1、异面直线异面直线 及其夹角及其夹角9.2 空间直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系一、空间两条直线的位置关系：一、空间两条直线的位置关系：（1）相交直线2（）平行直线3（）异面直线有且只一个公共点在同一个平面内没有公共点不同在任何一个平面内，没有公共点（）（）（）一、基础知识一、基础知识2 2、空间两条直线的位置关系：、空间两条直线的位置关系：异面直线异面直线相交直线相交直线平行直线平行直线共面直线共面直线1 1、异面直线的定义：、异面直线的定义：把不同在把不同在任何一个平面内任何一个平面内的两条直线叫作的两条直线叫作是异面直线是异面直线空间两条直线空间两条直线3 3、异面直线的画法：
2、衬托平面法、异面直线的画法：衬托平面法4 4、异面直线的判断、异面直线的判断（1 1）、异面直线的判定定理）、异面直线的判定定理（2 2）、反证法）、反证法AB5 5、异面直线成的角、异面直线成的角（1 1）、定义：）、定义：（2 2）、取值范围（）、取值范围（0 00 0，90900 0（3 3）、作法：平移法或补形法）、作法：平移法或补形法(4)(4)两条直线互相垂直两条直线互相垂直 相交直线的垂直相交直线的垂直 异面直线的垂直异面直线的垂直例1：设图中的正方体的棱长为a，A1ABB1CDC1D1图中哪些棱所在的直线与BA1成异面直线求异面直线A1B与C1C的夹角的度数图中哪些棱所在的直线
3、与直线AA1垂直例题例题练习练习:空间直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系1.判别下列说法是否正确判别下列说法是否正确,并说明原因并说明原因:(1)没有公共点的两条直线叫做平行直线没有公共点的两条直线叫做平行直线.(2)分别在两个平面内的两条直线一定是分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线异面直线.错错.可能是异面直线可能是异面直线.错错.可能是共面直线可能是共面直线.2.(1)正方体中与正方体中与AA1平行的棱共有平行的棱共有 条条;(2)说出正方体中各对线段的位置关系说出正方体中各对线段的位置关系;A1D1C1B1ADCB11111111111(1)(2)(3)(4)(5)(6)
4、ABCCACBDA ACBACCBA BDCBDDC和和 和和 和和 和和 和和 和和 3异面异面异面异面异面异面异面异面平行平行相交相交3、下列结论正确的是（）A.没有公共点的两条直线是平行直线B.两条直线不相交就平行C.两条直线有既不相交又不平行的情况D.一条直线和两条相交直线中的一条平行，它也可能和另一条平行CA1D1C1B1ADCB4.如图如图,已知长方体已知长方体ABCDA1B1C1D1中，中，12 3,2 3,2ABADAA(1)BC和和A1C1所成的角是多少度？所成的角是多少度？(2)AA1和和BC1所成的角是多少度所成的角是多少度?4560二、例题选讲二、例题选讲例例1 1、如
5、图，已知、如图，已知ba,，且，且accAab/,又求证：求证：c c与与b b是异面直线。是异面直线。acbA思路一、反证法思路二、判定定理直三棱柱直三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1 中中角角ACBACB90900 0，D D1 1，F F1 1分分别是别是A A1 1B B1 1与与A A1 1C C1 1的中点。的中点。若若BCBCCACACCCC1 1，求，求BDBD1 1 与与AFAF1 1这两条异面直线所成这两条异面直线所成的角。的角。AA1CBB1C1F1D1分析：恰当的平移是将异面直线所成的角分析：恰当的平移是将异面直线所成的角转化为平面中的角的关键。转化
6、为平面中的角的关键。例例3思路一：取思路一：取BCBC中点中点G G，连结连结F F1 1G G，则角，则角AFAF1 1G G（或其补角）（或其补角）为异面为异面直线所成的角；解三直线所成的角；解三角形角形AFAF1 1G G可得可得。ABCA1B1C1D1F1GB思路二、延展平面思路二、延展平面BAABAA1 1B B1 1，使，使A A1 1E ED D1 1A A，则将则将BDBD1 1平移到平移到AEAE，角角EAFEAF1 1（或其补角（或其补角 ）即为即为BDBD1 1与与AFAF1 1所成的角。所成的角。AA1CB1F1D1E空间中的角有：异面直线所成的角、直线与平面所成的角和
7、二面角。根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就是要将其变换成相交直线所成有角。其一般方法有：（1）平移法：平移法：即根据定义，以即根据定义，以“运动运动”的观点，用的观点，用“平移转化平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。的方法，使之成为相交直线所成的角。B长方体长方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，ABABAAAA1 1 2 cm2 cm，ADAD 1cm1cm，求异面直线，求异面直线A A1 1C C1 1与与BDBD1 1所成的角。所成的角。如图，连B1D1与A1C1 交于O1，O1M,512221MA,23212212122211BDM
8、O,2512212211OA由余弦定理得,55cos11MOAA1C1与BD1所成的角为.55arccos取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角），连A1M，在A1O1M中（2）补形法：补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。直线的关系。DB1A1D1C1AC解法一（平移法）：3,52,51111ECEACA在在 A1C1E中，中，由余弦定理得由余弦定理得55cos11ECAA1
9、C1与与BD1所成的角为所成的角为 说明说明：异面直线所成角的范围是异面直线所成角的范围是 ，在把异面直线所，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当小，当余弦值为负值余弦值为负值时，其对应角为钝角，这时，其对应角为钝角，这不符合不符合两条异两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。另外另外，当异面直线，当异面直线垂直垂直时，应用线面垂直的定义或三垂线定时，应用线面垂直的定义或三垂线定理（或逆定理）判定所成的角为理（或逆定理）判定所成的角为
10、90，也是不可忽视的办法。，也是不可忽视的办法。如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 BC1的方体的方体B1F，连结连结A1E，C1E，则，则 A1C1E为为A1C1与与BD1所成的角所成的角(或补角或补角)，F1EFE1BDB1A1D1C1AC.55arccos解法二解法二（补形法）：（补形法）：2,0(异面直线所成的角的定义aMba1b1 直线a,b是异面直线，经过空间任意一点o，分别引直线a1a,b1b,我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。o.a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1a1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1aMba1b1o.a2b2o1.O是空间中的任意一点所成的锐角是否相等？点o常取在两条异面直线中的一条上
