1、一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件二、平面上曲线积分与路径无关的条件第八节 各种积分的联系及其在场论中的应用各种积分的联系及其在场论中的应用三、三、Stokes公式与旋度公式与旋度 四、四、Gauss公式与散度公式与散度 五、几种重要的特殊向量场五、几种重要的特殊向量场 连通区域的分类连通区域的分类设设D为平面区域为平面区域,如果如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称则称D为平面为平面单连通区域单连通区域;否则称为否则称为复连通区域复连通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD平面区域平面区域D边界曲线边界曲线L的正向的正
2、向:当观察者沿当观察者沿L的这个方向行走时的这个方向行走时,D内在他近内在他近处的那一部分总在他的左侧处的那一部分总在他的左侧.一、一、格林公式格林公式定理定理1 1公式公式(1)叫做叫做格林公式格林公式.格格林林公公式式对对1 1.平平面面曲曲线线成成立立2.若若D是复连通区域是复连通区域,则公式则公式(1)右端为右端为D的全部边界的全部边界的曲线积分的曲线积分,且边界的方向对且边界的方向对D来说都是正向来说都是正向.注意注意:证明证明:1)若D 既是 X-型区域,又是 Y-型区域,且bxaxyxD)()(:21dycyxyD)()(:21则yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21d
3、yyxxQCBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcyddcyxoECBAbaD(,)dLQ x yy dcyyyQd),(2dcyyyQd),(1即yxxQDdd(,)dLQ x yy 同理可证yxyPDdd(,)dLP x yx、两式相加得:LDyQxPyxyPxQddddyxoL2)若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd为有限个上述形式的区域,如图)(的正向边界表示kkDD证毕例例1.设 L 是一条分段光滑的闭曲线,证明0dd22yxxyxL证证:令,22xQyx
4、P则yPxQ利用格林公式,得yxxyxLdd22022xxDyxdd00格林公式的应用格林公式的应用1.1.简化曲线积分简化曲线积分LDyQxPyxyPxQddddxyoBOABOAL ABDLDdxdyxdy,BOABOAxdyxdyxdy,0,0 BOOAxdyxdy由于由于.412rdxdyxdyDAB 例例3.计算,dd22Lyxxyyx其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解:令,022时则当 yx22222)(yxxyxQ设 L 所围区域为D,)0,0(时当D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoL2222Llxdyydxxdyydxx
5、yxyxyor1DlL22220Llxdyydxxdyydxxyxy.2 (注意格林公式的条件注意格林公式的条件)drrr22222sincos 20解解 令令2,0yxeQP ,2.2.简化二重积分简化二重积分xyoAB11D则则 2yeyPxQ ,应应用用格格林林公公式式,有有 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e 正向闭曲线正向闭曲线 L 所围区域所围区域 D 的面积的面积LxyyxAdd21例如例如,椭圆20,sincos:byaxL所围面积LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab3.3.计算平面图形的面积计
6、算平面图形的面积在格林公式中取在格林公式中取,Py Qx 得得 二、平面上第二型曲线积分与路径无关的条件二、平面上第二型曲线积分与路径无关的条件12(,),(,).P x y Q x yGABGGABLL设设在在区区域域 内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数，为为 内内任任指指定定两两定定点点，内内从从 到到 的的任任两两条条曲曲线线，如果如果Gyxo 1LQdyPdx 2LQdyPdx1L2LBA()()LA MdsA M 一一般般地地，当当线线积积分分的的值值与与积积分分路路径径无无关关时时，称称场场为为保保守守场场。()A M 例例如如，如如果果表表示示重重力力场场，当当质质点点从从
7、M M移移动动到到N N时时，重重力力场场所所做做的的功功()LA Mds W=W=()A M 只只取取决决于于重重力力场场以以及及起起点点和和终终点点，与与积积分分路路径径无无关关。因因此此重重力力场场是是保保守守场场。对对于于与与积积分分路路径径无无关关的的线线积积分分，可可以以略略去去积积分分路路径径，而而表表示示为为()().NLMA MdsA Mds 曲线积分与路径无关的等价命题曲线积分与路径无关的等价命题条条件件(2)LPdxQdy在G内与路径无关(1)0,;CPdxQdyCG 闭曲线(3),(,).u=u x ydu=Pdx+Qdy在G内 存在某个二元函数，使等等价价命命题题定理
8、定理2.设G 是单连通域,判判断断一一个个场场是是否否是是保保守守场场，从从数数学学上上看看就就是是判判断断此此场场的的第第二二型型线线积积分分是是否否与与 路路径径无无关关。(4)PyxQ=在G内处处成立。(两条件缺一不可两条件缺一不可)注意：注意：2211111222(,)(,)(3)(,)(,).L LL L若若 P P在在G G内内与与路路径径无无关关，的的起起点点，终终点点，则则把把曲曲线线积积分分 P P记记作作xyx ydx QdyLM x yM x ydx QdyPdx Qdy222(,)M x y111(,)M x y21(,)A x y11(,)B x y1212M AMM
9、 BM计算这个曲线积分常取路径或21120 0(,)(,)Lxydx x dyxydx x dy2 2例例 验验证证曲曲线线积积分分 2 2在在平平面面 内内与与路路径径无无关关，并并计计算算2 2222(,)Mxy111(,)Mx y21(,)A xy11(,)B x y221112(,)(,)Pdxyx yM AAMPdx Qdyx QdyPdx Qdy221112(,)(,)Pd或或xyx yM BBMPdx Qdyx QdyPdx Qdy221112(,)(,).xyxyP x y dxQ xy dy221112(,)(,).yxyxQ x y dyP x y dxA()=(P(),Q
10、()v(x,y)x,yx,yx,y 如如果果把把向向量量场场看看作作是是一一平平面面流流速速场场,即即v(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j,于于是是.LLLPdxQdye v(M)dsv(M)dsv(M)dsv(M)dsLeLe 由由于于v(M)v(M)表表示示流流速速场场在在 的的切切线线方方向向的的分分速速度度，设设流流体体密密度度为为1 1，因因而而积积分分v(M)dsv(M)ds表表示示在在单单位位时时间间内内，场场v v(M M)沿沿闭闭曲曲线线L L流流体体流流动动的的流流量量，力力学学上上称称其其为为沿沿L L的的环环流流量量。它它给给出出了了流流速速场场v v(M M)
11、绕绕曲曲线线L L的的旋旋转转趋趋势势的的大大小小的的度度量量。0L 若若向向量量场场A(M)A(M)在在闭闭区区域域D D内内沿沿任任意意闭闭曲曲线线L L无无旋旋转转趋趋势势，即即 A(M)dsA(M)ds，则则称称A(M)A(M)为为无无旋旋场场。L,一一般般地地，对对于于向向量量场场A(M)=Pi+QjA(M)=Pi+Qj 我我们们称称沿沿曲曲线线 的的闭闭第第二二型型线线积积分分LLe A(M)dsA(M)dsA(M)dsA(M)ds为为向向量量场场A(M)A(M)沿沿闭闭曲曲线线L L的的环环量量。因此，无旋场是保守场。因此，无旋场是保守场。我我们们知知道道，给给定定了了一一个个可
12、可微微的的数数量量场场u u(x x,y y),它它确确定定了了在在D D内内的的一一个个向向量量场场，称称为为梯梯度度场场，我我们们考考虑虑它它的的反反问问题题：)xyxyu=(u,uu=(u,udu=Pdx+Qdydu=Pdx+Qdy 给给定定了了一一个个连连续续的的向向量量场场A(M)=(P,Q),MD,A(M)=(P,Q),MD,是是否否存存在在一一个个二二元元函函数数u=u(x,y),u=u(x,y),使使得得 (,),.uP QPQ uuuu或或 xyxy或或 如如果果这这样样的的函函数数u u=u u(x x,y y)存存在在，则则称称u u是是向向量量场场A A(M M)=(P
13、 P,Q Q)的的或或位位函函数数，从从而而向向量量场场A A(M M)=(P P,Q Q)是是一一势势函函数数个个有有势势场场。从从上上面面研研究究发发现现：对对于于一一个个连连续续的的向向量量场场A(M)=(P,Q)A(M)=(P,Q)，若若它它是是一一个个保保守守场场，则则一一定定是是一一个个有有势势场场，也也是是无无旋旋场场。并并且且对对于于一一个个连连续续的的向向量量场场，A(M)=(P,Q)A(M)=(P,Q)是是无无旋旋场场、保保守守场场和和有有势势场场三三者者是是相相互互等等价价的的。,(,).若若则则称称为为的的全全义义微微分分定定duPdxQdyPdxQdyu x y势函数
14、的求法势函数的求法 ，若若u(x,y)u(x,y)是是的的一一个个原原函函数数，则则u(x,y)+Cu(x,y)+C也也是是其其原原函函数数，且且任任意意两两个个原原函函数数仅仅相相差差一一个个常常数数。可可以以证证明明PdxQdy 给给定定向向量量场场A(M)=(P(M),Q(M),MD.A(M)=(P(M),Q(M),MD.求求A A的的势势函函数数u=u(x,y),u=u(x,y),使使得得duPdxQdyPdxQdy这这种种问问题题也也称称为为全全微微分分求求积积问问题题，即即求求得得的的势势函函数数u(x,y)u(x,y)是是全全微微分分的的一一个个原原函函数数。1.用线积分求用线积
15、分求例例5.验证2223633(,)Axxyyx 是有势场，并求其势函数。2.用偏积分求用偏积分求3.用凑全微分法求用凑全微分法求10 020(sin),(cos)(,)(,)Lxa ttyatOAa其其中中 为为摆摆线线上上由由到到点点的的有有向向弧弧。8 5.例例计计算算线线积积分分224121cos()cos()Lxydxyxydyy注意：注意：1.利用曲线积分与路径的无关性，选择一个适当的路径进利用曲线积分与路径的无关性，选择一个适当的路径进行积分可大大简化积分计算。行积分可大大简化积分计算。2.可利用全微分的一个原函数来计算与路径无关的曲线积分。可利用全微分的一个原函数来计算与路径无
16、关的曲线积分。如如果果线线积积分分11110000(x,y)(x,y)(x,y)(x,y)Pdx+QdyPdx+Qdy与与路路径径无无关关，那那么么Pdx+QdyPdx+Qdy必必为为某某一一函函数数的的全全微微分分，设设其其原原函函数数为为F(x,y).F(x,y).由由于于(,)x y0000(x,y)(x,y)(x,y)(x,y)Pdx+QdyPdx+Qdy也也是是被被积积表表达达式式的的一一个个原原函函数数，所所以以1 08 6(,).(0,1)(0,1)2222xdx+ydyxdx+ydy例例计计算算x+yx+y(,)(,)x yF x yC00000(,),(,),xyF xy但但
17、故故C=-C=-于于是是00(,)(,)(,)x yF x yF xy，因因此此1001100(,)(,)(,)(,)(,).xyxyF x yF xyF x y11110000(x,y)(x,y)(x,y)(x,y)Pdx+QdyPdx+QdyNewtonLeibnitz上上面面的的公公式式相相当当于于定定积积分分的的公公式式。斯托克斯公式斯托克斯公式yozxn三、三、Stokes公式与旋度公式与旋度 1、斯托克斯公式、斯托克斯公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(PdxQdyRdz为便于记忆，可把斯托克斯公式写成为便于记忆，可把斯托克斯公式写成 RdzQdyPdx
18、RQPzyxdxdydzdxdydzStokesStokes公式公式的实质的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形斯托克斯斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家.他是19世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一,其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法,在1845年他导出了著名的粘性流体运动方程(后称之 为纳维 斯托克斯方程),1847年先于 柯西提出了一致收敛的概念.他提出的斯托克斯公式 是向量分析的基本公式.他一生的工作先后
19、分 五卷 出版.则有向曲面的法向量的方向余弦（如图）（如图）PPzdxdyyzy,cos2211yxff,cos221yxyfffyozxnyxDC证证:情形情形1 与平行 z 轴的直线只交于一点,的正向边界曲线在x o y面上的投影为平面有向曲线C，C所围成的区域是D x y，(,)zf x y为为曲曲面面的的上上侧侧，d dddPPzxxyzycoscosPPdxdyzy ,(,)ddxyDP x y f x yxyy ,(,)P x y f x y dxdyy ,(,)CP x y f x y dx ,(,)(,)(,)(,)P x y f x yCx yP x y zx y zx 因因
20、为为函函数数在在曲曲线线 点点处处的的值值与与函函数数在在曲曲线线 上上对对应应点点处处的的值值相相同同，且且两两曲曲线线上上的的对对应应小小弧弧段段在在 轴轴上上的的投投影影也也一一样样.所以,(,)(,)CP x y f x y dxP x y z dx因此 d ddd(,)PPzxxyP x y z dxzy(,)zf x y若若 为为曲曲面面的的下下侧侧，则则 也也相相应应地地改改成成相相反反方方向向，上上式式仍仍成成立立。xy如如 与与平平行行于于 轴轴或或 轴轴的的直直线线交交于于一一点点，则则类类似似可可证证dddddQQxyyzQyxz ddd ddRRyzzxRxyx 则三则
21、三式式相加相加,即得斯托克斯公式即得斯托克斯公式.如如 与与平平行行于于坐坐标标轴轴的的直直线线都都交交于于一一点点，即即上上述述三三式式同同时时成成立立情形情形2 曲面 与平行坐标 轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把 分成与坐标 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.证毕证毕斯托克斯公式的又一种形式斯托克斯公式的又一种形式其中其中,coscoscoskjin 的的单单位位法法向向量量为为kjit coscoscos 的的单单位位切切向向量量为为dSyPxQxRzPzQyRcos
22、)(cos)(cos)(dsRQP)coscoscos(即即 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydzcoscoscos dSPdx QdyRdzxyzPQR 或或yxzyxxzzyzyxddddddzxy111o例例1.利用斯托克斯公式计算积分zyyxxzddd其中为平面 x+y+z=1 被三坐标面所截三角形的整个解解:记三角形域为,取上侧,则边界,方向如图所示.zyyxxzdddyxxzzyddddddyxDyxdd323yxD解解则则1,1,131 nzxyo n dsyxxzzyzyxI 222222313131 dszyx)(34.29 zRyQxPudddd*2、空间
23、曲线积分与路径无关的条件、空间曲线积分与路径无关的条件定理定理2.设 G 是空间一维单连通域,内在函数GRQP,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对G内任一分段光滑闭曲线,有0dddzRyQxP(2)对G内任一分段光滑曲线,zRyQxPddd与路径无关(3)在G内存在某一函数 u,使(4)在G内处处有zPxRyRzQxQyP,3、环量与环流密度环量与环流密度称称为为A(x,y,z)A(x,y,z)沿沿闭闭曲曲线线L L的的环环量量，它它同同样样表表示示A(x,y,z)A(x,y,z)绕绕L L旋旋转转趋趋势势的的大大小小。类类似似于于平平面面向向量量场场A(x,y)=(P(x,
24、y),Q(x,y)A(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)沿沿平平面面向向量量曲曲线线C C的的环环量量，空空间间向向量量场场A(x,y,z)=(P,Q,R)A(x,y,z)=(P,Q,R)沿沿空空间间闭闭曲曲线线L L的的线线积积分分(,)(,)d(,)d(,)dLLA x y z dsP x y zxQ x y zyR x y zz 环环量量是是对对向向量量场场旋旋转转整整体体趋趋势势的的描描述述，然然而而在在向向量量场场A A中中，不不同同点点处处A A的的旋旋转转趋趋势势是是不不同同的的。Mn为为向向量量场场A A在在点点处处绕绕方方向向 的的环环量量密密度度。()().()MMnn
25、n 现现在在我我们们来来考考察察向向量量场场A A在在点点处处绕绕方方向向 旋旋转转的的趋趋势势。为为此此，以以 为为法法向向量量，过过点点M M任任作作一一微微小小曲曲面面 S S，它它的的边边界界曲曲线线为为S S 选选取取S S 的的正正向向使使与与 符符合合右右手手规规则则。()()M 当当 S S很很小小时时，A A沿沿S S 的的环环量量与与小小曲曲面面 S S的的面面积积 S S之之比比1()()M ds S SA ASSSSMn近近似似地地反反映映了了A A在在点点处处绕绕方方向向 旋旋转转趋趋势势的的大大小小。我我们们称称极极限限1()limlim()MMdM dsd S S
26、SSSSA ASSSSSS4、旋度的定义及其计算公式旋度的定义及其计算公式.定定义义 给给定定一一个个向向量量场场(,)(,),(,),(,)A x y zP x y z Q x y zR x y z我我们们称称如如下下向向量量RQPRQPyzzxxy，(,)rot,Ax y zA为为场场 在在点点处处。记记为为旋旋度度的的即即rotRQPRQPyzzxxyA，。rotijkAPQR x xy yz z容容易易验验证证：利用旋度,斯托克斯公式可改写为 drotd()d.AsASAS或或drotd.A esA nS ().RQPRQPyzzxxykA )i+()j+()i+()j+(设曲面 的法
27、向量为 曲线 的单位切向量为)cos,cos,(cosn(cos,cos,cos)e 由环量密度的定义和由环量密度的定义和Stokes公式的向量形式公式的向量形式,可得可得11()lim()limMMdM dsrotA nd SSSSSSSSAdSAdSSSSSSS利用积分中值定理，可知利用积分中值定理，可知MrotA nrotA n S SdSSdSS利用连续性利用连续性,有有limMMMdrotA nrotA nd S SS S或或coscoscosdRQPRQPdyzzxxyS S这就是这就是环量密度的计算公式环量密度的计算公式(,)rotrotAP Q RAAA 由由此此可可见见，场场
28、在在(x x,y y,z z)处处旋旋度度的的方方向向就就是是在在(x x,y y,z z)处处环环量量密密度度最最大大的的方方向向，的的模模等等于于环环量量密密度度的的最最大大值值。|cos(,)drotA nrotArotA nd S SzyxkjiArot的外法向量,计算解解:)1,0,0(SIdcos0232zxy,4:222zyx例例3.设),3,2(2zxyA.drotSnAI)cos,cos,(cosn为nozxyl设某刚体绕定轴 l 转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,M则),(zyxr 角速度为,r123(,),点 M 的线速度为rvvrot123ijkxyz 23311
29、2(,)zyxzyx233112xyzijkzyxzyx 1232222(,)即在刚体旋转的线速场中,任一点M处的旋度,除去一个常数因子外,恰好就是刚体旋转的角速度,此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义旋度的力学意义:向量微分算子向量微分算子定义向量微分算子:kjizyx它又称为(Nabla)算子,或哈密顿(Hamilton)算子.),()1(zyxuu 设则kjiuzuyuxuugrad机动 目录 上页 下页 返回 结束 5、旋度的运算法则旋度的运算法则u其其中中 为为一一数数量量值值函函数数。利利用用旋旋度度的的计计算算公公式式，容容易易验验证证下下列列运运算算法法则则：rot()rot
30、()CACA（1 1）或或()();CACA2()rot()rot()rot()ABAB或或3()rot()rot()uAuAuA 或或()()();ABAB ()()().uAuAuA 例例8.8 求电场强度 34qErr zyxkjiErot的旋度,解解)0,0,0(除原点外)这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋度.34qxr34qyr34qzr另解另解|.|r其其中中r=r=34rotqrEEr 34()qrr33114().qrrrr 0rot.EE 0,ijkrxyzxyz 由由于于3513rrr 从从而而35130,rrrrr所所以以高斯高斯(1777 1855)德国数学家、
31、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,原则:代数、非欧几何、微分几何、超几何 在对天文学、大恪守这样的“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.四四.高斯高斯(Gauss)公式与散度公式与散度 ddd coscoscos)PQRxyzPQRdSxyz 或（cos,cos,cos(,)x y z是是 在在点点处处外外法法向向量量的的方方向向余余弦弦.定理定理1.设空间闭区域 由分片光滑的
32、闭曲 上有连续的一阶偏导数,PQRdxdydzxyzddd dd dPyzQzxR xy 函数 P,Q,R 在面 所围成,的方向取外侧,则有(Gauss 公式公式)1.高斯高斯(Gauss)公式公式dddRxyzz ddRxy 下面先证:证明证明:设x yxoyD 在面上的投影为，z 穿过 内部且平行于 轴 的直线与 的边界曲面 的交点至多两个，,321x yD,),(:11yxzz 这样这样1),(:22yxzz 2 xyD 3是以的边界为准线母线平行于z轴的柱面上的一部分.3 则x yD1 2 3 yxyxRdd),(2(,)zx y),(1yxzzzRyxzyxzd),(),(21yxD
33、yxDdddRxyzz yxdd),(yxRyxRdd 2 1 3yxRddyxyxRdd),(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd),(),(1yxz所以zyxzRdddyxRdd 则类似可证 zyxyQdddyxRxzQzyPdddddd zyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 则上三式相加,即得 Gauss 公式：xy若穿过 内部且平行于 及 轴的直线与 的边界曲面的交点也至多是两个，若穿过 内部且平行于坐标轴的直线与 的边界曲面 的交点都至多两个，即上三式同时成立，注注:对于其它形状的区域对于其它形状的区域,包括有包括有“洞洞”的区域，可以的区域，可以利用曲
34、面将其分割成若干子区域的并，使每一子区域都满利用曲面将其分割成若干子区域的并，使每一子区域都满足用平行于坐标轴的直线穿越该子区域都至多相交于两点。足用平行于坐标轴的直线穿越该子区域都至多相交于两点。类似与类似与Green公式和公式和Stokes公式的处理，可证明此情形下公式的处理，可证明此情形下Gauss公式。公式。()()()x,y,zx,y,zx,y,z 若若令令A=(P,Q,R),A=(P,Q,R),则则GaussGauss公公式式可可简简单单记记为为 AdVA dS例例1.用Gauss 公式计算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 为柱面122 yx闭域 的整个边界曲面的外侧.解解:
35、这里利用Gauss 公式,得原式=zyxzyddd)(zrrzrddd)sin(用柱坐标)zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP,0QyxR及平面 z=0,z=3 所围空间思考思考:若 改为内侧,结果有何变化?若 为圆柱侧面(取外侧),如何计算?例例2.利用Gauss 公式计算积分SzyxId)coscoscos(222其中 为锥面222zyxhozyx解解:作辅助面,:1hz,:),(222hyxDyxyx取上侧1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于 z=0 及 z=h 之间部分的下侧.1,记h1所围区域为,则 zyxzyxddd)(2
36、yxhyxDdd2421h),(,),(yxvyxu在闭区域 上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式例例3.设函数 uv dxdydz vudSn zyxdddxuyuyvzuzv其中 是整个 边界面的外侧.分析分析:zyxzRyQxPdddyxRxzQzyPdddddd xv高斯公式d d dcosd d dxxxxxuvxy zuvdSu vxy zd d dd d dd d dxxxxxxuvxy zuvxy zu vxy zd d dcosxxxxuvxy zuv dydzuvdS因为因为所以所以同理同理d d dcosd d dyyyyyuvxy zuvdSu v
37、xy zd d dcosd d dzzzzzuvxy zuvdSu vxy z以上三式相加。得证。以上三式相加。得证。2.通量与通量密度通量与通量密度A(M)A dSAG3 3由由于于表表示示向向量量场场 对对曲曲面面 的的通通量量。设设（MGRMGR）表表示示一一个个不不可可压压缩缩的的定定常常流流速速场场，为为 内内一一曲曲面面，法法向向量量指指向向闭闭合合外外侧侧，则则A dSQ=Q=0,Q表表示示流流入入闭闭曲曲面面 和和流流出出 的的流流量量的的代代数数和和。若若则则表表示示流流入入的的少少，流流出出的的多多“，这这时时源源”在在 所所围围的的区区域域 内内必必有有产产生生流流体体的
38、的，“反反应应源源”或或称称、“正正源源”；0,Q 若若则则表表示示流流入入的的多多，流流出出的的少少，这这时时在在 包包围围的的区区域域内内必必有有吸吸收收流流体体的的或或称称“洞洞”，“负负源源”或或“吸吸收收源源”。0Q 因因此此，当当时时，所所围围区区域域 内内必必有有“源源”存存在在。在在不不同同的的物物理理场场中中，源源有有着着不不同同的的物物理理意意义义。例例如如，“正正源源”表表示示存存在在正正电电荷荷，它它发发出出电电力力线线；“负负源源”表表示示存存在在负负电电荷荷，它它吸吸收收电电力力线线。V对对于于一一个个向向量量场场，还还应应掌掌握握源源的的强强度度。设设MV,MV,
39、在在M M的的邻邻域域内内作作一一包包含含点点M M的的闭闭曲曲面面，所所围围的的区区域域为为，于于是是1A dSVVVM表表示示区区域域上上的的平平均均通通量量密密度度，它它近近似似反反映映了了点点处处源源的的强强度度，而而1limVA dSVAMAMAM就就精精确确反反映映了了场场 在在点点处处源源的的强强度度，称称为为向向量量场场在在点点处处的的，也也称称为为 在在点点处处通通量量密密度度的的散散度度。3.散度的定义及其计算散度的定义及其计算.V 3 3 设设有有连连续续向向量量场场A(M)(MR),A(M)(MR),在在M M的的邻邻域域内内作作一一包包含含点点M M的的闭闭曲曲面面，
40、所所围围的的区区域域为为若若下下列列定定义义极极限限存存在在，1limVA dSVAM则则称称此此极极限限值值为为向向量量场场 在在点点散散度度通通量量处处的的(或或密密度度)。记记为为1div()lim()VA MA M dSV可可见见，散散度度就就是是通通量量密密度度，它它表表示示通通量量对对体体积积的的变变化化率率。散度的计算公式散度的计算公式设向量场(,)(,)(,)(,)A x y zP x y z iQ x y z jR x y z k Gauss由由公公式式，得得1()(,),(,),(,)P x y z Q x y zR x y zC其其中中为为类类函函数数。VA dSAdV应
41、用积分中值定理应用积分中值定理,得得VMAdVAV 于是于是,由散度的定义由散度的定义,有有1div()lim()VA MA M dSV0lim()VMAA M div()A M即即().PQRA Mxyz注注:有的文献就用上式作为向量场有的文献就用上式作为向量场A散度的定义散度的定义.利用散度的定义利用散度的定义,Gauss公式可写为公式可写为div AdVA dS(,)rx y z例例8 8.1 10 0 求求由由向向径径所所构构成成向向量量场场的的散散度度。因此因此,Gauss公式公式也称为也称为散度定理散度定理.例例.置于原点,电量为 q 的点电荷产生的场强为rrqE3.divE求解解
42、:3ryy3rzz 3522rxrq5223ryr 5223rzr 03rxx),(3zyxrq)0(r)0(r qEdiv4.散度的运算法则和公式散度的运算法则和公式()()u.uAuAA或或 1()()()div CACdiv A2()()()()div ABdiv Adiv B();ABAB 或或 3()()()+u div uAudiv AgradA()();CACA或或 内容小结内容小结1.格林公式LyQxPdd2.等价条件在 D 内与路径无关(保守场)yPxQ在 D 内有 (有势场)yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd对 D 内任意闭曲线 L 有 (无旋场)0ddLyQ
43、xP在 D 内有设 P,Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,则有x,yx,yx,yA()=(P(),Q()3.斯托克斯公式斯托克斯公式zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscos机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.高斯公式及其应用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP机动 目录 上页 下页 返回 结束 zuyuxu,5.场论中的三个重要概念场论中的三个重要概念设,),(zyxuu,),(R
44、QPA 梯度梯度:uradgu,zyxzRyQxPRQPkjizyxArotAAdivA机动 目录 上页 下页 返回 结束 散度散度:旋度旋度:则五五.几种重要的特殊向量场几种重要的特殊向量场1.单连通区域的类型单连通区域的类型 设有空间区域 G,若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G,则称 G 为空间二维单连通域;若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面,则称 G 为空间一维单连通域.例如例如,球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区域.既是一维也是二维单连通区域;是二维但不是一维单连通区域;是一维但机动 目录 上页 下页 返回 结束 zRy
45、QxPudddd2.空间曲线积分与路径无关的条件空间曲线积分与路径无关的条件定理定理8.6.设 G 是空间一维单连通域,内在函数GRQP,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对G内任一分段光滑闭曲线,有0dddzRyQxP(2)对G内任一分段光滑曲线,zRyQxPddd与路径无关(保守场)(3)在G内存在某一函数 u,使(有势场)(4)在G内处处有旋度为零 (无旋场)即zPxRyRzQxQyP,3.无源场:0,QRyz若在向量场A的场域中处处有散度为零,P即 A=则称A为无源场.xA为无源场的的等价条件为无源场的的等价条件定理定理8.7.),(),(),(zyxRzyxQzyxP设在空间二维单 连通域G内具有连续一阶偏导数,为G内任一闭曲面,则通量为零,即0ddddddyxRxzQzyPGzyxzRyQxP),(,0的充要条件是散度为零,即:机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.调和场:222220uuuxyz 2既无源又无旋的向量场A称为调和场,即A=0,A=0调和场存在势函数u(x,y),满足Laplace方程:
