1、 参数估计的方法是通过分析样本而估计总体参数参数估计的方法是通过分析样本而估计总体参数的取值的取值(点估计点估计)或总体参数落在什么范围或总体参数落在什么范围(区间估计区间估计)，而有些实际问题中，我们不一定要了解总体参数的取而有些实际问题中，我们不一定要了解总体参数的取值或范围，而只想知道值或范围，而只想知道，或，或是否达到既定的要求，或两个总体的某个参数有无明是否达到既定的要求，或两个总体的某个参数有无明显差异等。这类问题就是参数的假设检验问题。显差异等。这类问题就是参数的假设检验问题。简简 介介用包装机包装糖果用包装机包装糖果,每袋重量为每袋重量为服从正态分布的随机变量服从正态分布的随机
2、变量.当机器正常时当机器正常时,其均值为其均值为0.50.5公斤公斤,标准差为标准差为0.0150.015公斤公斤.为检验包装机工作是否正常为检验包装机工作是否正常,随机抽随机抽9 9袋袋,称得重量称得重量(单位单位:公斤公斤)为为:0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512 0.511 0.520 0.515 0.512问该包装机工作是否正常问该包装机工作是否正常?先看一个例子。先看一个例子。已知总体已知总体(袋装糖重量袋装糖重量)xN(,0.015 2),其中其中未知
3、未知,根据样本值来判断根据样本值来判断=0.5还是还是0.5?认为认为=0.5接受接受=0.5,或认为或认为0.5拒拒绝绝=0.5 小概率事件在小概率事件在一次一次试试验中几乎不发生验中几乎不发生.5.0:00H01:H(1)提出假设提出假设 (2)给定检验法则给定检验法则,利用样本值依统计推断原理作利用样本值依统计推断原理作出判断出判断:接受接受H0(即拒绝即拒绝H1)认为包装机工作正常认为包装机工作正常 拒绝拒绝H0(即接受即接受H1)认为包装机工作不正常认为包装机工作不正常 由于待检验的是由于待检验的是总体均值总体均值，故自然想到能否，故自然想到能否用统计量用统计量样本均值样本均值 来进
4、行判断。来进行判断。x 因为因为 是是的无偏估计，所以观察值的无偏估计，所以观察值 在一定程在一定程度上反映了度上反映了的大小。从而的大小。从而 xx|0 x)1,0(/00NnxuH 当当时时,观察值观察值 与的与的 偏差一般不偏差一般不应太大，即应太大，即x0较小较小 注意到：注意到：故应有故应有nx/0较小较小 由此可得由此可得：选定一：选定一适当适当正数正数k，使得当，使得当样本值满足样本值满足 由此可得由此可得：选定一：选定一适当适当正数正数k，使得当，使得当样本值满足样本值满足 由于作出判断的依据由于作出判断的依据仅仅为一个样本值，所以我们为一个样本值，所以我们会犯会犯：knx/0
5、knx/0 接受接受H0 拒绝拒绝H0 第一类错误第一类错误H0实际为真而作出拒绝实际为真而作出拒绝H0 第二类错误第二类错误H0实际为假而作出拒绝实际为假而作出拒绝H0犯两类错误的概率分别为犯两类错误的概率分别为为真拒绝00|HHP为假接受00|HHP 尽管主观上希望犯两类错误的概率都很小。但尽管主观上希望犯两类错误的概率都很小。但在样本容量一定的情况下，不能同时控制犯两类错误在样本容量一定的情况下，不能同时控制犯两类错误的概率。的概率。|00为真拒绝HHP 一般，称控制犯第一类错误概率的检验问题为一般，称控制犯第一类错误概率的检验问题为。为此为此,给定一个给定一个的正数的正数(0(01),
6、1),使有使有在此条件下确定在此条件下确定k的值的值.小概率小概率事件事件 在在中中,当假设当假设H0为真时为真时,统计量统计量为真拒绝000|HHPknxP)1,0(0Nnxu 由由得得2zk 至此，在至此，在下下,根据所给根据所给样本值样本值按按作出最终判断：作出最终判断：2/0/znx2/0/znx 接受接受H0 拒绝拒绝H0小概率小概率事件事件 在在中中,取显著性水平取显著性水平=0.05,由样本值由样本值0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.5110.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.5110.520 0.515 0.5120.52
7、0 0.515 0.512经计算得经计算得,511.0 x而而015.0,9n查表得查表得96.1025.02/zz计算检验统计量观察值为计算检验统计量观察值为2.29/015.05.0511.0/0nxu由由2/96.12.2|zu作出作出拒绝拒绝H0,即即认为包装机工作不正常认为包装机工作不正常.现在在一次实验中现在在一次实验中,小概小概率事件率事件|u|k竟然发生竟然发生,根据根据统计推断原理统计推断原理有理有理由怀疑假设的正确性由怀疑假设的正确性,从从而拒绝假设而拒绝假设H0.00:Hnxu0统计量统计量检验统计量检验统计量 假设假设原假设原假设01:H(双边双边)备择假设备择假设为真
8、拒绝000|HHPknxP 正小数正小数显著性水平显著性水平 区域区域 kuC|:|(H0的的)拒绝域拒绝域 在显著性水平在显著性水平下下,检验假设检验假设拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域拒绝域的边界点拒绝域的边界点22,zz临界点临界点2z2z临界点临界点uuu拒绝拒绝H0接受接受H0拒绝拒绝H0:0100:;:HH0100:;:HH0100:;:HH 由例由例1 1得得:的的2|zz zzzz 为真拒绝000|HHPznxP类似可得类似可得:为真拒绝000|HHPznxP【例例2】参数的参数的的的:1 1、根据题意提出、根据题意提出H H0 0与与H H1 1;2 2、给定给定(=0.01,0.0
9、5)(=0.01,0.05)和和n;n;3 3、根据根据H0构造构造U,U,当当H0为真时为真时,U,U的的分布已知且与未知参数无关分布已知且与未知参数无关;4 4、确定拒绝域的形式确定拒绝域的形式,并由并由|00为真拒绝HHP确定确定H0的的;5 5、抽样、抽样,根据样本观察值计算检验统计量根据样本观察值计算检验统计量U U的观的观察值察值 .若若 ,则拒绝则拒绝H H0 0;若若 ,则接受则接受H H0 0.0uCu 0Cu 0 值得注意的是值得注意的是,作参数假设检验时，所构造的检验作参数假设检验时，所构造的检验统计量与参数区间估计时所用的随机变量在形式上是统计量与参数区间估计时所用的随
10、机变量在形式上是一致的。这是由于假设检验与区间估计仅形式上不同一致的。这是由于假设检验与区间估计仅形式上不同,而本质上是相通的而本质上是相通的.的的.0100:;:HHnxz/0 【推导推导】作作与未知参数无关，且当与未知参数无关，且当H0为真时其分布已知为真时其分布已知:设总体设总体xN(,2),其中其中2已知已知,为待检验参数为待检验参数.在显在显著性水平为著性水平为(0 1)下求下求问题问题)1,0(/00NnxzHU 检验法检验法 由由|2zzP 得得为为2|zz 于是于是,可根据样本值计算可根据样本值计算z,z,并作并作出判断出判断:2|zz 也说：在显著性水平也说：在显著性水平下下
11、,总体均值总体均值；原假设原假设H H0 02|zz 原假设原假设H H0 0也说：在显著性水平也说：在显著性水平下下,总体均值总体均值假设假设0100:;:HH 【推导推导】在在 为真时为真时,仍取检验统计量为仍取检验统计量为0H)1,0(/00NnxzH 由由 zzP 得得为为zz假设假设0100:;:HH zz 参见参见P.204:表表8.1此时此时,当当H0为真时为真时z应较小应较小,当当H1为真为真时时-z偏大偏大,故拒绝故拒绝域形式为域形式为:zk【例例2】在方差已知时均值的下列两种检验问题在方差已知时均值的下列两种检验问题0100:;:HH0100:;:HH虽然形式和意义均不同虽
12、然形式和意义均不同,但在相同的显著性水平下其拒绝但在相同的显著性水平下其拒绝域是相同的域是相同的.因此因此,后者可转化为前者来处理后者可转化为前者来处理.下面讨论的各种检验也有类似情形下面讨论的各种检验也有类似情形,不再一一说明不再一一说明.假设假设0100:;:HHnsxt/0 【推导推导】作作与未知参数无关，且当与未知参数无关，且当H0为真时其分布已知为真时其分布已知)1(/00ntnsxtHT 检验法检验法 由由 )1(|2nttP 得得为为)1(|2ntt类似可得单边检验拒绝域类似可得单边检验拒绝域P.204:)1(ntt)1(ntt0100:;:HH0100:;:HH 【例例3 3】
13、P.233:4P.233:4 解解设总体设总体(装配时间装配时间)的均值为的均值为,则检验问则检验问题为题为这是这是“方差未知方差未知,均值的均值的”,采用采用.0100:;10:HH 检验统计量为检验统计量为nsxt/0拒绝域为拒绝域为7291.1)19()1(05.0tntt 由样本值得由样本值得:5099.0,2.10sx 检验统计量观察值为检验统计量观察值为7541.1/0nsxt即观察值落入拒绝域内即观察值落入拒绝域内,故故,即认为即认为)1(7291.1nt20212020:;:HH2022)1(sn与未知参数无关，且当与未知参数无关，且当H0为真时其分布已知为真时其分布已知:设总
14、体设总体xN(,2),其中其中,2均未知均未知,在显著性水在显著性水平平(0 1)下求下求问题问题2 检验法检验法的的,其中其中 为常数为常数.20 【推导推导】作作)1()1(220220nsnH 由于由于S2是是2的无偏估计的无偏估计,故当故当H0为真时为真时,比值比值 应应充分接近充分接近1,即不能过分大于即不能过分大于1或过分小于或过分小于1,从而从而形式为：形式为：202s2212kk或其中其中k1,k2由由为真拒绝00|HHP2212kkP2212kPkP习惯上对称地取习惯上对称地取22212kPkP由由2-分布的双侧分位点得：分布的双侧分位点得：)1(),1(2/222/121n
15、knk于是，所求拒绝域故为于是，所求拒绝域故为),1(2/122n注注单边检验拒绝域见表单边检验拒绝域见表8.1.20212020:;:HH)()(2201220nxHnii2 检验法检验法 ),(2/122n)1(2/22n或或)(2/22n或或 设有两个正态总体设有两个正态总体),(),(222211NyNx样本，其样本均值与样本方差分别为：样本，其样本均值与样本方差分别为：21,;,.,2121nnyyyxxx分别是来自两个正态总体的独立分别是来自两个正态总体的独立2221,;,ssyx二、双正态总体的的其中其中为已知常数为已知常数常用的是常用的是=0.211210:;:HH在显著性水平
16、为在显著性水平为(0 1)下求下求问题问题的的其中其中为已知常数为已知常数常用的是常用的是=0.211210:;:HH)2(11)(21210nntnnsyxtHw 【推导推导】作作与单正态总体情形类似可得与单正态总体情形类似可得为为在显著性水平为在显著性水平为(0 1)下求下求问题问题T 检验法检验法)2(11)(2121nntnnsyxtw注注其它检验拒绝域见表其它检验拒绝域见表8.1.检验统计量检验统计量)1,0()(0222121NnnyxzH 双边检验拒绝域双边检验拒绝域2/|zz 注注其它检验拒绝域见表其它检验拒绝域见表8.1.仅讨论情形仅讨论情形的的.2221122210:,:HH 【推导推导】作作在显著性水平为在显著性水平为(0 1)下求下求问题问题)1,1(2122210nnFssFH 由于当由于当H H0 0为真时为真时,)()(22222121sEsE而当而当H H1 1为真时为真时,)()(22222121sEsE故故 有偏大的趋势有偏大的趋势,从而拒绝域形式为从而拒绝域形式为2221ssF kssF2221 由由为真拒绝00|HHP)1,1(212221nnFssP 得所求拒绝域为得所求拒绝域为)1,1(212221nnFss注注其它检验拒绝域见表其它检验拒绝域见表8.1.【例例4】P.206
