1、线性规划问题线性规划问题在高考中的考查在高考中的考查 线性规划问题是直线方程的简单应用，线性规划问题是直线方程的简单应用，在各级各类的数学竞赛及考试中简单的在各级各类的数学竞赛及考试中简单的线性规划问题经常出现，命题形式多以线性规划问题经常出现，命题形式多以选择题、填空题为主，常与实际问题相选择题、填空题为主，常与实际问题相联系，来考察学生观察、联想以及作图联系，来考察学生观察、联想以及作图的能力，以及的能力，以及“建模建模”和解决实际问题和解决实际问题的能力，所以对于简单的线性规划知识的能力，所以对于简单的线性规划知识我们应给予足够的重视我们应给予足够的重视.考察的题目类型主要有以下几种：考
2、察的题目类型主要有以下几种：类型一：平面区域的面积问题类型一：平面区域的面积问题 类型二：最值问题类型二：最值问题 类型三：实际应用类型三：实际应用 类型四：与其他知识的交汇类型四：与其他知识的交汇 类型五：含参变量类型五：含参变量 例例1.在坐标平面上，不等式组在坐标平面上，不等式组1|31xyxy所表示的平面区域的面积为（）所表示的平面区域的面积为（）类型一：平面区域的面积问题223223（A）（B）（C）（D）2 23)121(221CADCBDABCSSS【解析】【解析】原不等式组化为原不等式组化为)0(,131xxyxy或或)0(,131xxyxy所表示的平面区域如右图所示所表示的平
3、面区域如右图所示，yxO111ABCD13 xy13xy1xy)2,1(A)21,21(B)1,0(C)1,0(D 故选故选B 【点拨】【点拨】分类讨论，通过画出区域，计算分类讨论，通过画出区域，计算面积面积 这一类型的题目不是很复杂，主这一类型的题目不是很复杂，主要是根据线性约束条件把表示的要是根据线性约束条件把表示的区域画出来，但要注意的是画图区域画出来，但要注意的是画图时边界所画直线要虚实分明，在时边界所画直线要虚实分明，在解答的过程中我们就将解答的过程中我们就将“数数”转转化为化为“形形”，体现了数形结合的，体现了数形结合的思想思想.例2.若 满足约束条件类型二：最值问题03003xy
4、xyx，xy，则 的最大值为 2zxy（1）先画出线性约束条件所表）先画出线性约束条件所表 示的平面区域，如图所示示的平面区域，如图所示,【解析】解题基本步骤：【解析】解题基本步骤：x(3,-3)(3,6)33-3yoZ=2x-y=0（1）先画出线性约束条件所表）先画出线性约束条件所表 示的平面区域，如图所示示的平面区域，如图所示,（2）再画出令）再画出令 时的临界时的临界 直线，并将临界直线平行直线，并将临界直线平行 移动，找到直线最先进入移动，找到直线最先进入 （或最后离开）可行域时的（或最后离开）可行域时的 顶点，最优解一般在可行顶点，最优解一般在可行 域的顶点或边界上取得，域的顶点或边
5、界上取得，即当即当 时时，有最大值为有最大值为9 x(3,-3)(3,6)33-3yo【解析】解题基本步骤：【解析】解题基本步骤：0z3,3yxzZ=2x-y=0【领悟】当表示线性目标函数的直线与可行域的某边【领悟】当表示线性目标函数的直线与可行域的某边 重合时，其最优解可能有无数个重合时，其最优解可能有无数个.类型三：实际应用类型三：实际应用 本公司计划本公司计划2008年在甲、乙两个电视台年在甲、乙两个电视台做总时间不超过做总时间不超过300分钟的广告，分钟的广告，广告广告总费用不超过总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为元告收费标准分别为元/分钟和分钟
6、和200元元/分钟，分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别每分钟广告，能给公司事来的收益分别为为0.3万元和万元和0.2万元问该公司如何分万元问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？万元？例例3.设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为【解析】：【解析】：xyz分钟和分钟和分钟，总收益为分钟，总收益为元，元，由题意得由题意得 3005002009000000.x
7、yxyxy，目标函数目标函数为 30002000zxy二元一次不等式组等价于二元一次不等式组等价于 3005290000.xyxyxy，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图：如图：0100200 300100200300400500yxlMx作直线作直线:300020000lxy即即 320 xy平移直线平移直线 l0100200 300100200300400500yxlMxM从图中可知，当直线从图中可知，当直线 l过过 点时，目标函数取得最大值点时，目标函数取得最大值 联立联立 30052900.xyxy，解得解得 100200
8、xy，M为(100 200)，【领悟】解决线性规划应用题的一般步骤：【领悟】解决线性规划应用题的一般步骤：（1）设出变量，找出线性约束条件；）设出变量，找出线性约束条件；（2）写出目标函数；）写出目标函数；（3）准确作图；）准确作图；（4）求出最优解）求出最优解.max30002000700000zxy类型四：与其他知识的交汇类型四：与其他知识的交汇例例4.设实数设实数x,y满足满足?xyyyxyx,03204202【思路点拨】【思路点拨】本题主要考查线性规划问题本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域由线性约束条件画出可行域,ABC即：即：然后求出目标函数的几何意义求出的最值然后求
9、出目标函数的几何意义求出的最值.；【正确解答】【正确解答】【解后反思】解题的关键是理解目标函数【解后反思】解题的关键是理解目标函数 00yyzxx的几何意义的几何意义.类似的你知道类似的你知道 22zxy的几何意义吗？的几何意义吗？00yyzxx的几何意义是：的几何意义是：的直线斜率的直线斜率,最大值为最大值为 23过过O(0,0)以及可行域中的点以及可行域中的点P(x,y)yABCOx例例5【2014年山东卷（理年山东卷（理09）】已】已知知 yx,满足的约束条件满足的约束条件 0,3-y-2x0,1-y-x当目标函数当目标函数 0)b0,by(aaxz在该约束条件下取得最小值在该约束条件下
10、取得最小值 52时，时，22ab的最小值为的最小值为()（A）5（B）4（C）5（D）2【解析】【解析】10230 xyxy 求得交点为求得交点为 2,1，则，则 22 5ab，即圆心，即圆心 0,0到直线到直线 22 50ab的距离的平方的距离的平方 222 5245【2014年全国新课标年全国新课标（理（理09）】不等式组不等式组 124xyxy的解集记为的解集记为D.有下面四个命题：有下面四个命题：.1p：(,),22x yD xy：2p(,),22x yD xy3P：(,),23x yD xy4p：(,),21x yD xy 其中真命题是其中真命题是()A2p3PB1p4p C1p2p
11、D1p3P例例6【解析】【解析】：作出可行域如图：设作出可行域如图：设 2xyz即即 122zyx，2,1A时，时，min220z 0z 1p、2p为真命题。为真命题。选选C.当直线过当直线过 类型五：含参变量类型五：含参变量【2014年安徽卷（理年安徽卷（理05）】yx,满足约束条件满足约束条件 02202202yxyxyx若若 axyz取得最大值的取得最大值的最优解最优解不唯一不唯一，则实数，则实数 a的值为的值为()211（A）或或221（B）或或21（C）或或21（D）或或例例7【解析】可行域如图所示，【解析】可行域如图所示，axyz可化为可化为 zaxy2a1，由题意知，由题意知或或
12、02 yx022 yx022 yxxyO1k2k21k例例8【2014年北京卷（理年北京卷（理06）】若若,x y满足满足 20200 xykxyy且且 zyx的最小值为的最小值为-4，k的值为（的值为（）则则.2A.2B 1.2C1.2D【解析】由约束条件【解析】由约束条件 作出可行域如图，作出可行域如图，由由kxy+2=0，得，得x=B（）由由z=yx得得y=x+z 由图可知，当直线由图可知，当直线y=x+z过过 B时直线在时直线在y轴上的截距最小，轴上的截距最小，即即解得：解得：k=故选：故选：D【2014年湖南卷（理年湖南卷（理14）】yx,若变量若变量 满足约束条件满足约束条件 k,4,kyyxxy且且 yxz 2的最小值为的最小值为6，则则_ _.练习练习【解析】求出约束条件中三条直线的交点为【解析】求出约束条件中三条直线的交点为 ,4,k kk k,2,2.且不等式组且不等式组,4yx xy限制的区域如图限制的区域如图,2k 所以所以 当当,k k为最优解时为最优解时,362kk 当当4,k k为最优解时为最优解时,2 4614kkk (舍舍)
