2）在（1）的条件下，油桶的体积)2(4 22 rrABrV， 8 分 设函数),2()( 2 xxxf 4 16 , 0( 2 x， 所以 2 34)(xxxf，由于 3 4 4 16 2 ， 所以( )0fx在定义域上恒成立
14、， 故( )f x在定义域上单调递增， 即当 4 16 2 r时，体积取到最大值. 13 分 答：P半径的取值范围为 4 16 , 0( 2 ，当 4 16 2 r时，体积取到最大值. 14 分 18.解： （1）由当 2 PFx轴时 0 1x ，可知1c， 2 分 将 0 1x ， 0 ye代入椭圆方程得 2 22 1 1 e ab （） ， 而 1c e aa ， 2222 1baca，代入（）式得 222 11 1 (1)aa a ， 解得 2 2a ， 故 2 1b ， 椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y. 4 分 （2）方法一：设 11 ( ,)A x y，由 11 AFFP得
15、10 10 1(1)xx yy ，故 10 10 1xx yy ， 代入椭圆的方程得 2 2 0 0 (1) ()1 2 x y （） ， 8 分 又由 2 2 0 0 1 2 x y得 2 2 0 0 1 2 x y ，代入（）式得 222 00 1 (1)2(1)2 2 xx， 化简得 2 0 3212 (1)0x ，即 0 (1)(31 2)0x ，显然10 ， 0 31 20x ， 故 0 1 32x .12 分 同理可得 0 1 32 u x ，故 2 000 1162 3232943xxx ， 当且仅当 0 0x 时取等号，故的最小值为 2 3 . 16 分 方法二：由点A，B不重
16、合可知直线PA与x轴不重合，故可设直线PA的方程为1xmy， 联立 2 2 1 2 1 x y xmy ，消去x得 22 (2)210mymy （） ， 设 11 ( ,)A x y，则 1 y与 0 y为方程（）的两个实根， 由求根公式可得 2 0,1 2 22 2 mm y m ，故 01 2 1 2 y y m ，则 1 2 0 1 (2) y my ， 8 分 将点 00 (,)P xy代入椭圆的方程得 2 2 0 0 1 2 x y， 代入直线PA的方程得 00 1xmy， 0 0 1x m y ， 由 11 AFFP得 10 yy，故 1 0 y y 22 22 0 0 0 0 1
17、1 1 (2) ()2 x my y y 22 22 000 00 111 1 (1)232 (1)2(1) 2 xyx xx .12 分 同理可得 0 1 32 u x ，故 2 000 1162 3232943xxx ， 当且仅当 0 0x 时取等号，故的最小值为 2 3 . 16 分 注： （1）也可设( 2cos ,sin )P得 1 32 2cos ，其余同理. （2）也可由 11 6 运用基本不等式求解的最小值. 19解： （1） 2 4b ，且数列 n b是“ M q数列”， 32 21 74 1 4 1 bb q bb ， 1 1 1 nn nn bb bb ， 11nnnn
18、bbbb ，2 分 故数列 n b是等差数列，公差为 21 3bb， 故通项公式为1 (1) 3 n bn ，即32 n bn. 4 分 （2）由 1 1 2 2 nn bSn 得 2 3 2 b， 3 437b，故1. 方法一：由 1 1 21 2 nn bSn 得 21 1 2(1) 1 2 nn bSn ， 两式作差得 211 1 2 2 nnn bbb ，即 21 1 3 2 nn bb ， 又 2 5 2 b ， 21 1 3 2 bb， 1 1 3 2 nn bb 对nN 恒成立，6 分 则 1 11 3() 44 nn bb ，而 1 13 0 44 b ， 1 0 4 n b
19、， 1 1 4 3 1 4 n n b b ， 1 4 n b 是等比数列， 8 分 1 111 (1) 33 444 nn n b ， 11 3 44 n n b ， 21 21 1 1 1111 (3)(3) 4444 3 1111 (3)(3) 4444 nn nn nn nn bb bb ， 1nn bb 是公比为3的等比数列， 故数列 n b是“ M q数列”.10 分 方法二：同方法一得 1 1 3 2 nn bb 对nN 恒成立， 则 21 1 3 2 nn bb ，两式作差得 211 3() nnnn bbbb ，而 21 3 0 2 bb， 1 0 nn bb ， 21 1
20、3 nn nn bb bb ，以下同方法一. 10 分 （3）由数列 n b是“ 2M数列”得 1 121 () 2n nn bbbb ， 又 32 21 2 bb bb ， 2 2 7 2 1 b b ， 2 3b ， 21 2bb， 1 2n nn bb ， 当2n时， 112211 ()()() nnnnn bbbbbbbb 12 222 121 nnn ， 当1n 时上式也成立，故21 n n b ， 12 分 假设存在正整数,m n使得 40394040 20192019 m n b b ，则 4039214040 2019212019 m n ， 由 214039 1 212019
21、 m n 可知2121 mn ，mn，又,m n为正整数，1m n， 又 212(21)21214040 2 2121212019 mm nnm nm n m n nnn ， 4040 23 2019 m n ，1m n， 211 2 2121 m nn ， 403914040 2 2019212019 n ， 20202 2 2021 n ，10n，11m， 故存在满足条件的正整数,m n，11m，10n. 16 分 20解： （1）由函数)(xf为奇函数，得0)()(xfxf在定义域上恒成立， 所以 0 mxaeemxaee xxxx ， 化简可得 0)()1 ( xx eea， 所以1a
22、. 3 分 （2）法一：由（1）可得mxeexf xx )(， 所以 x xx xx e mee meexf 1 )( 2 ， 其中当2m时，由于01 2 xx mee 恒成立， 即0)( x f恒成立，故不存在极小值. 5 分 当2m时，方程01 2 mtt 有两个不等的正根)(, 2121 tttt， 故可知函数mxeexf xx )(在),(ln),ln,( 21 tt上单调递增， 在)ln,(ln 21 tt上单调递减，即在 2 lnt处取到极小值， 所以，m的取值范围是), 2( . 9 分 法二：由（1）可得mxeexf xx )(， 令meexfxg xx )()(， 则 x x
23、 xx e e eexg 1 )( 2 ， 故当0x时，0)( x g；当 0x时， 0)( x g， 5 分 故)(xg在)0 ,(上递减，在), 0( 上递增， mgxg2)0()( min ， 若02m，则0)(xg恒成立，)(xf单调递增，无极值点； 所以02)0(mg，解得2m， 取mtln，则0 1 )( m tg， 又函数)(xg的图象在区间, 0t上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间), 0(t上，存在 0 x 为函数)(xg的零点，)( 0 xf为)(xf极小值. 所以，m的取值范围是 ), 2( . 9 分 （3）由 0 x满足 mee xx 00 ， 代入mxee
24、xf xx )(， 消去 m 可得 00 )1 ()1 ()( 000 xx exexxf ， 11 分 构造函数 xx exexxh )1 ()1 ()(， 所以)()( xx eexxh ，当0x时，0 1 2 x x xx e e ee ， 所以当0x时，0)( x h恒成立，故 h(x)在0，+)上为单调减函数，其中 e h 2 ) 1 (， 13 分 则 0 2 ()f x e 可转化为 0 ()(1)h xh， 故1 0 x，由 mee xx 00 ，设 xx eey ， 可得当0x时，0 xx eey， xx eey 在 1 , 0(上递增，故 e em 1 ， 综上，m的取值范
25、围是 1 , 2( e e . 16 分 附加题答案 21.（A）解：设圆C上一点( , )x y，经矩阵M变换后得到圆 C 上一点( ,)x y， 所以 3 32 axx yy ，所以 3 32 axyx xyy ，5 分 又圆 22 :13Cxy，所以圆C的方程为 22 (3 )(32 )13axyxy， 化简得 222 (9)(612)1313axaxyy， 所以 2 913 6120 a a ，解得2a. 10 分 21.（B）解：以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系， 由直线cos2 sinm，可得直角坐标方程为20xym， 又曲线4sin，所以 2
26、 4 sin，其直角坐标方程为 22 (2)4xy， 5 分 所以曲线4sin是以(0,2)为圆心，2为半径的圆， 为使直线被曲线（圆）截得的弦AB最长，所以直线过圆心(0,2)， 于是02 20m ，解得4m. 10 分 21.（C）解：因 123 1 abc ，所以 149 1 23abc ， 由柯西不等式得 2 149 23(23 )()(123) 23 abcabc abc ， 即2336abc， 5 分 当且仅当 149 23 23 abc abc ，即abc时取等号，解得6abc， 所以当且仅当6abc时，23abc取最小值 36. 10 分 22解： （1）以CD，AB， 1 O
27、O所在直线建立如图所示空间直角坐标系Oxyz， 由2CD ， 1 3AA ，所以(0, 1,0)A，(0,1,0)B，( 1,0,0)C ，(1,0,0)D， 1(0, 1,3) A， 1(0,1,3) B， 从而 1 ( 1,1, 3)AC ， 1 (1, 1, 3)B D ， 所以 11 222222 1 1 1 ( 1)( 3) ( 3)7 cos, 11 ( 1)1( 3)1( 1)( 3) AC B D ， 所以异面直线 1 AC与 1 B D所成角的余弦值为 7 11 . 4 分 （2）设 1 0AAm，则 1(0, 1, )Am， 1(0,1, )Bm， 所以 1 ( 1,1,)
28、ACm ， 1 (1, 1,)B Dm ，(2,0,0)CD ， 设平面 1 ACD的一个法向量 1111 ( ,)nx y z， 所以 11 11111 20 0 n CDx nACxymz ， 所以 1 0x ，令 1 1z ，则 1 ym， 所以平面 1 ACD的一个法向量 1 (0,1)nm， 同理可得平面 1 BCD的一个法向量 2 (0,1)nm， 因为二面角 11 ACDB的大小为 3 ，所以 12 2222 () 1 11 cos, 2 1()1 mm n n mm ， 解得3m或 3 3 m ， 由图形可知当二面角 11 ACDB的大小为 3 时, 3m. 10 分 注：用传
29、统方法也可，请参照评分. 23解： （1）令1x得 0122 0 n aaaa， 令1x得 122 0123212 3 333(91) 2 nn nn aaaaaa ， 两式相加得 0242 3 2()(91) 2 n n aaaa， 3 (91 ) 4 n n S . 3 分 （2） 123 123 ( 1)n n nnnnnn TS CS CS CS C 112233123 3 999( 1) 9 ( 1) 4 nnnnn nnnnnnnn CCCCCCCC 001122330123 3 9999( 1) 9 ( 1) 4 nnnnn nnnnnnnnnn CCCCCCCCCC 00112
30、233 3 9999( 1) 9 4 nnn nnnnn CCCCC 001122 3 ( 9)( 9)( 9)( 9) 4 nn nnnn CCCC 33 1 ( 9)( 8) 44 nn 7 分 要证 3 | 6 n Tn，即证 3 8 4 n 3 6n，只需证明 13 8nn ，即证 1 2nn ， 当1,2n 时， 1 2nn 显然成立； 当3n时， 101101 11111 21 (1) nn nnnnn CCCCCnn ，即 1 2nn ， 1 2nn 对 * nN恒成立. 综上， 3 | 6 n Tn恒成立. 10 分 注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明 1 2nn 恒成立，请参照评分.
