1、 本节内容主要是研讨本节内容主要是研讨Poisson 方程的求解解析方法。方程的求解解析方法。电场是带电导体所决定的。自由电荷只能分布电场是带电导体所决定的。自由电荷只能分布在导体的表面上。因此，在在导体的表面上。因此，在没有电荷没有电荷分布的区域分布的区域V里里,Poissons equation 就转化为就转化为 Laplaces equation，即，即产生这个电场的电荷都是分布于区域产生这个电场的电荷都是分布于区域V的边界上，它的边界上，它0 220们的作用通过边界条件反映出来：们的作用通过边界条件反映出来：给定给定 给定给定 或导体总电量或导体总电量所以，讨论的问题归结为：所以，讨论
2、的问题归结为：怎样求解（通解）怎样求解（通解）Laplaces equation.怎样利用边界条件及边值关系求出积分常数。怎样利用边界条件及边值关系求出积分常数。Laplaces equation可以用分离变量法求通解，其可以用分离变量法求通解，其求解条件是：求解条件是：方程是齐次的。方程是齐次的。边界应该是简单的几何面。边界应该是简单的几何面。（能用分离变量法条件：能用分离变量法条件：求区无电荷，边界规则求区无电荷，边界规则）SQdsnSn （1）在）在直角坐标系直角坐标系中中设设在数学物理方法中，该方程的通解的在数学物理方法中，该方程的通解的 （A、B、C为待定系数）为待定系数）02222
3、222zyx)()()(),(zZyYxXzyx)sincos()sincos()sincos(),(212121zkCzkCykBykBxkAxkAzyxzzyyxx或者写成或者写成 （2）在）在中中设设该方程的通解为该方程的通解为)(;),(222yxzzikyikxikkkkeeezyxzyx01)(1222222zrrrrr)()()(),(zZrRzr)sinh()cosh()sin()cos()()(),(212121kzCkzCnBnBkrNAkrJAzrmm其中，其中，Jm为为m阶第一类贝塞尔函数，阶第一类贝塞尔函数，Nm为为m阶第二阶第二类贝塞尔函数。类贝塞尔函数。如果考虑与
4、如果考虑与z轴无关（轴无关（k=0）情况，并讨论的区域是）情况，并讨论的区域是 ，故通解为，故通解为)sin()()()cos()()()1(!)2()1()(02mkrJkrJmkrNnmnkrkrJmmmnnmnm为伽马函数20110)sin()()cos()(ln),(nnnnnnnnnnonrDrCnrBrArBAr这里这里A，B，C，D为待定系数。为待定系数。（3）在）在球坐标系球坐标系中中设设其通解为其通解为0sin1 )(sinsin1)(122222222rrrrrr),()(),(YrRrmnmnnnmnnmmnmnnnmnnmmPrDrCmPrBrAr,1,1)sin()(
5、cos)()cos()(cos)(),(这里这里 为缔合勒让德（为缔合勒让德（Legendre)函数函数 对于具有轴对称的问题，对于具有轴对称的问题，m=0(取此轴为极轴）取此轴为极轴）且且这里这里 为勒让德函数，为勒让德函数，、为待定系数为待定系数 对于球对称的问题，对于球对称的问题，m=0,n=0。且。且 说明两点：说明两点：)(cosmnP01)(cos)(),(nnnnnnPrBrAr)(cosnP为待定系数BArBAr,)(nAnB 第一，如果考虑问题中有第一，如果考虑问题中有i i 个区域（均匀分布），个区域（均匀分布），必须有必须有i i个相应的个相应的Laplaces equa
6、tion.第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值关系：关系：边界条件：边界条件：及导体的总电荷及导体的总电荷)(面上在ijjjiijiSnnQdsnSSSn或3、举例说明定特解的方法举例说明定特解的方法例例1一个内径和外径分别为一个内径和外径分别为R2和和R3的导体球壳，带的导体球壳，带电荷为电荷为Q。同心地包围着一个半径为。同心地包围着一个半径为R1的导体球的导体球（R1R2)，使半径，使半径R1的导体球接地，求空间各点的的导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。电势和这个导体球的感应电荷。Solution:第一步：分析题意，找出第一步：
7、分析题意，找出定解条件定解条件 根据题意，具有球对称性，根据题意，具有球对称性，电势不依赖于极角电势不依赖于极角 和方位角和方位角 ，只与半径，只与半径r有关。有关。QR1R2R3即即故定解条件为：故定解条件为：边界条件：边界条件：(i)因为导体球接地，有因为导体球接地，有 (ii)因整个导体球壳为等势体，有因整个导体球壳为等势体，有)(),(rr2 .0 .02122312RrRRr(3)0121rRr(4)3212RrRr (iii)球壳带电量为球壳带电量为Q，根据，根据Gauss theorem得到得到 第二步，根据定解条件确定通解和待定常数第二步，根据定解条件确定通解和待定常数 由方程
8、式由方程式(1)、(2)可看出，电势不依赖于可看出，电势不依赖于，取，取n=0；不依赖于；不依赖于，取，取 ,故得到导体球壳故得到导体球壳内、外空间的电势：内、外空间的电势：SQsdE0(5)0222123QdrrdrrRrRr1)(cosnP由（由（3）式得）式得从而得到从而得到(7)(6)21231RrRrDCRrrBA(9).0 ,(8)0 .0 ,1211RDCRrAr当当(11)11(10)121RrDrB由由（4）式得）式得由（由（5）式得）式得即即将（将（13）式代入（）式代入（12）式，即得）式，即得(12)11(123RRDRB044QDB(13)40QDB)111(4321
9、30RRRRQD令令因此得到：因此得到：将将A、B、C、D系数代入到（系数代入到（6）、（）、（7）式，即得电）式，即得电势的解：势的解：)111(32131RRRRQQ011010104 ,444 ,0QDRQCQQBA导体球上的感应电荷为导体球上的感应电荷为)(44)(442101101230101RrRrQRQrDCRrrQrQrB1220102101022011114)11(4QdrrQdrRrQrdrrRrRrRr例例2介电常数为介电常数为的均匀介质球，半径为的均匀介质球，半径为R，被置于，被置于均匀外场均匀外场 中，球外为真空。求电势分布。中，球外为真空。求电势分布。Solutio
10、n:第一步：根据题意，第一步：根据题意，找出定解条件找出定解条件 由于这个问题具有轴对称性，取极轴由于这个问题具有轴对称性，取极轴z沿外电沿外电 场方向，介质球的存在使空间分为两个均匀区域场方向，介质球的存在使空间分为两个均匀区域球内、球外。两区域内都没有自由电荷。因此电势球内、球外。两区域内都没有自由电荷。因此电势 满足满足Laplaces equation。以。以 代表球外区域的电势，代表球外区域的电势，代表球内区域的电势，故代表球内区域的电势，故0E0EzR0E12(4)(3)(2)(coscos(1)0 )(21021100112RrRrRrRrrnnrPErERr(8)(7)(6)(
11、5)0 )(102120222RrRrRrRrrnnRr有限值第二步：根据定解条件确定通解和待定常数第二步：根据定解条件确定通解和待定常数 由于问题具有轴对称性，即由于问题具有轴对称性，即 与与 无关，故无关，故由（由（2）式得）式得比较两边系数，得比较两边系数，得nnnnnnnnnnnnRrPrdrcRrPrbra(10)()(cos)(9)()(cos)(1211)(cos)(cos)1(1011rPEPrbrarnnnnnnri由（由（6）式得）式得从中可见从中可见故有：故有：)1(.0 01naEan有限值0102)(cos)1(rnnnnnnrPrdrcnnnnnnnnPrcPrbr
12、PE(12)(cos(11)(cos1)(cos211010nd再由（再由（3）、（）、（4）式或者（）式或者（7）、（）、（8）式得到：）式得到：比较比较 的系数，得的系数，得nnnnnnnnnnnnnnnnPRcPRbnPEPRcPRbRPE)(cos)(cos1)1()(cos)(cos)(cos1)(cos10210110)(cosnP(14)(13)1 2103101210ncRbERcRbRE由（由（15）、（）、（16）式给出：）式给出：由（由（13）、（）、（14）式给出）式给出(16)(15)1 )1(1021nRncRbnRcRbnnnnnnnn(19)23(18)2000
13、130001EcREb(17)1(.0 ,0ncbnn由此得到电势为由此得到电势为相应地，球内、外的电场强度为相应地，球内、外的电场强度为)(cos23)(cos12cos00022030001RrrERrrERrErrrerEReeErERrEererE303000203000112cos2)sin(coscos12cos1其中其中 第二项和第三项之和实际上是一个等效的放在第二项和第三项之和实际上是一个等效的放在原点的偶极子在球外产生的电场，其电偶极矩为原点的偶极子在球外产生的电场，其电偶极矩为因此，球外区域的电场为：因此，球外区域的电场为：而而erER303001sin2zreee)sin
14、(cos0300024ERpEEE01同理得到同理得到350)(341rprrrpE000000000000222323)sin(cos23cos231EeEeeErEererEzrr由此可见，球内的场是一个与球外场平行的恒定场。由此可见，球内的场是一个与球外场平行的恒定场。而且球内电场比原则外场而且球内电场比原则外场 为弱，这是极化电荷造为弱，这是极化电荷造成的。成的。在球内总电场作用下，介质球的极化强度的在球内总电场作用下，介质球的极化强度的介质球的总电偶极矩为介质球的总电偶极矩为0000202032)(EEExPe0000202032)(EEExPe0300034234ERPRp0EClass is Over!
