1、第五章第第五章第1节圆节圆 学习目标学习目标知识回顾知识回顾典型例题和及时反馈典型例题和及时反馈3.3.理解圆的有关概念；（如弦、弧、圆心角、同理解圆的有关概念；（如弦、弧、圆心角、同心圆、等圆等）心圆、等圆等）；2.2.经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；与圆的位置关系；1.1.理解圆的描述定义、集合定义理解圆的描述定义、集合定义；.初步了解在圆中常添作的辅助线为圆的半径，初步了解在圆中常添作的辅助线为圆的半径，构造等腰三角形或全等三角形构造等腰三角
2、形或全等三角形.一、圆的定义：一、圆的定义：在同一平面内，在同一平面内，线段线段OPOP绕它固定的一个绕它固定的一个端点端点O O旋转一周，另一端点旋转一周，另一端点P P运动所形成运动所形成的图形叫做的图形叫做圆圆。注意这里所指的圆是指圆周。而不是一个圆的平面定点定点O叫做叫做圆心圆心。线段线段OP叫做叫做圆的半径圆的半径。表示：表示：以以O为圆心的圆，记做为圆心的圆，记做“O”，读做读做“圆圆O”。OP设设O O 的半径为的半径为r r，点，点P P到圆心的距离到圆心的距离OP=OP=d d，则有：则有：点点P P在在O内内 d dr r 点点P P在在O O上上 d d=r r 点点P
3、P在在O外外 drrpprd Prd知识回顾二点和圆的位置关系ABCro2.2.圆内各点到圆心的距离都小于半径圆内各点到圆心的距离都小于半径;到圆心到圆心 距离小于半径的点都在圆内距离小于半径的点都在圆内.也就是说也就是说:圆的内部圆的内部可以看作是到圆心距离小于半径的点的集合可以看作是到圆心距离小于半径的点的集合.3.3.圆外的点到圆心的距离都大于半径圆外的点到圆心的距离都大于半径;到圆心距离大到圆心距离大于半径的点都在圆外于半径的点都在圆外.也就是说也就是说:圆的外部可以看作是圆的外部可以看作是到圆心距离大于半径的点的集合到圆心距离大于半径的点的集合.用集合的思想描述点和圆的位置关系1.圆
4、上各点到圆心的距离都等于半径圆上各点到圆心的距离都等于半径;到圆心到圆心 距离等于半径的点都在圆内距离等于半径的点都在圆内.也就是说也就是说:圆圆可以看作是到圆心距离等于半径的点的集合可以看作是到圆心距离等于半径的点的集合.1.角平分线可以看作在角的内部到角两边距离相等的点的集合2线段的垂直平分线可以看作到线段的两个端点距离相等的点的集合角平分线与线段的中垂线角平分线和线段的中垂线可以看作什么样点的集合例：如图已知矩形例：如图已知矩形ABCDABCD的边的边AB=3AB=3厘米，厘米，AD=4AD=4厘米厘米ADCB（1 1）以点）以点A A为圆心，为圆心，3 3厘米为半径作厘米为半径作圆圆A
5、 A，则点，则点B B、C C、D D与圆与圆A A的位置关系的位置关系如何？如何？(B B在圆上，在圆上，D D在圆外，在圆外，C C在圆外在圆外)（2 2）以点）以点A A为圆心，为圆心，4 4厘米为半径作圆厘米为半径作圆A A，则点则点B B、C C、D D与圆与圆A A的位置关系如何？的位置关系如何？(B B在圆内，在圆内，D D在圆上，在圆上，C C在圆外在圆外)（3 3）以点）以点A A为圆心，为圆心，5 5厘米为半径作圆厘米为半径作圆A A，则点，则点B B、C C、D D与圆与圆A A的位置关系如何？的位置关系如何？(B(B在圆内，在圆内，D D在圆内，在圆内，C C在圆上在圆
6、上)典型例题1 .O.O的半径的半径10cm10cm，A A、B B、C C三点到圆心的距离分三点到圆心的距离分别为别为8cm8cm、10cm10cm、12cm12cm，则点，则点A A、B B、C C与与O O的位置关的位置关系是：点系是：点A A在在 ；点；点B B在在 ；点；点C C在在 。.O.O的半径的半径6cm6cm，当，当OP=6OP=6时，点时，点A A在在 ；当当OPOP 时点时点P P在圆内；当在圆内；当OPOP 时，点时，点P P不在圆外。不在圆外。.正方形正方形ABCDABCD的边长为的边长为2cm2cm，以，以A A为圆心为圆心2cm2cm为半径作为半径作A A，则点
7、，则点B B在在A A ；点；点C C在在A A ；点；点D D在在A A 。圆内圆内圆上圆上圆外圆外圆上圆上6 666上上外外上上注意：等号的成立，相等表示在圆上及时反馈一.用点的集合思想描述下列几何图形用点的集合思想描述下列几何图形（）圆是（）圆是（）圆的内部是（）圆的内部是（）角平分线是（）角平分线是（）垂直平分线是（）垂直平分线是到定点距离等于定长的点的集合到定点距离等于定长的点的集合.到圆心的距离小于半径的的点的集合到圆心的距离小于半径的的点的集合角的内部到角两边距离相等的点的集合角的内部到角两边距离相等的点的集合到线段两个端点距离相等的点的集合到线段两个端点距离相等的点的集合.已知
8、已知ABAB为为O O的直径的直径P P为为O O 上任意一点，则点关于上任意一点，则点关于ABAB的对称点的对称点PP与与O O的位置为的位置为()()(A)(A)在在O O内内 (B)(B)在在O O 外外 (C)(C)在在O O 上上 (D)(D)不能确定不能确定c c.根据点的集合思想说出下面两题描述的是什么图形根据点的集合思想说出下面两题描述的是什么图形（）到点（）到点O O的距离等于的距离等于cmcm的点的集合是的点的集合是（）到已知点（）到已知点O O的距离大于或等于的距离大于或等于cm cm，且小于或等于，且小于或等于cmcm的点的集合是的点的集合是OcmOcmcm以O为圆心，
9、5cm为半径的圆以O为圆心，分别以2cm、3cm为半径所作两圆形成的圆环?C?A?B?DE.如图如图,在在ABCABC中中,ACB=90,ACB=90,ABCD,BC,ABCD,BCcm,AC=cm,AC=cm,Ecm,E是是ABAB的中点的中点（）以（）以C C为圆心为圆心,.cmcm为半径画为半径画C,C,指出点指出点A A、B B、D D、E E与与C C的位置关系的位置关系.（）以（）以C C为圆心作圆，使为圆心作圆，使A A、B B、D D、E E四点至少有一四点至少有一点在点在C C内，且至少有一点在内，且至少有一点在C C外，则外，则C C的半径的半径 r r的取值范围是的取值范
10、围是点点D D在在C C内，点内，点E E在在C C上，点上，点A A、B B在在C C外外.r r.分析：要求出相关的点到C的距离知识回顾三知识回顾三.连接圆上任意两点间的线段叫做连接圆上任意两点间的线段叫做弦弦(如弦如弦AB).AB).On经过圆心的经过圆心的弦弦叫做叫做直径直径(如直径如直径AC).AC).ABC注意：注意：（1 1）、弦的两个端点在圆上）、弦的两个端点在圆上.（2 2）、直径是弦，是过圆心的弦，）、直径是弦，是过圆心的弦，弦不一定是直径弦不一定是直径.（3 3）、半径不是弦，因为圆心不在圆周上）、半径不是弦，因为圆心不在圆周上.On弧弧分分优弧优弧、半圆半圆和和劣弧劣弧
11、三种。三种。AB（2 2）小于半圆的）小于半圆的弧弧叫做叫做劣弧劣弧,如记作如记作 (用两个字母用两个字母).).ADBADB（3 3）大于半圆的）大于半圆的弧弧叫做叫做优弧优弧,如记作如记作 (用三个字母用三个字母).).ABCD注意：注意：（）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（）半圆既不是劣弧，也不是优弧（）半圆既不是劣弧，也不是优弧.圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧,简称简称弧弧.用用“”表示表示（1）直径直径将圆分成两部分将圆分成两部分,每一部分每一部分都叫做都叫做半圆半圆(如弧如弧ABC)._B_O_A_C.圆心角：圆心角：顶点在圆
12、心的角叫做顶点在圆心的角叫做圆心角圆心角。AOBAOB、AOCAOC、BOCBOC就是就是圆心角圆心角。.同心圆同心圆.等圆等圆同圆同圆或等圆的半径相等。或等圆的半径相等。圆心相同，半径不同圆心相同，半径不同的两圆的两圆半径相同，能够互相重半径相同，能够互相重合的两个圆合的两个圆注意：在大小不等的两个圆中，不存在等弧注意：在大小不等的两个圆中，不存在等弧。.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧等弧。.及时反馈二BACDO你会证明吗？你会证明吗？如图，任作一条弦（非直径）连结OC，OD证明：在OCD中，两边之和大于第三边0CODCD又?0COD2r=ddCD即
13、直径是圆中最长的弦CBOAFEDM.CMB.CMB，CMACMA是不是圆心角？是不是圆心角？圆心角有：圆心角有：DOE DOE，COECOE不是不是强调：圆心角的顶点必须在圆心强调：圆心角的顶点必须在圆心COBA .如图如图ABABBCBC劣弧劣弧有：有：优弧优弧有：有：ACBACBBACBAC注意：和角一样，优弧的三个字母也是有顺序的。?FEBAODC（）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧（）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧注意：注意：一条弦对的弧有一条弦对的弧有两条两条1443（）如图，有（）如图，有_条直径，条直径，_条弦，条弦，以以A为一个端点的优弧有为一个端点的优弧有_个，劣弧有个，劣
14、弧有_个个.判断判断（1 1）长度相等的两条弧是等弧。）长度相等的两条弧是等弧。（2 2）圆的任何一条弦的两端点，把圆分）圆的任何一条弦的两端点，把圆分成两条弧，所以一条弦对两条弧。成两条弧，所以一条弦对两条弧。（3 3）面积相等的两个圆是等圆。）面积相等的两个圆是等圆。（4 4）直径是弦，且圆内最长的弦是直径。）直径是弦，且圆内最长的弦是直径。（5 5）半圆是弧，弧小于半圆。）半圆是弧，弧小于半圆。典型例题2例例.如图，如图，E E是是OO上一点，上一点，ABAB是是OO的弦，的弦，OEOE的延长线交的延长线交ABAB的延长线于的延长线于C C。如果。如果BC=OEBC=OE，C=40C=4
15、0，求，求 EOA EOA的度数。的度数。AOECB分析：?BC=OE，就是告诉我们，就是告诉我们BC等于圆的半径等于圆的半径解：连结OB?BC=OEBC=OBC=BOE=40ABO=?C+BOE=80又0AOBA=ABOE=?80 EOA180 80 40 60例例.如图，如图，O O的半径的半径OAOA、OBOB分别交弦分别交弦CDCD于点于点E E、F,F,且且CE=DF.CE=DF.求证求证:OEFOEF是等腰三角形是等腰三角形.?F?E?O?C?D?A?B方法小结：方法小结：在圆中常添作的在圆中常添作的辅助线为圆的半径，构造等腰辅助线为圆的半径，构造等腰三角形或全等三角形。三角形或全
16、等三角形。典型例题3分析：连接OC、OD，则CD再用三角形全等来证明OEOF2.2.下列说法：下列说法：直径是弦直径是弦 弦是直径弦是直径 半圆是弧，半圆是弧，但弧不一定是半圆但弧不一定是半圆 长度相等的两条弧是等弧长度相等的两条弧是等弧完完全重合的两条弧是等弧。全重合的两条弧是等弧。正确的命题有（正确的命题有（）A A、1 1个个 B B、2 2个个 C C、3 3个个 D D、4 4个个B BC C1、下列说法错误的是（、下列说法错误的是（）A、圆上的点到圆心的距离相等、圆上的点到圆心的距离相等B、过圆心的线段是直径、过圆心的线段是直径C、直径是圆中最长的弦、直径是圆中最长的弦D、半径相等
17、的圆是等圆、半径相等的圆是等圆及时反馈三.如图，已知如图，已知ABAB是是O O的直径，的直径，ACAC为弦，为弦，ODBCODBC，交，交ACAC于于D D，BC=6cmBC=6cm，求，求ODOD的长。的长。DCAOB分析：由ODBC易证易证ADO ACB得相似比为1：2，所以0D3CMBAOC.如图，已知如图，已知AB、AC是是 O的两条弦，的两条弦，且且AB=AC，若，若BOC=110，求，求BAO的度数。的度数。分析：由?AB=AC，AOAO，OBOC易证易证AOB AOCAOB?AOC（360110）2125?又OAOBB?BAO?BAO?22.5?想想，你还有别的方法吗？1.已知
18、：如图，已知：如图，BD、CE是是ABC的高，的高，M是是BC的中点。试问：点的中点。试问：点B、C、D、E在以点在以点M为圆心的圆为圆心的圆上吗？上吗？点评：将点与圆的位置关点评：将点与圆的位置关系与直角三角形结合起来系与直角三角形结合起来。MDEABC能力提高13.2009年年9月月11日，第十五号台风日，第十五号台风“卡努卡努”登陆浙登陆浙江，江，A市接到台风警报时，台风中心位于市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方市正南方向向125km的的B处，正以处，正以20km/h的速度沿的速度沿BC方向移动。方向移动。已知已知A市到市到BC的距离的距离AD=30km，如果在距离台风中，如果在距
19、离台风中心心50km（包括（包括50km）的区域内都将受到台风影响）的区域内都将受到台风影响试问试问A市受到台风影响的时间是多长？市受到台风影响的时间是多长？?C?A?B?D?E?F能力提高2分析：A市什么时候开始受到台风的影响呢？当台风中心到A市距离等于50的时候，A市开始受到台风影响如图中的AE50A市什么时候不再受到台风的影响呢？当台风中心移动到A市距离再次等于50的时候，A市不再受到台风影响如图中的AF50求出台风中心从E点运行到F点的时间便得出A市受影响的时间5050及时反馈四3.3.理解圆的有关概念；（如弦、弧、圆心角、同理解圆的有关概念；（如弦、弧、圆心角、同心圆、等圆等）心圆、等圆等）；2.2.经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；与圆的位置关系；1.1.理解圆的描述定义、集合定义理解圆的描述定义、集合定义；.在圆中常添作的辅助线为圆的半径，构造等在圆中常添作的辅助线为圆的半径，构造等腰三角形或全等三角形腰三角形或全等三角形.（方法小结）（方法小结）小结
