1、控制系统仿真技术控制系统仿真技术主讲：张晓东主讲：张晓东信息与控制工程学院信息与控制工程学院 自动化系自动化系中国石油大学中国石油大学(华东华东)中国石油大学中国石油大学(华东华东)中国石油大学中国石油大学(华东华东)参考书目v控制系统数字仿真与CAD，张晓华主编，机械工业出版社v系统仿真导论，肖田元等编著，清华大学出版社，2001v控制系统计算机辅助设计MATLAB语言与应用第2版，薛定宇著，清华大学出版社，2006中国石油大学中国石油大学(华东华东)成绩v平时（15%）上课+作业v实验（15%）v考试（闭卷）（70%）中国石油大学中国石油大学(华东华东)概述v系统、模型与仿真v系统仿真类型
2、v仿真技术的应用v计算机仿真软件中国石油大学中国石油大学(华东华东)v仿真仿真 也称系统仿真，仿真的基本思想是利用物理的也称系统仿真，仿真的基本思想是利用物理的或数学的模型来类比模仿现实系统的过程，以或数学的模型来类比模仿现实系统的过程，以寻求对真实系统的认识。寻求对真实系统的认识。v计算机仿真计算机仿真 是基于所建立的系统模型，利用计算机对系统是基于所建立的系统模型，利用计算机对系统进行分析与研究的方法进行分析与研究的方法v控制系统计算机仿真控制系统计算机仿真 基于系统的数学模型，利用计算机对控制系统基于系统的数学模型，利用计算机对控制系统系统进行分析与研究。系统进行分析与研究。仿真原则：仿
3、真原则：相似性原则相似性原则系统、模型、仿真系统、模型、仿真 仿真的三个方面：中国石油大学中国石油大学(华东华东)0.1 系统、模型与仿真 v0.1.1系统 系统这个术语已经在各个领域用得如此广泛，以至很难给它下一个定义G.戈登 任何事物都是在联系中显现出来的，都是在系统中存在的，系统联系规定每一事物，而每一联系又能反映系统的联系的总貌德谟克利特（公元前460公元前370年）按照某些规律结合起来，互相作用、互相依存的所有实体的集合或总和G.戈登电动机转速闭环控制系统电动机转速闭环控制系统 实体：电动机、测速元件、比较元件以及控制器。相互作用：实现按给定要求调节电动机的速度 闭环控制系统闭环控制
4、系统采集卡被控系统被控系统实际输出实际输出y y理想输出理想输出r r控制输出控制输出u u实际输出实际输出y y误差误差e=r-ue=r-u寻找合适的寻找合适的u u，使使y y更好地复现更好地复现r r中国石油大学中国石油大学(华东华东)定义系统定义系统v确定边界、输入、输出确定边界、输入、输出v三要素：三要素：实体：确定了系统的构成（边界）；实体：确定了系统的构成（边界）；属性：也称为描述变量，描述每一实体的特征；属性：也称为描述变量，描述每一实体的特征；活动：定义了系统内部实体之间的相互作用，活动：定义了系统内部实体之间的相互作用，从而确定了系统内部发生变化的过程。从而确定了系统内部发
5、生变化的过程。边界边界环境环境系统系统输入输入输出输出0.1.2 模型模型 v 模型模型实际系统本质的抽象与简化实际系统本质的抽象与简化（1）真实的系统尚未建立）真实的系统尚未建立（2）可能会引起系统破坏或发生故障）可能会引起系统破坏或发生故障（3）难以保证每次试验的条件相同）难以保证每次试验的条件相同（4）试验时间太长或费用昂贵）试验时间太长或费用昂贵模型分为两大类模型分为两大类物理模型，采用一定比例尺按照真实系统的物理模型，采用一定比例尺按照真实系统的“样子样子”制制作沙盘模型作沙盘模型数学模型，用数学表达式形式来描述系统的内在规律。数学模型，用数学表达式形式来描述系统的内在规律。模型是对
6、现实系统有关结构信息和行为的某种形模型是对现实系统有关结构信息和行为的某种形式的描述，是对系统的特征与变化规律的一种定式的描述，是对系统的特征与变化规律的一种定量抽象，是人们认识事物的一种手段或工具。量抽象，是人们认识事物的一种手段或工具。定义如下集合结构：定义如下集合结构：T：时间基，描述系统变化的时间坐标：时间基，描述系统变化的时间坐标T为整数则称为离散时间系统，为整数则称为离散时间系统，T为实数则称为连续时间系统为实数则称为连续时间系统X：输入集，代表外部环境对系统的作用。：输入集，代表外部环境对系统的作用。X被定义为被定义为 ,其中其中 ，X即代表即代表n个实值的输入变量。个实值的输入
7、变量。：输入段集，描述某个时间间隔内输入模式，是：输入段集，描述某个时间间隔内输入模式，是(X,T)的子集。的子集。Q：内部状态集，是系统内部结构建模的核心。：内部状态集，是系统内部结构建模的核心。：状态转移函数，定义系统内部状态是如何变化的。：状态转移函数，定义系统内部状态是如何变化的。它是映射：它是映射：),(YQXTSnRInQQ:数学模型数学模型 v 其含义：若系统在其含义：若系统在 时刻处于状态时刻处于状态q，并，并施加一个输入段施加一个输入段 ，则，则 表表示系统处于示系统处于 状态。状态。：输出函数，它是映射：输出函数，它是映射：输出函数给出了一个输出段集。输出函数给出了一个输出
8、段集。Y：输出集，系统通过它作用于环境。：输出集，系统通过它作用于环境。0tXtt10,:),(q1tYTXQ:数学模型数学模型 系统模型水平系统模型水平 v行为水平行为水平亦称为输入亦称为输入/输出水平输出水平 将系统视为一个将系统视为一个“黑盒黑盒”，在输入信号的，在输入信号的作用下，只对系统的输出进行测量；作用下，只对系统的输出进行测量；v分解结构水平分解结构水平 将系统看成若干个黑盒连接起来，定义每将系统看成若干个黑盒连接起来，定义每个黑盒的输入与输出，以及它们相互之间个黑盒的输入与输出，以及它们相互之间的连接关系；的连接关系；v状态结构水平状态结构水平 不仅定义了系统的输入与输出，而
9、且还定不仅定义了系统的输入与输出，而且还定义了系统内部的状态集及状态转移函数。义了系统内部的状态集及状态转移函数。Orn分类：分类：模型描述变量的模型描述变量的轨轨 迹迹模模 型型形形 式式变量范围变量范围模型的模型的时间集合时间集合连续连续离散离散空间连续变化模型空间连续变化模型偏微分方程偏微分方程连续时间连续时间模型模型空间不连续变化空间不连续变化模型模型常微分方程常微分方程差分方程差分方程离散时间离散时间模型模型离散（变化）离散（变化）模型模型有限状态机有限状态机马尔可夫链马尔可夫链活动扫描活动扫描连续时间连续时间模型模型事件调度事件调度进程交互进程交互中国石油大学中国石油大学(华东华东
10、)模型的建立v机理分析法v辨识的方法 Make everything as simple as possible,but not simpler.-Albert Einstein0.1.3 仿真仿真 定义：定义：1961年，年，G.W.Morgenthater，首次技术性定义，首次技术性定义“仿真意指在实际系统尚不存在的情况下仿真意指在实际系统尚不存在的情况下,对于系统或活动本对于系统或活动本质的实现质的实现”。1978年，年，Krn，“连续系统仿真连续系统仿真”“用能代表所研究的系统的模型作实验用能代表所研究的系统的模型作实验”。1982年，年，Spriet进一步将仿真的内涵加以扩充进一步将
11、仿真的内涵加以扩充“所有支持模型建立与模型分析的活动即为仿真活动所有支持模型建立与模型分析的活动即为仿真活动”1984年，年，Orn 给出了仿真的基本概念框架给出了仿真的基本概念框架“建模实建模实验分析验分析”“仿真是一种基于模型的活动仿真是一种基于模型的活动”中国石油大学中国石油大学(华东华东)Simulator&EmulatorvSimulator a piece of equipment that artificially creates a particular set of conditions in order to train sb to deal with a situatio
12、n that they may experience in reality vEmulator a device or piece of software that makes it possible to use programs,etc.on one type of computer even though they have been designed for a different type系统、模型、仿真的关系系统、模型、仿真的关系 系统：研究的对象系统：研究的对象模型：系统的抽象模型：系统的抽象仿真：是对模型的实验仿真：是对模型的实验 系统仿真的三个基本活动：系统仿真的三个基本活动
13、：系统建模系统建模系统辨识技术范畴系统辨识技术范畴仿真建模仿真建模即针对不同形式的系统模型研究其求解算法即针对不同形式的系统模型研究其求解算法仿真实验仿真实验检验（检验（Verification）“仿真程序仿真程序”的检验的检验 验证（验证（Validation）将仿真结果与实际将仿真结果与实际 系统的行为进行比较系统的行为进行比较 系系 统统模模 型型计算机计算机系统建模系统建模仿真实验仿真实验仿真建模仿真建模中国石油大学中国石油大学(华东华东)Verify&ValidatevVerify to check that sth is true or accuratevValidate to p
14、rove that sth is true现代仿真技术现代仿真技术现代仿真技术现代仿真技术：将仿真活动扩展到上述三个方面，并将其统一到同一环境中。：将仿真活动扩展到上述三个方面，并将其统一到同一环境中。系统建模系统建模v 基本定律及系统辨识等方法计算机程序化基本定律及系统辨识等方法计算机程序化v 用仿真方法确定实际系统的模型用仿真方法确定实际系统的模型v 基于模型库的结构化建模基于模型库的结构化建模v 采用面向对象建模（采用面向对象建模（Object-Oriented Modeling）方法，在类库的基础）方法，在类库的基础上实现模型拼合与重用上实现模型拼合与重用仿真建模仿真建模v 许多新算法
15、和新软件许多新算法和新软件v 模型与实验分离技术，即模型的数据驱动（模型与实验分离技术，即模型的数据驱动（data driven）。）。v 仿真问题分为两部分：模型与实验仿真问题分为两部分：模型与实验v 模型又分为两部分：参数模型和参数值模型又分为两部分：参数模型和参数值仿真实验仿真实验v 将实验框架与仿真运行控制区分将实验框架与仿真运行控制区分v 实验框架定义一组条件实验框架定义一组条件v 输出函数的定义也与仿真模型分离开来输出函数的定义也与仿真模型分离开来 0.2 系统仿真的类型系统仿真的类型 系统仿真系统仿真-建立系统的模型建立系统的模型,并在模型上进行实验并在模型上进行实验.例如例如:
16、(1):(1)将按一定比例缩小的飞行器模型置于风洞中吹风将按一定比例缩小的飞行器模型置于风洞中吹风,测出飞行器的升力、阻力、力矩等特性；测出飞行器的升力、阻力、力矩等特性；(2)(2)要建设一个大水电站要建设一个大水电站,先建一个规模缩小的小水电站来取先建一个规模缩小的小水电站来取得建设水电站的经验及其运行规律得建设水电站的经验及其运行规律.(3)(3)指挥员利用沙盘来指挥一个战役或一个战斗指挥员利用沙盘来指挥一个战役或一个战斗.系统仿真是系统仿真是分析和研究各种（复杂）系统的重要工具分析和研究各种（复杂）系统的重要工具.控制系统：先进控制策略控制系统：先进控制策略APC在实施之前，必须建立装
17、置的在实施之前，必须建立装置的模型进行仿真，观察控制效果模型进行仿真，观察控制效果中国石油大学中国石油大学(华东华东)分类v模型的物理属性模型的物理属性 物理仿真物理仿真 数学仿真数学仿真 半实物仿真半实物仿真v仿真计算机类型分类仿真计算机类型分类 模拟计算机仿真模拟计算机仿真 数字计算机仿真数字计算机仿真 数字模拟混合仿真数字模拟混合仿真 中国石油大学中国石油大学(华东华东)分类v仿真时钟与实际时钟的比例物理仿真仿真时钟与实际时钟的比例物理仿真 实时仿真实时仿真 亚实时仿真亚实时仿真 超实时仿真超实时仿真v系统模型的特性系统模型的特性 连续系统仿真连续系统仿真 集中参数系统集中参数系统(OD
18、E)、分布参数系统、分布参数系统(PDE)、差分模型差分模型 离散事件系统仿真离散事件系统仿真 状态变化发生在随机事件点上，引起变化的行为成状态变化发生在随机事件点上，引起变化的行为成为事件为事件0.3系统仿真的一般步骤系统仿真的一般步骤 v 建模与形式化：建模与形式化：v 确定模型的边界，确定模型的边界，v 模型进行形式化处理模型进行形式化处理v 仿真建模：仿真建模：v 选择合适的算法，选择合适的算法，v 算法的稳定性、计算精度、计算速度算法的稳定性、计算精度、计算速度v 程序设计程序设计：v 将仿真模型用计算机能执行的程序来描述将仿真模型用计算机能执行的程序来描述v 程序中要包括仿真实验的
19、要求程序中要包括仿真实验的要求v 仿真运行参数、控制参数、输出要求仿真运行参数、控制参数、输出要求v 模型校验：程序调试模型校验：程序调试v 检验所选仿真算法的合理检验所选仿真算法的合理v 检验模型计算的正确性（检验模型计算的正确性（Verification）v 仿真运行：对模型进行实验仿真运行：对模型进行实验v 仿真结果分析：对系统性能作出评价仿真结果分析：对系统性能作出评价v 模型可信性检验（模型可信性检验（Validation）v 只有可信的模型才能作为仿真的基础只有可信的模型才能作为仿真的基础 实际系统建模与形式化形式模型仿真建模程序设计仿真模型校验正确否？否仿真运行仿真结果分析是正确
20、否？否是结束仿仿 真真 的的 一一 般般 步步 骤骤可信否？否是中国石油大学中国石油大学(华东华东)0.4 仿真技术的应用 v为了研究、分析、设计和实现一个系统需要进行实验v实验的方法：1）直接在真实系统上进行 2）先构造模型，然后通过对模型的实验代替（或部分代替）真实系统的实验v 通过模型实验的方法日益被人们所使用中国石油大学中国石油大学(华东华东)在真实系统上进行试验v在真实系统上试验会破坏系统的正常运行；v难以按预期的要求改变参数，或者得不到所需要的试验条件；v很难保证每次的操作条件相同，难以对试验结果做出正确的判断；v无法复原；v试验时间太长、费用太大或者有危险等 v系统处于设计阶段，
21、真实系统尚未建成0.4.1仿真技术在系统设计中的应用仿真技术在系统设计中的应用 v新系统设计新系统设计：提供了强有力的工具，在可行性论证阶段，进行提供了强有力的工具，在可行性论证阶段，进行定量比较，为系统设计打下坚实的基础。定量比较，为系统设计打下坚实的基础。在系统设计阶段，进行模型实验、模型简化并进在系统设计阶段，进行模型实验、模型简化并进行优化设计行优化设计v系统改造设计系统改造设计：利用仿真技术进行分系统实验，即一部分采用实利用仿真技术进行分系统实验，即一部分采用实际部件，另一部分采用模型，避免由于新的子系际部件，另一部分采用模型，避免由于新的子系统的投入可能造成对原系统的破坏或影响，大
22、大统的投入可能造成对原系统的破坏或影响，大大缩短开工周期，提高系统投入的一次成功率缩短开工周期，提高系统投入的一次成功率 0.4.2仿真技术在系统分析中的应用仿真技术在系统分析中的应用 v要对系统进行分析，必须进行试验：要对系统进行分析，必须进行试验：在真实系统上分析在真实系统上分析 仿真分析仿真分析0.4.3 仿真在教育与训练中的应用仿真在教育与训练中的应用 训练仿真系统训练仿真系统 利用计算机并通过运动设备、操纵设备、显示设备、仪器利用计算机并通过运动设备、操纵设备、显示设备、仪器仪表等复现所模拟的对象行为，并产生与之适应的环境，仪表等复现所模拟的对象行为，并产生与之适应的环境，从而成为训
23、练操纵、控制或管理这类对象的人员的系统。从而成为训练操纵、控制或管理这类对象的人员的系统。三大类：三大类：v 载体操纵型载体操纵型 这是与运载工具有关的仿真系统，航空、航这是与运载工具有关的仿真系统，航空、航天、航海、地面运载工具，以训练驾驶员的操纵技术为主天、航海、地面运载工具，以训练驾驶员的操纵技术为主要目的。要目的。v 过程控制型过程控制型 用于训练各种工厂的运行操作人员，如电厂、用于训练各种工厂的运行操作人员，如电厂、化工厂、核电站、电力网等化工厂、核电站、电力网等v 博弈决策型博弈决策型 企业管理人员（厂长、经理），企业管理人员（厂长、经理），交通管制人员（火车调度、航空管制、港口管
24、制、城市交通管制人员（火车调度、航空管制、港口管制、城市交通指挥等），交通指挥等），军事指挥人员（空战、海战、电子战军事指挥人员（空战、海战、电子战等）。等）。0.4.4 仿真在产品开发及制造中的应用仿真在产品开发及制造中的应用 虚拟现实技术虚拟现实技术：虚拟环境、模仿人的视、听、动等行为的高级人：虚拟环境、模仿人的视、听、动等行为的高级人机交互机交互虚拟制造虚拟制造（Virtual Manufacturing）是实际制造在计算机上的本质实现，是仿真技术以制造过程为是实际制造在计算机上的本质实现，是仿真技术以制造过程为对象的全方位的应用。对象的全方位的应用。v 虚拟现实技术与多媒体、网络技术并
25、称为三大前景最好的计算虚拟现实技术与多媒体、网络技术并称为三大前景最好的计算机技术。机技术。v 基于基于Internet的虚拟现实在各行各业有着广泛的应用，例如房的虚拟现实在各行各业有着广泛的应用，例如房地产、旅游、购物、气象、公安、消防、教育、科研、商业、地产、旅游、购物、气象、公安、消防、教育、科研、商业、金融、海洋、农业、娱乐等方面。金融、海洋、农业、娱乐等方面。典型例子典型例子波音波音777 其整机设计、部件测试、整机装配以及各种环境下的试飞均是其整机设计、部件测试、整机装配以及各种环境下的试飞均是在计算机上完成的，使其开发周期从过去在计算机上完成的，使其开发周期从过去8年时间缩短到年
26、时间缩短到5年年 中国石油大学中国石油大学(华东华东)0.5 计算机仿真软件v程序设计语言vMatlabvANSYS、WorkBenchv等等连续系统仿真概论Chapter 1系统的数学模型v系统数学模型的重要性 系统仿真分析必须已知数学模型 系统设计必须已知数学模型 本课程数学模型是基础v系统数学模型的获取 建模方法：从已知的物理规律出发，用数学推导的方式建立起系统的数学模型 辨识方法：由实验数据拟合系统的数学模型v模型特征 连续系统、离散时间系统1.1连续系统模型描述 v连续系统 系统状态变化在时间上是连续的 可用方程式描述系统模型 常微分方程、偏微分方程、差分方程v模型分类 连续时间模型
27、 离散时间模型 连续离散混合模型1.1.1 连续时间模型v分类 常微分方程 传递函数 状态空间描述系统u输入y输出常微分方程v输入/输出模型 其中:系统的阶次 系统的结构参数 输入函数的结构参数101111201111nnnnnnnnnnnd ydydyaaaa ydtdtdtduduccc udtdt),2,1,0(niai(0,1,2,1)jc jnn实实参参数数（1）v若系统初始条件为零，对（1）式两边取拉氏变换整理得：传递函数nnnnnnnnasasasacscscscsUsYsG1110121110)()()(（2）状态空间描述v 系统内部模型v 内部变量状态变量v 状态空间模型的一
28、般形式 状态方程:（3）输出方程:（4）BUAXXYCXDU,numXRURYR状态空间描述v状态空间描述BUAXXCXY11111221122112222211221212nnnnnnnnnnnnnxa xaxaxb uxaxaxaxb uxaxaxaxb uxxycccx1.1.2 离散时间模型 v系统的输入、输出、及内部状态量是时间的离散函数时间序列v分类 差分方程 z传递函数 离散状态空间模型(),(),()(),(),()u kTy kTx kTu ky kx k差分方程v一般形式v引入后移算子 v当 ，写成递推形式0112()(1)()(1)(2)()nna y nka y nka
29、 y kbu nkb u nkb y k112()(1)()(1)(2)()nny nka y nka y kbu nkb u nkb y k 11,()(1)qq y ky k01()()nnjjjjjja qy nkb q u nk01a（5）z传递函数v系统初始条件为0，即对（6）式两边取z变换得v传递函数()()0,(0)y ku kk11011()()()()nnnnaa za zY zb zb zU z11101()()()nnnnb zb zY zG zU zaa za z0112()(1)()(1)(2)()nna y ka y ka y knbu kb u kb y kn（6
30、）离散状态空间模型(1)()()()()kFkGkkCkxxuyx连续仿真的计算机求解方法v解微分方程（组）常微分方程 传递函数 状态空间模型v离散模型的求解 差分方程 离散传递函数 离散状态空间模型1.2 模型结构变换v模型结构变换 连续系统仿真要将这个系统的模型在计算机上实现出来，首先要把系统的各种描述形式转换成内部模型-状态空间模型。p常微分方程常微分方程 p传递函数传递函数p状态空间描述状态空间描述 1.2.1 外部模型到内部模型的变换 v设连续系统的模型为v软换成状态空间模型的方法（1）引进状态变量（2）移项得 1111()nnnnnnd ydydyaaa yu tdtdtdt112
31、111,nnnndydyxyxxxxdtdt1212121211()()nnnnnnnnnnnd ydydyxaaa yu tdtdtdta xa xa xu t （3）将上述n个一阶微分方程写成矩阵形式可得11223312101000001000000111000nnnnnxxxxxxxuaaaaxxyx =v将如下微分方程转换成状态空间模型v步骤：（1）转换成传递函数（2）整理111101111nnnnnnnnnnnnd ydydyd ududuaaa ycccc udtdtdtdtdtdt1011111()()()nnnnnnnnc sc scscY sG sU ssa sasa1101
32、10100111()()()()()()nnnnnnnnncc a scc ascc aY sG scU ssa sasa（3）令 ，则（4）写出状态空间实现1111010110101()()()()()()()nnnnnnnnnY ssa sasaY sc U scc a scc ascc aY s11223312101000001000000111000nnnnnxxxxxxxuaaaaxxyx =（5）对第（3）步的 取反拉氏变换11110,nonnonoycc acc acacxc u()Y s101011010110101101010101101201()()()()()()()()
33、()nnnnnnnnnnnnnnnyc ucc a scc ascc axc ucc a sycc asycc axc ucc a xcc axcc ax323212301233232d yd ydyd ud uduaaa ycccc udtdtdtdtdtdt状态空间实现举例v微分方程模型v状态空间模型11223321010000101nxxxxxuxaaax =3322110,oooyca cca cca cxc uv结构图+ye+x2x1x3c1-a1c0c2-a2c0 c3-a3c0-a3-a2-a1c0 外部模型变换到内部模型不唯一，所以仿真模型也不唯一。一个系统有多种实现，最小实现
34、的充要条件是(A、B、C)为完全能控且完全能观测。1.2.2 面向结构图的模型变换 v将系统描述成结构图的形式v结构图由典型环节组成 惯性环节、比例环节、积分环节、微分环节比例积分环节、一阶超前(或滞后)环节+-ss088.01049.0100167.044s+-1017.01ss075.011925.01101178.01给定信号信号综合1信号综合2比例积分调节器传递函数整流器传递函数电机电枢传递函数传动装置电势系数转速测速反馈系数典型环节v惯性环节(非周期环节)惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程惯性环节的动态方程是一个一阶微分方程)()()(tKrtcdttdcT其传递函数为其传递函数为
35、 1)()()(TsKsRsCsG式中式中 T 惯性环节的时间常数惯性环节的时间常数 K 惯性环节的增益或放大系数惯性环节的增益或放大系数 环节输出量与输入量成正比，不失真也无环节输出量与输入量成正比，不失真也无时间滞后的环节称为比例环节，也称无惯性环时间滞后的环节称为比例环节，也称无惯性环节。输入量与输出量之间的表达式为节。输入量与输出量之间的表达式为c(t)=Kr(t)比例环节的传递函数为比例环节的传递函数为 KsRsCsG)()()(式中式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。为常数，称为比例环节的放大系数或增益。v比例环节 输出量正比于输入量的积分的环节称为积分输出量正比于输入量的
36、积分的环节称为积分环节，其动态特性方程环节，其动态特性方程 dttrTtcti0)(1)(其传递函数其传递函数 sTsRsCsGi1)()()(式中式中Ti为积分时间常数。为积分时间常数。v积分环节v微分环节理想微分环节的特征输出量正比于输入量的理想微分环节的特征输出量正比于输入量的微分，其动态方程微分，其动态方程 dttdrTtcd)()(其传递函数其传递函数()()()dC sG sT sR s式中式中Td 称微分时间常数称微分时间常数 v比例积分环节v一阶超前（或滞后）环节2121KK sKKss1211TKTv二阶振荡环节(二阶惯性环节)二阶环节的动态方程为二阶环节的动态方程为 222
37、()()2()()d c tdc tTTc tKr tdtdt其传递函数其传递函数 22()()()21C sKG sR sT sTs222()2nnnKG sss式中式中 为无阻尼自然振荡角频率，为无阻尼自然振荡角频率，为阻尼比。为阻尼比。Tn1延迟环节是输入信号加入后，延迟环节是输入信号加入后，输出信号要延迟一段时间输出信号要延迟一段时间后才重现输入信号，其动态后才重现输入信号，其动态方程为方程为)()(trtc其传递函数其传递函数sesRsCsG)()()(式中式中称延迟时间称延迟时间 v延迟环节(时滞环节)面向结构图的系统描述)()()()()()(ssUDsUCssYBsYAsBAs
38、DCsUsYiiiiiiiiiiiiii 对于任何一个典型环节，可以抽象成：iiiiiiiiUCUDYAYBKsG)(1)(TsKsGsTsGi1)(sTsGd)(进一步，写成一阶微分方程的形式进一步，写成一阶微分方程的形式N个典型环节时，例如：1 2 3 4 5 2 4 4 +2y y1 y0 y3 y4 y5 u1 u2 u3u5被仿真的系统框图被仿真的系统框图 u4 面向结构图的系统描述n个典型环节时，写成矩阵形式写成矩阵形式系统的动态方程系统的动态方程iiiiiiiiUCUDYAYBBYAYDUCU1200nAAAA1200nBBBB1200nCCCC1200nDDDD nYYYY21
39、nUUUU21将各个环节联将各个环节联起来后，一个环起来后，一个环节的输出和其他节的输出和其他环节的输入发生环节的输入发生了联系，怎么来了联系，怎么来描述这些联系呢？描述这些联系呢？用连接矩阵来描用连接矩阵来描述。述。()()ABs YCDs U控制系统的连接矩阵01yu 12yu 13yu 5324yyyu45yu 54321uuuuu54321yyyyy=+0y11111-1100yWWYU3y3u123+454y1u1y2u2y5y4u5u-v系统连接矩阵 描述系统内部各环节连接情况，元素表示环节输出到输入的连接系数v外部输入的连接矩阵 描述了外部输入对系统的作用情况，对于多输入系统为矩
40、阵0WW 1 2 3 4 5 2 4 4 +2y y1 y0 y3 y4 y5 u1 u2 u3 u5 u4 05432142454321000010010000100001010010000yyyyyyuuuuu00YWWYU系统方程转换 最终获得一个标准的一阶常微分方程组0000BYAYDWYCWYDW YCW Y0201YVYVPYYQ0210111YVQYVQPYQY00()()ABs YCDs UUWYW Y100,2QBDWPCWAVCWVDW经典的连续系统仿真建模方法学 Chapter 22.1 离散化原理及要求 v问题：数字计算机在数值及时间上的离散性 被仿真系统数值及时间上的
41、连续性v连续系统仿真的本质：从时间、数值两个方面对原系统进行离散化并选择合适的数值计算方法来近似积分运算 v 离散模型原连续模型？相似原理 v如果 ,且即 ,（对所有 ）,则可认为两模型等价。)()(nntutu)()(nntyty0)()()(nnnututute0)()()(nnnytytyte-+图图2.1 2.1 相似原理相似原理原连续模型),(tuyfy 仿真模型),(ntuyfy)(nty0)(nyte()nu t0,1,2,n()u t()y th对仿真建模方法的三个基本要求 v 1）稳定性：若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳定的。v 2）准确性：最基本的准则
42、是绝对误差准则：相对误差准则：其中 规定精度的误差量。v 3）快速性：若第 步计算对应的系统时间间隔为 计算机由计算需要的时间为 ，若 称为实时仿真,称为超实时仿真,称为亚实时仿真，对应于离线仿真)()()(nnnytytyte)()()()(nnnnytytytyte1nnnhttnntnnthnnthnnthv系统仿真中最常用、最基本的求解常微分方程数值解的方法主要是数值积分法。设系统常微分方程为：v 为包含有时间 和函数 的表达式，为函数 在初始时刻 时的对应初值。我们将求解方程（2-1）中函数 的问题称为常微分方程数值求解问题。00)(),(ytyytfdtdy),(ytf)(ty2.
43、2 数值积分法（2-1）ty0yy0t2.2.1 欧拉法Euler1欧拉公式的推导欧拉公式的推导 将式将式（2-12-1）在小区间上进行积分可得：在小区间上进行积分可得：1),(1kkttkkdtytfyy),(),(1kkttythfdtytfkk其几何意义是把其几何意义是把),(ytf在在,1kktt 区间内的曲边面积区间内的曲边面积用矩形面积近似代替，如用矩形面积近似代替，如图图2-12-1所示。所示。1),(1kkttkkdtytfyytf(t,y)0fktktk+1h图2-1 欧拉法数值积分 当当h很小时，可以认很小时，可以认为造成的误差是允许为造成的误差是允许的。所以有：的。所以有
44、：),(1kkkkythfyy称之为欧拉公式。称之为欧拉公式。p截断误差正比于截断误差正比于 h2欧拉法Euler),(1kkkkythfyy00)(yty欧拉Euler公式：2.欧拉法具备以下特点：欧拉法具备以下特点：（1）欧拉法实际上是采用折线代替了实际曲线，也称之为）欧拉法实际上是采用折线代替了实际曲线，也称之为折线法。折线法。（2）欧拉法计算简单，容易实现。由前一点值仅一步递推）欧拉法计算简单，容易实现。由前一点值仅一步递推就可以求出后一点值，所以称为单步法。就可以求出后一点值，所以称为单步法。（3）欧拉法计算只要给定初始值，即可开始进行递推运算，）欧拉法计算只要给定初始值，即可开始进
45、行递推运算，不需要其它信息，因此它属于自启动模式。不需要其它信息，因此它属于自启动模式。（4）欧拉法是一种近似的处理，存在计算误差，所以系统）欧拉法是一种近似的处理，存在计算误差，所以系统的计算精度较低。的计算精度较低。1梯形公式梯形公式 为了弥补欧拉法计算精度较低的不足，可以采用梯形为了弥补欧拉法计算精度较低的不足，可以采用梯形面积公式来代替曲线下的定积分计算，如图面积公式来代替曲线下的定积分计算，如图2-2所示。所示。依然对式（依然对式（2-1）进行求解，采用梯形法作相应近似）进行求解，采用梯形法作相应近似处理之后，其输出为：处理之后，其输出为：),(),(2111kkkkkkytfytf
46、hyy 称为梯形积分公式称为梯形积分公式。2.2.2 梯形法tf(t,y)0fktktk+1hfk+1图2-2 梯形法数值积分 梯形法 从中可以看到，在计算从中可以看到，在计算 时，其右端函数中也时，其右端函数中也含有含有 ，这种公式称为隐式公式，不能靠自身解决，这种公式称为隐式公式，不能靠自身解决，需要采用迭代方法来启动，称之为多步法。可以先采需要采用迭代方法来启动，称之为多步法。可以先采用欧拉公式进行预报，再利用梯形公式进行校正。即用欧拉公式进行预报，再利用梯形公式进行校正。即梯形法的预报梯形法的预报校正公式校正公式：1ky1ky),(),(21),(1)0(111)0(kkkkkkkkk
47、kytfytfhyyythfyy),(),(21),(1)0(111)0(kkkkkkkkkkytfytfhyyythfyy梯形法公式2.梯形法具备以下特点：梯形法具备以下特点：（1）采用梯形代替欧拉法的矩形来计算积分面积，其计）采用梯形代替欧拉法的矩形来计算积分面积，其计算精度要高于欧拉法。算精度要高于欧拉法。（2）采用预报）采用预报校正公式，每求一个校正公式，每求一个 ，计算量要比，计算量要比欧拉法多一倍。因此计算速度较慢。欧拉法多一倍。因此计算速度较慢。（3）梯形公式中的右端函数含有未知数，不能直接计算）梯形公式中的右端函数含有未知数，不能直接计算左端的变量值，这是一种隐式处理，要利用迭
48、代法求解。左端的变量值，这是一种隐式处理，要利用迭代法求解。即梯形法不能自启动，要靠多步法来实现计算。即梯形法不能自启动，要靠多步法来实现计算。ky2.2.3 龙格库塔法 v对 若令：则有 v 的数值求解：称作“右端函数”计算问题。将 在 附近展开泰勒级数，只保留 项，则11()()(,)nntnnty ty tf t y dt)(nntyy 1),(QnnttndtytfnnnnyytyQ)(11nQt0h2200010)(21),(htfdtdyyfhytfyyt1y 假设这个解可以写成如下形式：其中 对 式右端的函数展成泰勒级数，保留 项，可得：代入，则有：yya ka kh101122
49、(),(001ytfk kf tb hyb k h201021()，k2hyfkbtfbytfkt0)(),(121002)(),(),(012100200101hyfkbtfbytfhaythfayyt200010)(21),(htfdtdyyfhytfyyth比较系数，可得：四个未知数 但只有三个方程，因此有无穷多个解。若限定 ，则 计算公式：其中 aaa ba b122 12 211 21 2+=,/,/，2121bbaaaa12aabb1212121，)(22101kkhyy)(),(1002001hkyhtfkytfk，若写成一般递推形式，即为：其中v截断误差正比于h3，称为二阶龙格
50、-库塔法简称RK-2。)(2)(2111kkhyytynnn),(),(121hkyhtfkytfknnnn，二阶龙格-库塔公式)(2)(2111kkhyytynnn),(),(121hkyhtfkytfknnnn四阶龙格库塔公式：),()2,2()2,2(),()22(6342312143211hkyhtfkkhyhtfkkhyhtfkytfkkkkkhyykkkkkkkkkkp截断误差正比于截断误差正比于 5h四阶龙格库塔（RungeKutta）法（1）为单步法，并且可自启动。）为单步法，并且可自启动。（2）改变仿真步长比较方便，可根据精度要求而定。）改变仿真步长比较方便，可根据精度要求而
