1、高考立体几何中二面角的求法高中数学核心素养高中数学核心素养直观想象直观想象 考点分析考点分析：立体几何是历年高考必考的热点，试题难度中等，命题的热点主要有空间线面位置关系的证明和空间角的求解；试题背景有折叠问题，探索性问题等，考查同学们的空间想象能力、逻辑思维能力以及转化与化归思想的应用能力，解决此类问题一般有常规方法和向量方法，用向量法解决此类问题可以化繁为简，降低题目的难度 从一条直线出发的两个半平面所组成从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角这条直线叫做二面角的棱的棱,这两个半平面叫做二面角的面这两个半平面叫做二面角的面.复复 习习:l2、二
2、面角的表示方法、二面角的表示方法AB 二面角二面角 AB l二面角二面角 l 二面角二面角CAB DABCDABCEFD二面角二面角CAB E1、定义、定义 ABP l二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足：3）角的两边都要垂直于二面角的棱角的两边都要垂直于二面角的棱 1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内 二面角的平面角的范围二面角的平面角的范围:0180 二面角的大小用它的平面角的大小来度量二面角的大小用它的平面角的大小来度量 以二面角的棱上任意一点为端以二面角的棱上任意一点为端点点,在两个面内分别作垂直于棱的在两个面内分别作垂直于棱的两条
3、射线两条射线,这两条射线所成的角叫这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。做二面角的平面角。A1B1 P1 注意注意:(与顶点位置无关与顶点位置无关)APB=A1P1B1一、几何法：一、几何法：1、定义法、定义法:以二面角的棱以二面角的棱a a上任意一点上任意一点O O为端点，在两个面内为端点，在两个面内分别作垂直于分别作垂直于a a 的两条射线的两条射线OA,OBOA,OB，则，则AOBAOB就是就是此二面角的平面角此二面角的平面角。aOAB在一个平面在一个平面 内选一点内选一点A A向另一平面向另一平面 作垂线作垂线ABAB，垂足为垂足为B B，再过点，再过点B B向棱向棱a a作垂线作垂线
4、BOBO，垂足为，垂足为O O，连结连结AOAO，则，则AOBAOB就是二面角的平面角。就是二面角的平面角。3、垂面法、垂面法:过二面角内一点过二面角内一点A作作AB 于于B，作，作AC 于于C，面，面ABC交棱交棱a于点于点O，则，则BOC就是二面角的平面角。就是二面角的平面角。aABCO2、三垂线法、三垂线法:ABOa2021届高考数学专题：立体几何中的二面角的求法 课件2021届高考数学专题：立体几何中的二面角的求法 课件A1B1C1ABC 4.4.射影面积法射影面积法 多边形射影多边形SScos2021届高考数学专题：立体几何中的二面角的求法 课件2021届高考数学专题：立体几何中的二
5、面角的求法 课件二、平面法向量法、平面法向量法:求二面角的大小，先求出两个半平面的法向求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。互补求出二面角的大小。mn如图：二面角的大小等于如图：二面角的大小等于2021届高考数学专题：立体几何中的二面角的求法 课件2021届高考数学专题：立体几何中的二面角的求法 课件求二面角的大小，先求出两个半平面的法向求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小。互补求出二面角的大小。mn
6、如图：二面角的大小等于如图：二面角的大小等于-二、平面法向量法二、平面法向量法:2021届高考数学专题：立体几何中的二面角的求法 课件2021届高考数学专题：立体几何中的二面角的求法 课件几点说明几点说明：（1）定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的）定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的 一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，线。此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法不是我们首选的方法。（2）三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一）三垂
7、线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上的垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，这个点和棱上的垂足。此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。计算简便，所以我们常用此法。（3）垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为）垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为 这一点不好选择，所以此法一般不用这一点不好选择，所以此法一般不用。以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。2021届高考数学专题：立体几何
8、中的二面角的求法 课件2021届高考数学专题：立体几何中的二面角的求法 课件 （5 5）当空间直角坐标系容易建立时，用向量法较为简洁明快用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向量的夹角大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们完全可以根据图形得出结论，这是因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是比较明显的（4 4）射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证）射影法是在不易作出平面角时用。在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式式,这种方法避免了找平面角，如果面积计算较简单，可用这种方法避免了找平面角，如果面
9、积计算较简单，可用此方法此方法。2021届高考数学专题：立体几何中的二面角的求法 课件2021届高考数学专题：立体几何中的二面角的求法 课件SDCBA例：例：如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ADBC,ABC=90，SA平面AC，SA=AB=BC=1，AD=.求面SCD与面SAB所成的角的大小。解法解法1 1：可用射影面积法来求，这里只要求 出SSCD与SSAB即可，故所求的二面角应满足cosSCDSABSS11 1212322=63=122021届高考数学专题：立体几何中的二面角的求法 课件2021届高考数学专题：立体几何中的二面角的求法 课件21SDCBA解法解法2 2：（三
10、垂线定理法）延长CD、BA交于点E，连结SE，SE即平面CSD与平面BSA的交线.又DA平面SAB，过A点作SE的垂线交于F.如图.EF且ADBC AD BC21ADEBCE EAABSA又SAAE SAE为等腰直角三角形，F为中点，222221SASEAF又DA平面SAE，AFSE 由三垂线定理得DFSE DFA为二面角的平面角,tanDFA 即所求二面角的正切值.22FADA评注：常规法求解步骤：一作：作出或找出相应空间角；评注：常规法求解步骤：一作：作出或找出相应空间角；二证：通过简单的判断或推理得到相应角；三求：通过计二证：通过简单的判断或推理得到相应角；三求：通过计算求出相应的角。算
11、求出相应的角。例：例：如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ADBC,ABC=90，SA平面AC，SA=AB=BC=1，AD=.求面SCD与面SAB所成的角的大小。2021届高考数学专题：立体几何中的二面角的求法 课件2021届高考数学专题：立体几何中的二面角的求法 课件则A(0，0，0)，B(0，-1，0)，C(-1，1，0)，D(0，0)，S(0，0，1)，21易知平面SAB的法向量为 m=(0，0)；2121SDCBA例：例：如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中，ADBC,ABC=90，SA平面AC，SA=AB=BC=1，AD=.求面SCD与面SAB所成的角的大小。解
12、法解法3 3：（向量法）：（向量法）如图，建立空间直角坐标系，设平面SDC的法向量为 n=(x，y，z)，00n DCn DS 102102xyyz 得 1x 2,y 1z n令得即=(1，2，1)cos,n mm nm n 1162=36评注：评注：通过此例可以看出：求二面角大小（空间面面角等于二面角通过此例可以看出：求二面角大小（空间面面角等于二面角或其补角）的常规方法是构造三角形求解，其关键又是作出二面角的或其补角）的常规方法是构造三角形求解，其关键又是作出二面角的平面角，往往很不简单。利用建立空间直角坐标系，避开了平面角，往往很不简单。利用建立空间直角坐标系，避开了“作、证作、证”两个基本步骤，通过求两个平面法向量的夹角来达到解决问题的目的，两个基本步骤，通过求两个平面法向量的夹角来达到解决问题的目的，解题过程实现了程序化，是一种有效方法。解题过程实现了程序化，是一种有效方法。xyz2021届高考数学专题：立体几何中的二面角的求法 课件2021届高考数学专题：立体几何中的二面角的求法 课件向量法向量法2021届高考数学专题：立体几何中的二面角的求法 课件2021届高考数学专题：立体几何中的二面角的求法 课件
