1、小结与复习第十二章 全等三角形八年级数学上（八年级数学上（RJRJ）能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的角叫做对应角.重合的边叫做对应边，要点梳理要点梳理一、全等三角形的性质BCEF其中点A和 ，点B和 ，点C和_ _是对应顶点.AB和 ，BC和 ，AC和 是对应边.A和 ，B和 ，C和 是对应角.AD点D点E点FDEEFDFDEFABCDEF 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.如图：ABCDEF，AB=DE，BC=EF，AC=DF （），A=D，B=E，C=F （）.全等三角形的对应边相等
2、全等三角形的对应角相等 应用格式：用符号语言表达为：在ABC与DEF中ABCDEF.（SAS）1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).FEDCBAAC=DF，C=F，BC=EF，二、三角形全等的判定方法A=D，（已知）AB=DE，（已知）B=E，（已知）在ABC和DEF中，ABCDEF.（ASA）2.有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）.用符号语言表达为：FEDCBA 3.三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.ABCDEF在ABC和 DEF中，ABC DEF.（SSS）AB=DE，BC
3、=EF，CA=FD，用符号语言表达为：4.有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）.5.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边、直角边”或“HL”.ABCDEF注意：对应相等.“HL”仅适用直角三角形,书写格式应为:在Rt ABC 和Rt DEF中，AB=DE，AC=DF，RtABCRtDEF(HL)角的平分线的性质图形已知条件结论PCPCOP平分AOBPDOA于DPEOB于EPD=PEOP平分AOBPD=PEPDOA于DPEOB于E 角的平分线的判定三、角平分线的性质与判定考点一 全等三角形的性质考点讲练考点讲练例1 如图，已知
4、ACEDBFCE=BF，AE=DF，AD=8，BC=2（1）求AC的长度；（2）试说明CEBF解：（1）ACEDBF，AC=BD，则AB=DC，BC=2，2AB+2=8，AB=3，AC=3+2=5；（2）ACEDBF，ECA=FBD，CEBF 两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角分别是对应角.有对顶角的，两个对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一定是对应角.方法总结1.如图所示，ABDACD，BAC=90（1）求B；（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由针对训练解：（1）ABDACD，B=C，又BAC=90，B=C
5、=45；（2）ADBC理由：ABDACD，BDA=CDA，BDA+CDA=180，BDA=CDA=90，ADBC例2 已知，ABCDCB，ACB DBC，求证：ABCDCBABCDCB(已知），BCCB（公共边），ACBDBC（已知），证明：在ABC和DCB中，ABCDCB（ASA）.BCAD【分析】运用“两角和它们的夹边对应相等两个三角形全等”进行判定 考点二 全等三角形的判定2.已知ABC和DEF,下列条件中,不能保证ABC和DEF全等的是()A.AB=DE,AC=DF,BC=EF B.A=D,B=E,AC=DFC.AB=DE,AC=DF,A=D D.AB=DE,BC=EF,C=FD针对训
6、练3.如图所示，AB与CD相交于点O,A=B，OA=OB 添加条件 ，所以 AOCBOD 理由是 .AODCBC=D或AOC=BODAAS或ASA考点三 全等三角形的性质与判定的综合应用例3 如图，在ABC中，AD平分BAC,CEAD于点G,交AB于点E,EFBC交AC于点F,求证：DEC=FEC.ABCDFEG【分析】欲证DEC=FEC由平行线的性质转化为证明DEC=DCE只需要证明DEG DCG.ABCDFEG证明：CEAD,AGE=AGC=90.在AGE和AGC中，AGE=AGC，AG=AG，EAG=CAG，AGE AGC(ASA)，GE=GC.AD平分BAC,EAG=CAG，.ABCD
7、FEG在DGE和DGC中，EG=CG，EGD=CGD=90，DG=DG.DGE DGC(SAS).DEG=DCG.EF/BC,FEC=ECD，DEG=FEC.利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线的性质等，必要时要想到添加辅助线.方法总结4.如图，OBAB,OCAC,垂足为B,C,OB=OC，BAO=CAO吗？为什么？OCBA解：BAO=CAO，理由：OBAB,OCAC，B=C=90.在RtABO和RtACO中，OB=OC，AO=AO，RtABORtACO ，（HL）BAO=CAO
8、.针对训练考点四 利用全等三角形解决实际问题例4 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？ABCD【分析】将本题中的实际问题转化为数学问题就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC，ADBC.ABCD解：相等，理由如下：ADBC，ADB=ADC=90.在RtADB和RtADC中，AD=AD，AB=AC，RtADB RtADC(HL).BD=CD.利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一般采用以下步骤：（1）先明确实际问题；（2）根据实际抽象出几何图形；（3）经过分析，找出证明
9、途径；（4）书写证明过程.方法总结针对训练5.如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？解：要测量A、B间的距离，可用如下方法：过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，ACB=ECD，CB=CD，ABC=EDC，EDCABC（ASA）DE=BA答：测出DE的长就是A、B之间的距离CDE考点五 角平分线的性质与判定例5 如图,1=2,点P为BN上的一点，PCB+BAP=180，求证:PA=PC.BACN)12P【分析】由角平分线的性质易想到过
10、点P向ABC的两边作垂线段PE、PF，构造角平分线的基本图形.EF【证明】过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.BACN)12PEF1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.PE=PF,PEA=PFC=90.PCB+BAP=180,又BAP+EAP=180.EAP=PCB.在APE和CPF中，PEA=PFC=90，EAP=FCP，PE=PF，APE CPF(AAS)，AP=CP.【证法2思路分析】由角是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线，所以可想到构造轴对称图形.方法是在BC上截取BD=AB,连接PD（如图）.则有PABPDB,再证PDC是等腰三角形即可获证.ACN)12PB
11、证明过程请同学们自行完成！D【归纳拓展】角的平分线的性质是证明线段相等的常用方法.应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路，一种作垂线段构造角平分线性质基本图；另一种是构造轴对称图形.6.如图,1=2,点P为BN上的一点，PA=PC，求证:PCB+BAP=180.BACN)12PEF【证明】过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.PE=PF,PEA=PFC=90.PA=PC，PE=PF，在RtAPE和RtCPF中，RtPAE RtPCF(HL).针对训练 EAP=FCP.BAP+EAP=180，PCB+BAP=180.想一想：本题如果不给图，条件不变，请问PCB与PAB有怎样的数量关系呢？BACN)12PEF全等三角形性 质基本性质和其他重要性质判 定判定方法基本思路作 用是证明两条线段相等和角相等的常用方法寻找现有条件（包括图中隐含条件）选定判定方法证明准备条件角 的 平 分 线的 性 质 定 理角 的 平 分 线的 判 定 定 理证明两条线段相等证 明 角 相 等辅助线添 加 方 法课堂小结课堂小结
