1、/第五部分动量和能量第一讲基本知识介绍一、冲量和动量1、冲力（Ft图象特征）冲量。冲量定义、物理意义冲量在Ft图象中的意义从定义角度求变力冲量（F对t的平均作用力）2、动量的定义动量矢量性与运算二、动量定理1、定理的基本形式与表达2、分方向的表达式：Ix=Px，Iy=Py3、定理推论：动量变化率等于物体所受的合外力。即=F外三、动量守恒定律1、定律、矢量性2、条件a、原始条件与等效b、近似条件c、某个方向上满足a或b，可在此方向应用动量守恒定律四、功和能1、功的定义、标量性，功在FS图象中的意义2、功率，定义求法和推论求法3、能的概念、能的转化和守恒定律4、功的求法a、恒力的功：W=FScos
2、=FSF=FSSb、变力的功：基本原则过程分割与代数累积；利用FS图象（或先寻求F对S的平均作用力）c、解决功的“疑难杂症”时，把握“功是能量转化的量度”这一要点五、动能、动能定理1、动能（平动动能）2、动能定理a、W的两种理解b、动能定理的广泛适用性六、机械能守恒1、势能a、保守力与耗散力（非保守力）势能（定义：Ep=W保）b、力学领域的三种势能（重力势能、引力势能、弹性势能）及定量表达2、机械能3、机械能守恒定律a、定律内容b、条件与拓展条件（注意系统划分）c、功能原理：系统机械能的增量等于外力与耗散内力做功的代数和。七、碰撞与恢复系数1、碰撞的概念、分类（按碰撞方向分类、按碰撞过程机械能
3、损失分类）碰撞的基本特征：a、动量守恒；b、位置不超越；c、动能不膨胀。2、三种典型的碰撞a、弹性碰撞：碰撞全程完全没有机械能损失。满足m1v10+m2v20=m1v1+m2v2m1+m2=m1+m2解以上两式（注意技巧和“不合题意”解的舍弃）可得：v1=，v2=对于结果的讨论：当m1=m2时，v1=v20，v2=v10，称为“交换速度”；当m1m2，且v20=0时，v1v10，v20，小物碰大物，原速率返回；当m1m2，且v20=0时，v1v10，v22v10，b、非（完全）弹性碰撞：机械能有损失（机械能损失的内部机制简介），只满足动量守恒定律c、完全非弹性碰撞：机械能的损失达到最大限度；外
4、部特征：碰撞后两物体连为一个整体，故有v1=v2=3、恢复系数：碰后分离速度（v2v1）与碰前接近速度（v10v20）的比值，即：e=。根据“碰撞的基本特征”，0e1。当e=0，碰撞为完全非弹性；当0e1，碰撞为非弹性；当e=1，碰撞为弹性。八、“广义碰撞”物体的相互作用1、当物体之间的相互作用时间不是很短，作用不是很强烈，但系统动量仍然守恒时，碰撞的部分规律仍然适用，但已不符合“碰撞的基本特征”（如：位置可能超越、机械能可能膨胀）。此时，碰撞中“不合题意”的解可能已经有意义，如弹性碰撞中v1=v10，v2=v20的解。2、物体之间有相对滑动时，机械能损失的重要定势：E=E内=f滑S相，其中S
5、相指相对路程。第二讲重要模型与专题一、动量定理还是动能定理？物理情形：太空飞船在宇宙飞行时，和其它天体的万有引力可以忽略，但是，飞船会定时遇到太空垃圾的碰撞而受到阻碍作用。设单位体积的太空均匀分布垃圾n颗，每颗的平均质量为m，垃圾的运行速度可以忽略。飞船维持恒定的速率v飞行，垂直速度方向的横截面积为S，与太空垃圾的碰撞后，将垃圾完全粘附住。试求飞船引擎所应提供的平均推力F。模型分析：太空垃圾的分布并不是连续的，对飞船的撞击也不连续，如何正确选取研究对象，是本题的前提。建议充分理解“平均”的含义，这样才能相对模糊地处理垃圾与飞船的作用过程、淡化“作用时间”和所考查的“物理过程时间”的差异。物理过
6、程需要人为截取，对象是太空垃圾。先用动量定理推论解题。取一段时间t，在这段时间内，飞船要穿过体积V=Svt的空间，遭遇nV颗太空垃圾，使它们获得动量P，其动量变化率即是飞船应给予那部分垃圾的推力，也即飞船引擎的推力。=nmSv2如果用动能定理，能不能解题呢？同样针对上面的物理过程，由于飞船要前进x=vt的位移，引擎推力须做功W=x，它对应飞船和被粘附的垃圾的动能增量，而飞船的Ek为零，所以：W=Mv2即：vt=（nmSvt）v2得到：=nmSv2两个结果不一致，不可能都是正确的。分析动能定理的解题，我们不能发现，垃圾与飞船的碰撞是完全非弹性的，需要消耗大量的机械能，因此，认为“引擎做功就等于垃
7、圾动能增加”的观点是错误的。但在动量定理的解题中，由于I=t，由此推出的=必然是飞船对垃圾的平均推力，再对飞船用平衡条件，的大小就是引擎推力大小了。这个解没有毛病可挑，是正确的。（学生活动）思考：如图1所示，全长L、总质量为M的柔软绳子，盘在一根光滑的直杆上，现用手握住绳子的一端，以恒定的水平速度v将绳子拉直。忽略地面阻力，试求手的拉力F。解：解题思路和上面完全相同。答：二、动量定理的分方向应用物理情形：三个质点A、B和C，质量分别为m1、m2和m3，用拉直且不可伸长的绳子AB和BC相连，静止在水平面上，如图2所示，AB和BC之间的夹角为（）。现对质点C施加以冲量I，方向沿BC，试求质点A开始
8、运动的速度。模型分析：首先，注意“开始运动”的理解，它指绳子恰被拉直，有作用力和冲量产生，但是绳子的方位尚未发生变化。其二，对三个质点均可用动量定理，但是，B质点受冲量不在一条直线上，故最为复杂，可采用分方向的形式表达。其三，由于两段绳子不可伸长，故三质点的瞬时速度可以寻求到两个约束关系。下面具体看解题过程绳拉直瞬间，AB绳对A、B两质点的冲量大小相等（方向相反），设为I1，BC绳对B、C两质点的冲量大小相等（方向相反），设为I2；设A获得速度v1（由于A受合冲量只有I1,方向沿AB，故v1的反向沿AB），设B获得速度v2（由于B受合冲量为+，矢量和既不沿AB，也不沿BC方向，可设v2与AB绳
9、夹角为，如图3所示），设C获得速度v3（合冲量+沿BC方向，故v3沿BC方向）。对A用动量定理，有：I1=m1v1B的动量定理是一个矢量方程：+=m2，可化为两个分方向的标量式，即：I2cosI1=m2v2cosI2sin=m2v2sin质点C的动量定理方程为：II2=m3v3AB绳不可伸长，必有v1=v2cosBC绳不可伸长，必有v2cos()=v3六个方程解六个未知量（I1、I2、v1、v2、v3、）是可能的，但繁复程度非同一般。解方程要注意条理性，否则易造成混乱。建议采取如下步骤1、先用式消掉v2、v3，使六个一级式变成四个二级式：I1=m1v1I2cosI1=m2v1I2sin=m2v
10、1tgII2=m3v1(cos+sintg)2、解式消掉，使四个二级式变成三个三级式：I1=m1v1I2cosI1=m2v1I=m3v1cos+I23、最后对式消I1、I2，解v1就方便多了。结果为：v1=（学生活动：训练解方程的条理和耐心）思考：v2的方位角等于多少？解：解“二级式”的即可。代入消I1，得I2的表达式，将I2的表达式代入就行了。答：=arctg（）。三、动量守恒中的相对运动问题物理情形：在光滑的水平地面上，有一辆车，车内有一个人和N个铅球，系统原来处于静止状态。现车内的人以一定的水平速度将铅球一个一个地向车外抛出，车子和人将获得反冲速度。第一过程，保持每次相对地面抛球速率均为
11、v，直到将球抛完；第二过程，保持每次相对车子抛球速率均为v，直到将球抛完。试问：哪一过程使车子获得的速度更大？模型分析：动量守恒定律必须选取研究对象之外的第三方（或第四、第五方）为参照物，这意味着，本问题不能选车子为参照。一般选地面为参照系，这样对“第二过程”的铅球动量表达，就形成了难点，必须引进相对速度与绝对速度的关系。至于“第一过程”，比较简单：N次抛球和将N个球一次性抛出是完全等效的。设车和人的质量为M，每个铅球的质量为m。由于矢量的方向落在一条直线上，可以假定一个正方向后，将矢量运算化为代数运算。设车速方向为正，且第一过程获得的速度大小为V1第二过程获得的速度大小为V2。第一过程，由于
12、铅球每次的动量都相同，可将多次抛球看成一次抛出。车子、人和N个球动量守恒。0=Nm(-v)+MV1得：V1=v第二过程，必须逐次考查铅球与车子（人）的作用。第一个球与（N1）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为u1。值得注意的是，根据运动合成法则，铅球对地的速度并不是（-v），而是（-v+u1）。它们动量守恒方程为：0=m(-v+u1)+M+(N-1)mu1得：u1=第二个球与（N-2）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系统”速度为u2。它们动量守恒方程为：M+(N-1)mu1=m(-v+u2)+M+(N-2)mu2得：u2=+第三个球与（N-2）个球、人、车系统作用，完毕后，设“系
13、统”速度为u3。铅球对地的速度是（-v+u3）。它们动量守恒方程为：M+(N-2)mu2=m(-v+u3)+M+(N-3)mu3得：u3=+以此类推（过程注意：先找uN和uN-1关系，再看uN和v的关系，不要急于化简通分），uN的通式已经可以找出：V2=uN=+即：V2=我们再将式改写成：V1=不难发现，式和式都有N项，每项的分子都相同，但式中每项的分母都比式中的分母小，所以有：V1V2。结论：第一过程使车子获得的速度较大。（学生活动）思考：质量为M的车上，有n个质量均为m的人，它们静止在光滑的水平地面上。现在车上的人以相对车大小恒为v、方向水平向后的初速往车下跳。第一过程，N个人同时跳下；第
14、二过程，N个人依次跳下。试问：哪一次车子获得的速度较大？解：第二过程结论和上面的模型完全相同，第一过程结论为V1=。答：第二过程获得速度大。四、反冲运动中的一个重要定式物理情形：如图4所示，长度为L、质量为M的船停止在静水中（但未抛锚），船头上有一个质量为m的人，也是静止的。现在令人在船上开始向船尾走动，忽略水的阻力，试问：当人走到船尾时，船将会移动多远？（学生活动）思考：人可不可能匀速（或匀加速）走动？当人中途停下休息，船有速度吗？人的全程位移大小是L吗？本系统选船为参照，动量守恒吗？模型分析：动量守恒展示了已知质量情况下的速度关系，要过渡到位移关系，需要引进运动学的相关规律。根据实际情况（
15、人必须停在船尾），人的运动不可能是匀速的，也不可能是匀加速的,运动学的规律应选择S=t。为寻求时间t，则要抓人和船的位移约束关系。对人、船系统，针对“开始走动中间任意时刻”过程，应用动量守恒（设末态人的速率为v，船的速率为V），令指向船头方向为正向，则矢量关系可以化为代数运算，有：0=MV+m(-v)即：mv=MV由于过程的末态是任意选取的，此式展示了人和船在任一时刻的瞬时速度大小关系。而且不难推知，对中间的任一过程，两者的平均速度也有这种关系。即：m=M设全程的时间为t，乘入式两边，得：mt=Mt设s和S分别为人和船的全程位移大小，根据平均速度公式，得：ms=MS受船长L的约束，s和S具有关
16、系：s+S=L解、可得：船的移动距离S=L（应用动量守恒解题时，也可以全部都用矢量关系，但这时“位移关系”表达起来难度大一些必须用到运动合成与分解的定式。时间允许的话，可以做一个对比介绍。）另解：质心运动定律人、船系统水平方向没有外力，故系统质心无加速度系统质心无位移。先求出初态系统质心（用它到船的质心的水平距离x表达。根据力矩平衡知识，得：x=），又根据，末态的质量分布与初态比较，相对整体质心是左右对称的。弄清了这一点后，求解船的质心位移易如反掌。（学生活动）思考：如图5所示，在无风的天空，人抓住气球下面的绳索，和气球恰能静止平衡，人和气球地质量分别为m和M，此时人离地面高h。现在人欲沿悬索
17、下降到地面，试问：要人充分安全地着地，绳索至少要多长？解：和模型几乎完全相同，此处的绳长对应模型中的“船的长度”（“充分安全着地”的含义是不允许人脱离绳索跳跃着地）。答：h。（学生活动）思考：如图6所示，两个倾角相同的斜面，互相倒扣着放在光滑的水平地面上，小斜面在大斜面的顶端。将它们无初速释放后，小斜面下滑，大斜面后退。已知大、小斜面的质量分别为M和m，底边长分别为a和b，试求：小斜面滑到底端时，大斜面后退的距离。解：水平方向动量守恒。解题过程从略。答：（ab）。进阶应用：如图7所示，一个质量为M，半径为R的光滑均质半球，静置于光滑水平桌面上，在球顶有一个质量为m的质点，由静止开始沿球面下滑。
18、试求：质点离开球面以前的轨迹。解说：质点下滑，半球后退，这个物理情形和上面的双斜面问题十分相似，仔细分析，由于同样满足水平方向动量守恒，故我们介绍的“定式”是适用的。定式解决了水平位移（位置）的问题，竖直坐标则需要从数学的角度想一些办法。为寻求轨迹方程，我们需要建立一个坐标：以半球球心O为原点，沿质点滑下一侧的水平轴为x坐标、竖直轴为y坐标。由于质点相对半球总是做圆周运动的（离开球面前），有必要引入相对运动中半球球心O的方位角来表达质点的瞬时位置，如图8所示。由“定式”，易得：x=Rsin而由图知：y=Rcos不难看出，、两式实际上已经是一个轨迹的参数方程。为了明确轨迹的性质，我们可以将参数消
19、掉，使它们成为：+=1这样，特征就明显了：质点的轨迹是一个长、短半轴分别为R和R的椭圆。五、功的定义式中S怎么取值？在求解功的问题时，有时遇到力的作用点位移与受力物体的（质心）位移不等，S是取力的作用点的位移，还是取物体（质心）的位移呢？我们先看下面一些事例。1、如图9所示，人用双手压在台面上推讲台，结果双手前进了一段位移而讲台未移动。试问：人是否做了功？2、在本“部分”第3页图1的模型中，求拉力做功时，S是否可以取绳子质心的位移？3、人登静止的楼梯，从一楼到二楼。楼梯是否做功？4、如图10所示，双手用等大反向的力F压固定汽缸两边的活塞，活塞移动相同距离S，汽缸中封闭气体被压缩。施力者（人）是
20、否做功？在以上四个事例中，S若取作用点位移，只有第1、2、4例是做功的（注意第3例，楼梯支持力的作用点并未移动，而只是在不停地交换作用点），S若取物体（受力者）质心位移，只有第2、3例是做功的，而且，尽管第2例都做了功，数字并不相同。所以，用不同的判据得出的结论出现了本质的分歧。面对这些似是而非的“疑难杂症”，我们先回到“做功是物体能量转化的量度”这一根本点。第1例，手和讲台面摩擦生了热，内能的生成必然是由人的生物能转化而来，人肯定做了功。S宜取作用点的位移；第2例，求拉力的功，在前面已经阐述，S取作用点位移为佳；第3例，楼梯不需要输出任何能量，不做功，S取作用点位移；第4例，气体内能的增加必
21、然是由人输出的，压力做功，S取作用点位移。但是，如果分别以上四例中的受力者用动能定理，第1例，人对讲台不做功，S取物体质心位移；第2例，动能增量对应S取L/2时的值物体质心位移；第4例，气体宏观动能无增量，S取质心位移。（第3例的分析暂时延后。）以上分析在援引理论知识方面都没有错，如何使它们统一？原来，功的概念有广义和狭义之分。在力学中，功的狭义概念仅指机械能转换的量度；而在物理学中功的广义概念指除热传递外的一切能量转换的量度。所以功也可定义为能量转换的量度。一个系统总能量的变化，常以系统对外做功的多少来量度。能量可以是机械能、电能、热能、化学能等各种形式，也可以多种形式的能量同时发生转化。由
22、此可见，上面分析中，第一个理论对应的广义的功，第二个理论对应的则是狭义的功，它们都没有错误，只是在现阶段的教材中还没有将它们及时地区分开来而已。而且，我们不难归纳：求广义的功，S取作用点的位移；求狭义的功，S取物体（质心）位移。那么我们在解题中如何处理呢？这里给大家几点建议：1、抽象地讲“某某力做的功”一般指广义的功；2、讲“力对某物体做的功”常常指狭义的功；3、动能定理中的功肯定是指狭义的功。当然，求解功地问题时，还要注意具体问题具体分析。如上面的第3例，就相对复杂一些。如果认为所求为狭义的功，S取质心位移，是做了功，但结论仍然是难以令人接受的。下面我们来这样一个处理：将复杂的形变物体（人）
23、看成这样一个相对理想的组合：刚性物体下面连接一压缩的弹簧（如图11所示），人每一次蹬梯，腿伸直将躯体重心上举，等效为弹簧将刚性物体举起。这样，我们就不难发现，做功的是人的双腿而非地面，人既是输出能量（生物能）的机构，也是得到能量（机械能）的机构这里的物理情形更象是一种生物情形。本题所求的功应理解为广义功为宜。以上四例有一些共同的特点：要么，受力物体情形比较复杂（形变，不能简单地看成一个质点。如第2、第3、第4例），要么，施力者和受力者之间的能量转化不是封闭的（涉及到第三方，或机械能以外的形式。如第1例）。以后，当遇到这样的问题时，需要我们慎重对待。（学生活动）思考：足够长的水平传送带维持匀速v
24、运转。将一袋货物无初速地放上去，在货物达到速度v之前，与传送带的摩擦力大小为f，对地的位移为S。试问：求摩擦力的功时，是否可以用W=fS？解：按一般的理解，这里应指广义的功（对应传送带引擎输出的能量），所以“位移”取作用点的位移。注意，在此处有一个隐含的“交换作用点”的问题，仔细分析，不难发现，每一个（相对皮带不动的）作用点的位移为2S。（另解：求货物动能的增加和与皮带摩擦生热的总和。）答：否。（学生活动）思考：如图12所示，人站在船上，通过拉一根固定在铁桩的缆绳使船靠岸。试问：缆绳是否对船和人的系统做功？解：分析同上面的“第3例”。答：否。六、机械能守恒与运动合成（分解）的综合物理情形：如图
25、13所示，直角形的刚性杆被固定，水平和竖直部分均足够长。质量分别为m1和m2的A、B两个有孔小球，串在杆上，且被长为L的轻绳相连。忽略两球的大小，初态时，认为它们的位置在同一高度，且绳处于拉直状态。现无初速地将系统释放，忽略一切摩擦，试求B球运动L/2时的速度v2。模型分析：A、B系统机械能守恒。A、B两球的瞬时速度不等，其关系可据“第三部分”知识介绍的定式（滑轮小船）去寻求。（学生活动）A球的机械能是否守恒？B球的机械能是否守恒？系统机械能守恒的理由是什么（两法分析：a、“微元法”判断两个WT的代数和为零；b、无非弹性碰撞，无摩擦，没有其它形式能的生成）？由“拓展条件”可以判断，A、B系统机
26、械能守恒，（设末态A球的瞬时速率为v1）过程的方程为：m2g=+在末态，绳与水平杆的瞬时夹角为30，设绳子的瞬时迁移速率为v，根据“第三部分”知识介绍的定式，有：v1=v/cos30,v2=v/sin30两式合并成：v1=v2tg30=v2/解、两式，得：v2=七、动量和能量的综合（一）物理情形：如图14所示，两根长度均为L的刚性轻杆，一端通过质量为m的球形铰链连接，另一端分别与质量为m和2m的小球相连。将此装置的两杆合拢，铰链在上、竖直地放在水平桌面上，然后轻敲一下，使两小球向两边滑动，但两杆始终保持在竖直平面内。忽略一切摩擦，试求：两杆夹角为90时，质量为2m的小球的速度v2。模型分析：三
27、球系统机械能守恒、水平方向动量守恒，并注意约束关系两杆不可伸长。（学生活动）初步判断：左边小球和球形铰链的速度方向会怎样？设末态（杆夹角90）左边小球的速度为v1（方向：水平向左），球形铰链的速度为v（方向：和竖直方向夹角斜向左），对题设过程，三球系统机械能守恒，有：mg(L-L)=m+mv2+2m三球系统水平方向动量守恒，有：mv1+mvsin=2mv2左边杆子不形变，有：v1cos45=vcos(45-)右边杆子不形变，有：vcos(45+)=v2cos45四个方程，解四个未知量（v1、v2、v和），是可行的。推荐解方程的步骤如下1、两式用v2替代v1和v，代入式，解值，得：tg=1/42
28、、在回到、两式，得：v1=v2,v=v23、将v1、v的替代式代入式解v2即可。结果：v2=（学生活动）思考：球形铰链触地前一瞬，左球、铰链和右球的速度分别是多少？解：由两杆不可形变，知三球的水平速度均为零，为零。一个能量方程足以解题。答：0、0。（学生活动）思考：当两杆夹角为90时，右边小球的位移是多少？解：水平方向用“反冲位移定式”，或水平方向用质心运动定律。答：。进阶应用：在本讲模型“四、反冲”的“进阶应用”（见图8）中，当质点m滑到方位角时（未脱离半球），质点的速度v的大小、方向怎样？解说：此例综合应用运动合成、动量守恒、机械能守恒知识，数学运算比较繁复，是一道考查学生各种能力和素质的
29、难题。据运动的合成，有：=+=-其中必然是沿地面向左的，为了书写方便，我们设其大小为v2；必然是沿半球瞬时位置切线方向（垂直瞬时半径）的，设大小为v相。根据矢量减法的三角形法则，可以得到（设大小为v1）的示意图，如图16所示。同时，我们将v1的x、y分量v1x和v1y也描绘在图中。由图可得：v1y=（v2+v1x）tg质点和半球系统水平方向动量守恒，有：Mv2=mv1x对题设过程，质点和半球系统机械能守恒，有：mgR(1-cos)=M+m，即：mgR(1-cos)=M+m（+）三个方程，解三个未知量（v2、v1x、v1y）是可行的，但数学运算繁复，推荐步骤如下1、由、式得：v1x=v2，v1y
30、=(tg)v22、代入式解v2，得：v2=3、由=+解v1，得：v1=v1的方向：和水平方向成角，=arctg=arctg（）这就是最后的解。一个附属结果：质点相对半球的瞬时角速度=。八、动量和能量的综合（二）物理情形：如图17所示，在光滑的水平面上，质量为M=1kg的平板车左端放有质量为m=2kg的铁块，铁块与车之间的摩擦因素=0.5。开始时，车和铁块以共同速度v=6m/s向右运动，车与右边的墙壁发生正碰，且碰撞是弹性的。车身足够长，使铁块不能和墙相碰。重力加速度g=10m/s2，试求：1、铁块相对车运动的总路程；2、平板车第一次碰墙后所走的总路程。模型分析：本模型介绍有两对相互作用时的处理
31、常规。能量关系介绍摩擦生热定式的应用。由于过程比较复杂，动量分析还要辅助以动力学分析，综合程度较高。由于车与墙壁的作用时短促而激烈的，而铁块和车的作用是舒缓而柔和的，当两对作用同时发生时，通常处理成“让短时作用完毕后，长时作用才开始”（这样可以使问题简化）。在此处，车与墙壁碰撞时，可以认为铁块与车的作用尚未发生，而是在车与墙作用完了之后，才开始与铁块作用。规定向右为正向，将矢量运算化为代数运算。车第一次碰墙后，车速变为v，然后与速度仍为v的铁块作用，动量守恒，作用完毕后，共同速度v1=，因方向为正，必朝墙运动。（学生活动）车会不会达共同速度之前碰墙？动力学分析：车离墙的最大位移S=,反向加速的
32、位移S=，其中a=a1=，故SS，所以，车碰墙之前，必然已和铁块达到共同速度v1。车第二次碰墙后，车速变为v1，然后与速度仍为v1的铁块作用，动量守恒，作用完毕后，共同速度v2=，因方向为正，必朝墙运动。车第三次碰墙，共同速度v3=，朝墙运动。以此类推，我们可以概括铁块和车的运动情况铁块：匀减速向右匀速向右匀减速向右匀速向右平板车：匀减速向左匀加速向右匀速向右匀减速向左匀加速向右匀速向右显然，只要车和铁块还有共同速度，它们总是要碰墙，所以最后的稳定状态是：它们一起停在墙角（总的末动能为零）。1、全程能量关系：对铁块和车系统，Ek=E内，且，E内=f滑S相，即：（m+M）v2=mgS相代入数字得
33、：S相=5.4m2、平板车向右运动时比较复杂，只要去每次向左运动的路程的两倍即可。而向左是匀减速的，故第一次：S1=第二次：S2=第三次：S3=n次碰墙的总路程是：S=2（S1+S2+S3+Sn）=（1+）=（1+）碰墙次数n，代入其它数字，得：S=4.05m（学生活动）质量为M、程度为L的木板固定在光滑水平面上，另一个质量为m的滑块以水平初速v0冲上木板，恰好能从木板的另一端滑下。现解除木板的固定（但无初速），让相同的滑块再次冲上木板，要求它仍能从另一端滑下，其初速度应为多少？解：由第一过程，得滑动摩擦力f=。第二过程应综合动量和能量关系（“恰滑下”的临界是：滑块达木板的另一端，和木板具有共
34、同速度，设为v），设新的初速度为m=（m+M）vm-（m+M）v2=fL解以上三式即可。答：=v0。第三讲典型例题解析教材范本：龚霞玲主编奥林匹克物理思维训练教材，知识出版社，2002年8月第一版。例题选讲针对“教材”第七、第八章的部分例题和习题。第一部分 力物体的平衡第一讲 力的处理一、矢量的运算1、加法表达： + = 。名词：为“和矢量”。法则：平行四边形法则。如图1所示。和矢量大小：c = ，其中为和的夹角。和矢量方向：在、之间，和夹角= arcsin2、减法表达： = 。名词：为“被减数矢量”，为“减数矢量”，为“差矢量”。法则：三角形法则。如图2所示。将被减数矢量和减数矢量的起始端平
35、移到一点，然后连接两时量末端，指向被减数时量的时量，即是差矢量。差矢量大小：a = ，其中为和的夹角。差矢量的方向可以用正弦定理求得。一条直线上的矢量运算是平行四边形和三角形法则的特例。例题：已知质点做匀速率圆周运动，半径为R ，周期为T ，求它在T内和在T内的平均加速度大小。解说：如图3所示，A到B点对应T的过程，A到C点对应T的过程。这三点的速度矢量分别设为、和。根据加速度的定义 = 得：= ，= 由于有两处涉及矢量减法，设两个差矢量 = ，= ，根据三角形法则，它们在图3中的大小、方向已绘出（的“三角形”已被拉伸成一条直线）。本题只关心各矢量的大小，显然： = = = ，且： = = ，
36、 = 2= 所以：= = = ，= = = 。（学生活动）观察与思考：这两个加速度是否相等，匀速率圆周运动是不是匀变速运动？答：否；不是。3、乘法矢量的乘法有两种：叉乘和点乘，和代数的乘法有着质的不同。 叉乘表达： = 名词：称“矢量的叉积”，它是一个新的矢量。叉积的大小：c = absin，其中为和的夹角。意义：的大小对应由和作成的平行四边形的面积。叉积的方向：垂直和确定的平面，并由右手螺旋定则确定方向，如图4所示。显然，但有：= 点乘表达： = c名词：c称“矢量的点积”，它不再是一个矢量，而是一个标量。点积的大小：c = abcos，其中为和的夹角。二、共点力的合成1、平行四边形法则与矢
37、量表达式2、一般平行四边形的合力与分力的求法余弦定理（或分割成Rt）解合力的大小正弦定理解方向三、力的分解1、按效果分解2、按需要正交分解第二讲 物体的平衡一、共点力平衡1、特征：质心无加速度。2、条件： = 0 ，或 = 0 ， = 0例题：如图5所示，长为L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂，绳子与水平方向的夹角在图上已标示，求横杆的重心位置。解说：直接用三力共点的知识解题，几何关系比较简单。答案：距棒的左端L/4处。（学生活动）思考：放在斜面上的均质长方体，按实际情况分析受力，斜面的支持力会通过长方体的重心吗？解：将各处的支持力归纳成一个N ，则长方体受三个力（G 、f 、N）必共点
38、，由此推知，N不可能通过长方体的重心。正确受力情形如图6所示（通常的受力图是将受力物体看成一个点，这时，N就过重心了）。答：不会。二、转动平衡1、特征：物体无转动加速度。2、条件：= 0 ，或M+ =M- 如果物体静止，肯定会同时满足两种平衡，因此用两种思路均可解题。3、非共点力的合成大小和方向：遵从一条直线矢量合成法则。作用点：先假定一个等效作用点，然后让所有的平行力对这个作用点的和力矩为零。 第三讲 习题课1、如图7所示，在固定的、倾角为斜面上，有一块可以转动的夹板（不定），夹板和斜面夹着一个质量为m的光滑均质球体，试求：取何值时，夹板对球的弹力最小。解说：法一，平行四边形动态处理。对球体
39、进行受力分析，然后对平行四边形中的矢量G和N1进行平移，使它们构成一个三角形，如图8的左图和中图所示。由于G的大小和方向均不变，而N1的方向不可变，当增大导致N2的方向改变时，N2的变化和N1的方向变化如图8的右图所示。显然，随着增大，N1单调减小，而N2的大小先减小后增大，当N2垂直N1时，N2取极小值，且N2min = Gsin。法二，函数法。看图8的中间图，对这个三角形用正弦定理，有： = ，即：N2 = ，在0到180之间取值，N2的极值讨论是很容易的。答案：当= 90时，甲板的弹力最小。2、把一个重为G的物体用一个水平推力F压在竖直的足够高的墙壁上，F随时间t的变化规律如图9所示，则
40、在t = 0开始物体所受的摩擦力f的变化图线是图10中的哪一个？解说：静力学旨在解决静态问题和准静态过程的问题，但本题是一个例外。物体在竖直方向的运动先加速后减速，平衡方程不再适用。如何避开牛顿第二定律，是本题授课时的难点。静力学的知识，本题在于区分两种摩擦的不同判据。水平方向合力为零，得：支持力N持续增大。物体在运动时，滑动摩擦力f = N ，必持续增大。但物体在静止后静摩擦力f G ，与N没有关系。对运动过程加以分析，物体必有加速和减速两个过程。据物理常识，加速时，f G ，而在减速时f G 。答案：B 。3、如图11所示，一个重量为G的小球套在竖直放置的、半径为R的光滑大环上，另一轻质弹
41、簧的劲度系数为k ，自由长度为L（L2R），一端固定在大圆环的顶点A ，另一端与小球相连。环静止平衡时位于大环上的B点。试求弹簧与竖直方向的夹角。解说：平行四边形的三个矢量总是可以平移到一个三角形中去讨论，解三角形的典型思路有三种：分割成直角三角形（或本来就是直角三角形）；利用正、余弦定理；利用力学矢量三角形和某空间位置三角形相似。本题旨在贯彻第三种思路。分析小球受力矢量平移，如图12所示，其中F表示弹簧弹力，N表示大环的支持力。（学生活动）思考：支持力N可不可以沿图12中的反方向？（正交分解看水平方向平衡不可以。）容易判断，图中的灰色矢量三角形和空间位置三角形AOB是相似的，所以： 由胡克定
42、律：F = k（- R） 几何关系：= 2Rcos 解以上三式即可。答案：arccos 。（学生活动）思考：若将弹簧换成劲度系数k较大的弹簧，其它条件不变，则弹簧弹力怎么变？环的支持力怎么变？答：变小；不变。（学生活动）反馈练习：光滑半球固定在水平面上，球心O的正上方有一定滑轮，一根轻绳跨过滑轮将一小球从图13所示的A位置开始缓慢拉至B位置。试判断：在此过程中，绳子的拉力T和球面支持力N怎样变化？解：和上题完全相同。答：T变小，N不变。4、如图14所示，一个半径为R的非均质圆球，其重心不在球心O点，先将它置于水平地面上，平衡时球面上的A点和地面接触；再将它置于倾角为30的粗糙斜面上，平衡时球面
43、上的B点与斜面接触，已知A到B的圆心角也为30。试求球体的重心C到球心O的距离。解说：练习三力共点的应用。根据在平面上的平衡，可知重心C在OA连线上。根据在斜面上的平衡，支持力、重力和静摩擦力共点，可以画出重心的具体位置。几何计算比较简单。答案：R 。（学生活动）反馈练习：静摩擦足够，将长为a 、厚为b的砖块码在倾角为的斜面上，最多能码多少块？解：三力共点知识应用。答： 。4、两根等长的细线，一端拴在同一悬点O上，另一端各系一个小球，两球的质量分别为m1和m2 ，已知两球间存在大小相等、方向相反的斥力而使两线张开一定角度，分别为45和30，如图15所示。则m1 : m2为多少？解说：本题考查正
44、弦定理、或力矩平衡解静力学问题。对两球进行受力分析，并进行矢量平移，如图16所示。首先注意，图16中的灰色三角形是等腰三角形，两底角相等，设为。而且，两球相互作用的斥力方向相反，大小相等，可用同一字母表示，设为F 。对左边的矢量三角形用正弦定理，有： = 同理，对右边的矢量三角形，有： = 解两式即可。答案：1 ： 。（学生活动）思考：解本题是否还有其它的方法？答：有将模型看成用轻杆连成的两小球，而将O点看成转轴，两球的重力对O的力矩必然是平衡的。这种方法更直接、简便。应用：若原题中绳长不等，而是l1 ：l2 = 3 ：2 ，其它条件不变，m1与m2的比值又将是多少？解：此时用共点力平衡更加复
45、杂（多一个正弦定理方程），而用力矩平衡则几乎和“思考”完全相同。答：2 ：3 。5、如图17所示，一个半径为R的均质金属球上固定着一根长为L的轻质细杆，细杆的左端用铰链与墙壁相连，球下边垫上一块木板后，细杆恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金属球和木板之间有摩擦（已知摩擦因素为），所以要将木板从球下面向右抽出时，至少需要大小为F的水平拉力。试问：现要将木板继续向左插进一些，至少需要多大的水平推力？解说：这是一个典型的力矩平衡的例题。以球和杆为对象，研究其对转轴O的转动平衡，设木板拉出时给球体的摩擦力为f ，支持力为N ，重力为G ，力矩平衡方程为：f R + N（R + L）= G（R + L） 球和板已相对滑动，故：f = N 解可得：f = 再看木板的平衡，F = f 。同理，木板插进去时，球体和木板之间的摩擦f= = F。答案： 。第四讲 摩擦角及其它一、摩擦角1、全反力：接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力，一般
