1、正态总体均值与方差假设检验概述第第5.25.2节节 正态总体均值与方差的正态总体均值与方差的假设检验假设检验一、一、t 检验检验二、二、检验检验三、三、F 检验检验四、单边检验四、单边检验2一、一、t 检验检验21.,()U为为已已知知 关关于于 的的检检验验检检验验),(2 N体体在上节中讨论过正态总在上节中讨论过正态总:,02的检验问题的检验问题关于关于为已知时为已知时当当 0100:,:HH假假设设检检验验000 1(,),/.HNXUnU 讨讨论论中中是是利利用用为为真真时时服服从从分分布布的的统统计计量量来来确确定定拒拒绝绝域域的的 这这种种检检验验法法称称为为检检验验法法例例1 某
2、切割机在正常工作时某切割机在正常工作时,切割每段金属棒的平切割每段金属棒的平均长度为均长度为10.5cm,标准差是标准差是0.15cm,今从一批产品中随今从一批产品中随机的抽取机的抽取15段进行测量段进行测量,其结果如下其结果如下:7.102.107.105.108.106.109.102.103.103.105.104.101.106.104.10假定切割的长度服从正态分布假定切割的长度服从正态分布,且标准差没有变化且标准差没有变化,试问试问该机工作是否正常该机工作是否正常?)05.0(解解 0.15,),(2 NX因为因为,5.10:,5.10:10 HH要检验假设要检验假设 15/15.
3、05.1048.10/0 nx 则则,516.0 查表得查表得0 0251 96.,u 00 025.|0.5161.96,/xun 于于是是 .,0认为该机工作正常认为该机工作正常故接受故接受 H,15 n,48.10 x,05.0 )(,.22检验检验的检验的检验关于关于为未知为未知t .,),(22 显著性水平为显著性水平为未知未知其中其中设总体设总体NX.:,:0100的拒绝域的拒绝域求检验问题求检验问题 HH ,21的样本的样本为来自总体为来自总体设设XXXXn ,2未知未知因为因为 ./0来确定拒绝域来确定拒绝域不能利用不能利用nX 22*,nS因因为为是是的的无无偏偏估估计计*,
4、nS故故用用来来取取代代0*./nXtSn 即即采采用用来来作作为为检检验验统统计计量量 ,/00Hnsxt过分大时就拒绝过分大时就拒绝当观察值当观察值 ./0knsxt 拒绝域的形式为拒绝域的形式为001*,(),/nXHt nSn 当当为为真真时时 00HHP为真拒绝为真拒绝当当00*,/nXPkSn 定理定理2.8根据根据第二章第二章2.32.3定理定理2.82.8知知,21/(),ktn令令021/*:()./nxWxttnsn 拒拒绝绝域域为为上述利用上述利用 t 统计量得出的检验法称为统计量得出的检验法称为t 检验法检验法.此检验此检验的势函数为的势函数为:22220111111(
5、)()()()()nPTtnxtnxtnkxxnn 13021222()()/(),nnnk 其其中中 如果在例如果在例1 1中只中只假定切割的长度服从假定切割的长度服从正态分布正态分布,问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化化?)05.0(解解 ,),(22均为未知均为未知依题意依题意 NX,5.10:,5.10:10 HH要检验假设要检验假设,15 n,48.10 x,05.0 0 237*.,ns 010 48 10 50 23715*././nxtsn ,327.0 查表得查表得)14()1(025.02/tnt 1448.2,327.0 t .
6、,0无显著变化无显著变化认为金属棒的平均长度认为金属棒的平均长度故接受故接受 Ht t分布表分布表例例2(p157例例5.5)1212121222,(,),(,),.nnXXXNY YYN 设设为为来来自自正正态态总总体体的的样样本本为为来来自自正正态态总总体体的的样样本本 且且设设两两样样本本独独立立 注注意意两两总总体体的的方方差差相相等等 利用利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均检验法检验具有相同方差的两正态总体均值差的假设值差的假设.12221222*1,nnX YSS又又设设分分别别是是总总体体的的样样本本均均值值是是样样本本方方差差均均为为未未知知23.,()t为为未未知知
7、两两个个正正态态总总体体均均值值的的检检验验检检验验011122:,:HH假假设设检检验验的的问问题题 .取显著性水平为取显著性水平为 :统计量作为检验统计量统计量作为检验统计量引入引入 t1211(),wXYTSnn 1222112212112*2()().nnwnSnSSnn 其其中中 ,0为真时为真时当当H).2(21 nntt定理定理2.9根据根据第二章第二章2.3定理定理2.92.9知知,其拒绝域的形式为其拒绝域的形式为12212211|:(),wxyWxtnnsnn 00HHP为真拒绝为真拒绝1212212211|()wXYPtnnSnn 第一类错误的概率为：第一类错误的概率为：例
8、例3 有甲有甲、乙两台机床加工相同的产品乙两台机床加工相同的产品,从这两台从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干件机床加工的产品中随机地抽取若干件,测得产品直测得产品直径径(单位单位:mm)为为机床甲机床甲:20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9机床乙机床乙:19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2,试比较甲试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著乙两台机床加工的产品直径有无显著差异差异?假定假定两台机床加工的产品直径都服从正态两台机床加工的产品直径都服从正态分布分布,且总体方差相等且总体方差相等.解解 ,),(),(,22
9、21 NNYX和和分别服从正态分布分别服从正态分布和和两总体两总体依题意依题意,221均为未知均为未知 )05.0(.:,:211210 HH需要检验假设需要检验假设,81 n,925.19 x1210 216*.,ns,72 n,000.20 y2220 397*.,ns 12221128 1710 547872*()().,nnwsss且且,160.2)13(05.0 t查表可知查表可知7181 wsyxt,160.2265.0 ,0H所以接受所以接受即甲即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异乙两台机床加工的产品直径无显著差异.有时为了比较两种产品有时为了比较两种产品,或两种仪器或两种仪
10、器,两种方两种方法等的差异法等的差异,我们常在相同的条件下作比照试验我们常在相同的条件下作比照试验,得到一批成对的观察值得到一批成对的观察值.然后分析观察数据作出推然后分析观察数据作出推断断.这种方法常称为逐比照较法这种方法常称为逐比照较法.例例4 4 有两台光谱仪有两台光谱仪Ix,Iy,用来测量材料中某种金属用来测量材料中某种金属的含量的含量,为鉴定它们的测量结果有无显著差异为鉴定它们的测量结果有无显著差异,制备制备了了9件试块件试块(它们的成分、金属含量、均匀性等各不它们的成分、金属含量、均匀性等各不相同相同),现在分别用这两台机器对每一试块测量一次现在分别用这两台机器对每一试块测量一次,
11、得到得到9对观察值如下对观察值如下:4.(t基基于于成成对对数数据据的的检检验验 检检验验）11.013.012.011.018.018.012.009.010.0%89.077.068.059.078.032.052.021.010.0%00.190.080.070.060.050.040.030.020.0%yxdyx问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异?解解 此题中的数据是成对的此题中的数据是成对的,即对同一试块测出即对同一试块测出一对数据一对数据,我们看到一对与另一对之间的差异是我们看到一对与另一对之间的差异是由各种因素由各种因素,如材料
12、成分、金属含量、均匀性等如材料成分、金属含量、均匀性等因素引起的因素引起的.这也说明不能将光谱仪这也说明不能将光谱仪Ix 对对9个试个试块的测量结果块的测量结果(即表中第一行即表中第一行)看成是一个样本看成是一个样本,同同样也不能将表中第二行看成一个样本样也不能将表中第二行看成一个样本,因此不能因此不能用表用表8.1中第中第4栏的检验法作检验栏的检验法作检验.)01.0(而同一对中两个数据的差异那么可看成是仅由这而同一对中两个数据的差异那么可看成是仅由这两台仪器性能的差异所引起的两台仪器性能的差异所引起的.这样这样,局限于各对中两局限于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因素个数据来比较就能排
13、除种种其他因素,而只考虑单独由而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响仪器的性能所产生的影响.表中第三行表示各对数据的差表中第三行表示各对数据的差iiiyxd ),(,221 dnNddd来自正态总体来自正态总体设设 .,2均为未知均为未知这里这里 d假设两台机器的性能一样假设两台机器的性能一样,21属随机误差属随机误差则各对数据的差异则各对数据的差异nddd随机误差可以认为服从正态分布随机误差可以认为服从正态分布,其均值为零其均值为零.0.:0,:10 ddHH 要检验假设要检验假设212*,nnd ddds设设的的样样本本均均值值样样本本修修正正方方差差按关于单个正态分布均值的按关于单个正态分
14、布均值的t检验检验,知拒绝域为知拒绝域为201/*(),/ndttnsn ,9 n由由,3554.3)8()8(005.02/tt,06.0 d0 1227*.,ns 467.1 t可知可知,3554.3 ,0H所以接受所以接受认为这两台仪器的测量结果无显著的差异认为这两台仪器的测量结果无显著的差异.二、二、检验检验 ,),(22均为未知均为未知设总体设总体 NX ,:,:20212020 HH(1)要求检验假设要求检验假设:,21的样本的样本为来自总体为来自总体 XXXXn .0为已知常数为已知常数其中其中 22*,nS由由于于是是的的无无偏偏估估计计 ,0为真时为真时当当H220*1,11
15、,ns比比值值在在 附附近近摆摆动动 不不应应过过分分大大于于 或或过过分分小小于于 ,设显著水平为设显著水平为2根据根据第二章第二章2.3,2202011*(),(),nnSHn 当当为为真真时时22201*(),nnS 取取作作为为统统计计量量2212220011*()(),nnnsnskk拒拒绝绝域域的的形形式式或或 :21的值由下式确定的值由下式确定和和此处此处kk 00HHP为真拒绝为真拒绝202212220011*()().nnnSnSPkk指它们的和集指它们的和集为了计算方便为了计算方便,习惯上取习惯上取20212012*(),nnSPk 20222012*(),nnSPk .)
16、1(,)1(22/222/11 nknk 故得故得拒绝域为拒绝域为:2201*()nns 2121/()n 2201*()nns 或或.)1(22/n )02.0(解解,5000:,5000:2120 HH要检验假设要检验假设,26 n,02.0 ,500020 ,314.44)25()1(201.022/n例例5 某厂生产的某种型号的电池某厂生产的某种型号的电池,其寿命长期以其寿命长期以来服从方差来服从方差 =5000(小时小时2)的正态分布的正态分布,现有一现有一批这种电池批这种电池,从它生产情况来看从它生产情况来看,寿命的波动性有寿命的波动性有所变化所变化.现随机的取现随机的取26只电池
17、只电池,测出其寿命的样本测出其寿命的样本方差方差s2=9200(小时小时2).问根据这一数据能否推断这问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化?2,524.11)25()1(299.022/1 n2201*()nns ,524.11拒绝域为拒绝域为:2201*()nns 或或.4.3144220125 92005000*()46 nns 因因为为,4.3144 ,0H所以拒绝所以拒绝 认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化的变化.例例6(p1606(p160例例5.7)5.7)美国民
18、政部门对某住宅区住户的消费美国民政部门对某住宅区住户的消费情况进行的调查报告中，抽出情况进行的调查报告中，抽出9 9户为样本，每年开支除户为样本，每年开支除去税款和住宅等费用外去税款和住宅等费用外,依次为依次为:4.9,5.3,6.5,:4.9,5.3,6.5,5.2,7.4,5.4,6.8,5.4,6.35.2,7.4,5.4,6.8,5.4,6.3单位单位k k元元.假定假定住户消费数据服从正态分布，当给定住户消费数据服从正态分布，当给定=0.05,=0.05,问所有问所有住户消费数据的总体方差为住户消费数据的总体方差为0.30.3是否可信是否可信?解解22010 30 3 :.,:.,H
19、H按按题题意意要要检检验验,9 n5 91.,x 26 05 9*./,ns 查表得查表得,18.2)8(2975.0 ,5.17)8(2025.0 22016 0520 1717 50 3*().,.nns 于于是是0,H故故拒拒绝绝所有住户消费数据的总体方差为所有住户消费数据的总体方差为0.3不可信不可信三、三、F 检验检验,),(,21121的样本的样本为来自正态总体为来自正态总体设设 NXXXn ,222121均为未知均为未知又设又设 0111222222:,:,HH需要检验假设需要检验假设:,),(,22221的样本的样本为来自正态总体为来自正态总体 NYYYn1222*,.nnSS
20、且且设设两两样样本本独独立立 其其样样本本方方差差为为 ,0为真时为真时当当H1222221121*()(),nnE SE S ,1为真时为真时当当H22221122()(),E SE S ,1为真时为真时当当H122122*,nnSS观观察察值值有有偏偏大大或或偏偏小小的的趋趋势势11112211122211*,nnnnsskkss故故拒拒绝绝域域的的形形式式为为或或 :的值由下式确定的值由下式确定此处此处 k1122221212222211122222*nnnnSSPkPkSS00 ,P HH 要要使使为为真真拒拒绝绝为为了了计计算算简简单单，令令1112121222*2*2*2*2222
21、21212 ,.nnnnSSSSPkPk1121211*2*22212(,).nnSSF nn定理定理2.10根据根据第二章第二章2.3定理定理2.102.10知知12122112222211221221111*:(,)(,)nnnnsWxFnnssFnns 或或检验问题的拒绝域为检验问题的拒绝域为上述检验法称为上述检验法称为F检验法检验法.1122121221111 (,),(,).kFnnkFnn 即即 例例7 7(p104例例5.8)为了考察温度对某物体断裂强为了考察温度对某物体断裂强力的影响，在力的影响，在70度和度和80度分别重复做了度分别重复做了8次试验，次试验，测得的断裂强力的数
22、据如下测得的断裂强力的数据如下(单位单位Pa):70度：度：20.5,18.8,19.8,21.5,19.5,21.0,21.2 80度：度：17.7,20.3,20.0,18.8,19.0,20.1,20.2,19.10211022270800 05(,),(,),.CXNCYNXY 假假定定下下的的断断裂裂强强力力用用 表表示示，且且服服从从下下的的断断裂裂强强力力用用 表表示示，且且服服从从试试问问时时，与与 的的方方差差有有无无显显著著差差异异？解解2222012112:HH假假设设检检验验问问题题所以两总体方差无显著差异所以两总体方差无显著差异.12211221820 40 8857
23、819 40 8286*,.,.,.,.,nnnxsnys1221221 07*.nnsFs计计算算得得0 0250 9750 025117 74 997 77 74 99.(,).,(,)(,).FFF查查表表得得0 0250 9757 77 7.(,)(,)FFF因因而而例例8 分别用两个不同的计算机系统检索分别用两个不同的计算机系统检索10个资料个资料,测得平测得平均检索时间及方差均检索时间及方差(单位单位:秒秒)如下如下:解解1222123 0973 1792 671 21*.,.,.,.,nnxyss假定检索时间服从正态分布假定检索时间服从正态分布,问这两系统检索资料问这两系统检索资
24、料有无明显差异有无明显差异?根据题中条件根据题中条件,首先应检验方差的齐性首先应检验方差的齐性.0121122222:,:.HH假假设设,03.4)9,9(025.0 F,248.0)9,9(975.0 F122122*nnsFs 取取统统计计量量,12.221.167.2 )05.0(,03.412.2248.0 F,0H故接受故接受.22yx 认为认为 ,yx 再验证再验证.:,:10yxyxHH 假设假设,11 21nnSYXtw 取统计量取统计量12221122212112*()().nnwnSnSSnn 其其中中 ,0为真时为真时当当H).2(21 nntt,101 n,102 n,
25、101.2)18(05.0 t2111 nnSYXtw 因为因为10218)21.167.2(10179.2097.3 436.1,101.2 ,0H故接受故接受认为两系统检索资料时间无明显差异认为两系统检索资料时间无明显差异.四、单边检验四、单边检验1.右边检验与左边检验右边检验与左边检验0010:,:.HH形形如如的的假假设设检检验验称称为为右右边边检检验验0010:,:.HH形形如如的的假假设设检检验验称称为为左左边边检检验验 右边检验与左边检验统称为单边检验右边检验与左边检验统称为单边检验.首先通过一个实例来说明双边检验与单边检验的首先通过一个实例来说明双边检验与单边检验的区别与联系区
26、别与联系.某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命X(以小时计以小时计)服从正态分布服从正态分布,均为未知均为未知.现现测得测得16只元件的寿命如下只元件的寿命如下:170485260149250168362222264179379224212101280159问是否有理由认为元件的平均寿命大于问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时小时)?2,例例9 9解解,225:,225:100 HH依题意需检验假设依题意需检验假设 ,05.0 取取,16 n,5.241 x98 7259*.,ns 查表得查表得7531.1)15(05.0 t00 6685*./nxtsn .225,0小时小时大于大
27、于认为元件的平均寿命不认为元件的平均寿命不故接受故接受 H 由上述例子可以看到：两种检验使用的统计量一致，由上述例子可以看到：两种检验使用的统计量一致，区别在于拒绝域区别在于拒绝域.双边检验与单边检验的拒绝域分别为：双边检验与单边检验的拒绝域分别为：0121/*:()./nxWxttnsn 021*:()./nxWx ttnsn.,),(,),(,22212121注意两总体的方差相等注意两总体的方差相等且设两样本独立且设两样本独立样本样本的的为来自正态总体为来自正态总体的样本的样本为来自正态总体为来自正态总体设设 NYYYNXXXnn 因为与双边检验有密切关系，因而仅举一例说因为与双边检验有密
28、切关系，因而仅举一例说明。明。12221222*1,nnX YSS又又设设分分别别是是总总体体的的样样本本均均值值是是样样本本方方差差均均为为未未知知2.单边检验拒绝域的计算单边检验拒绝域的计算 利用利用t检验法检验具有相同方差的两正态总体均值差检验法检验具有相同方差的两正态总体均值差的单边假设的单边假设.011122:,:HH检检验验问问题题 .取显著性水平为取显著性水平为 :统计量作为检验统计量统计量作为检验统计量引入引入 t1211211()(),wXYTSnn 12221212112*2()().nnwnSnSSnn 其其中中1122().tt nn定理定理2.9根据根据第二章第二章2
29、.3定理定理2.92.9知知,其拒绝域的形式为其拒绝域的形式为1212211:(),wxyWxtnnsnn 又由于又由于12112121111()()(),wwXYXYTTSSnnnn 1211222()()P TtnnP Ttnn1211212222()()().TtnnTtnnTtnn由由此此可可以以看看到到比比发发生生的的概概率率还还小小，因因而而只只要要发发生生，就就拒拒绝绝原原假假设设例例10 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率议是否会增加钢的得率,试验是在同一只平炉上进行试验是在同一只平炉上进行的的.每炼一炉钢时
30、除操作方法外每炼一炉钢时除操作方法外,其它条件都尽可能做其它条件都尽可能做到相同到相同.先采用标准方法炼一炉先采用标准方法炼一炉,然后用建议的新方法然后用建议的新方法炼一炉炼一炉,以后交替进行以后交替进行,各炼了各炼了10炉炉,其得率分别为其得率分别为(1)标准方法标准方法:78.1,72.4,76.2,74.3,77.4,78.4,76.0,75.5,76.7,77.3;(2)新方法新方法:79.1,81.0,77.3,79.1,80.0,78.1,79.1,77.3,80.2,82.1;设这两个样本相互独立设这两个样本相互独立,且分别来自正态总体且分别来自正态总体),(),(2221 NN
31、和和,221均为未知均为未知 问建议的新操作方法能否提高得率问建议的新操作方法能否提高得率?)05.0(取取解解 0.:0,:211210 HH需要检验假设需要检验假设分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差:,101 n,23.76 x1213 325*.,ns,102 n,43.79 y2222 225*.,ns 122212210 110 177510102*()()2.,nnwsss且且,7341.1)18(05.0 t查表可知查表可知101101 wsyxt因为因为,295.4 ,0H所以拒绝所以拒绝即认为建议的新操作方法较原来的方
32、法为优即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.).2(21 nntt,7341.1)18(05.0 t查表查表5.2知其拒绝域为知其拒绝域为作作 业业P181 4,5,6,8,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19 1 2 3 40H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(2000已知)(2000未知),(2221212121已知nXZ/0nSXt/0222121nnYXZ0000000002/zzzzzz)1()1()1(2/nttnttntt2/zzzzzz)(22221212121未知000)1()2()2(212/2121nnttnnttnntt2)2()1(1121
33、222211221nnSnSnSnnSYXtww表表5.25.25670H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(202202202未知),(21222122212221未知)(000成对数据DDD2022)1(Sn2221SSF nSDtD/0202202202222122212221000DDD)1()1()1()1(22/1222/221222nnnn或)1,1()1,1()1,1()1,1(212/1212/21121nnFFnnFFnnFFnnFF或)1()1()1(2/nttnttntt第二章第二章2.3定理定理2.9 2.10 2.9 2.10 121212121212221112
34、222212111211111112*,(,),(,),(),()nnniiniinnniniiiXXXY YYNNXXnYYnSXXSYYnn 设设与与分分别别是是具具有有相相同同方方差差的的两两正正态态总总体体的的样样本本 且且这这两两个个样样本本互互相相独独立立 设设分分别别是是这这两两个个样样本本的的均均值值1222121222122221211*/(1)(,);/(2),nnSSF nn当当时时121212122211222212211112*()()(),()(),.wnnwwwXYt nnSnnnSnSSSSnn 其其中中则有则有差差分别是这两个样本的方分别是这两个样本的方,表5.2 40H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(2000已知)(2000未知),(2221212121已知nXZ/0nSXt/0222121nnYXZ0000000002/zzzzzz)1()1()1(2/nttnttntt2/zzzzzz)(22221212121未知000)1()2()2(212/2121nnttnnttnntt2)2()1(1121222211221nnSnSnSnnSYXtww)2(21 nntt 321
