1、Brown运动随机游动设一个粒子在直线上做随机游动，每隔Dt时间内等可能的向左或向右移动Dx的距离。若记X(t)记时刻t粒子的位置，则1/()()ttX tx XXD D其中1i 1i1(1)(1),()0,var()12iiiiiiXXP XP XE XX 如果第 步向右，相互独立如果第 步向左问：要令Dt和Dx趋于零，X(t)将会具有哪些性质？首先来看1/221/()()0()()()()(/)ttttE X tEx XXVar X tx Var XXxttDDD D DD因此，32,0()0,()0a.s.(),0,(),0,()txtVar X tX ttxtVar X txttVar
2、 X ttD DD D DD D DD 若取令，则从而，若取令则若取令则容易证明：（1）X(t)服从均值为0，方差为2t的正态分布；（2）X(t),t0有独立增量（3）X(t),t0有平稳增量Brown运动的定义随机过程B(t),t0如果满足（1）B(0)0；（2）B(t),t0有平稳独立增量;（3）对每个t0，B(t)服从正态分布N(0,2t).则称B(t),t0为布朗运动，也称为wiener过程。如果1，则称为标准布朗运动。注：第(1)条并不是必须的。如果B(0)x，则称B(t),t0为始于x的布朗运动，记为Bx(t)。Brown运动的另一种定义Brown运动是具有如下性质的随机过程B(t
3、),t0：（1）正态增量性：（2）独立增量性：B(t)-B(s)独立于过程的过去状态B(u),0us。（3）路径的连续性:B(t)是t的连续函数。()()(0,),B tB sNtstsBrown的分布性质22/2()/20(1)()(0,),1 ()2 ()(,),1 ()2()xttxy xttdxB tNtf xetB tN x tf yxetBB tx它的密度函数为它的密度函数为空间齐次性t,0,0,(|)(|)(,0)tt stt stuX tPs tyRP XyP Xy XXut称随机过程是一族定义在（，）上的马氏过程，如果对任意及任意均有其中FFF定义：定义：连续Markov过程
4、的转移概率定义为在时刻s处于状态x的条件下，过程在时刻t的分布函数(,)()|()P y t x sP X ty X sxBrown的马氏性2()()()()()()()()2()()()(|)(|)()()(|)uB t suB tu B t sB tttuB tu B t sB tu tuB tuB tu B t sB ttE eFeE eFeE eeeeE eBBrown运动满足马氏性,采用条件期望证明如下独立增量性）()(|)uB t stE eF在Brown运动的情况下，转移概率是正态的()2()(,)()|()()()12()u xyt sP y t x sP B ty B sxP
5、 B tB syxeduts转移概率函数满足P(y,t,x,s)=P(y,t-s,x,0)，即()|()()|(0)P B ty B sxP B tsy Bx这个性质称为Brown运动的时间时齐性,即分布不随时间而变化.2()2()()(,),1 (,)()2(,)sty xttttB sxB tsp x yp x yef yxtp x y已知，的条件密度记为因此，与 无关。2/2(3)()()()|()()()12y xutB sxB tsP B tsy B sxP B tsB syxedut已知，的条件分布1111111111 (),()()|(),11 (),11()|()()|(),1
6、2 (),12()|()()|(nnnniiiinnnnnniiiinnnnnnnP B txB txP B txB txinP B txinP B txB txP B txB txinP B txinP B txB txP B txB t 12121122221111111221)()|()()(0,)(,)(,)nnnnxxxtttttnnnxP B txB tx P B txpy dypx y dypxy dy有限维分布密度112111211,111211211(,)(0,)(,)(,)()()()nnnnnttntttttnntttttnnfxxpx px xpxxfxfxxfxx注：
7、由有限维分布，可以计算任何想求的条件概率。例如，求给定B(t)=y时，B(s)，ss，则E(B(t)B(s)=s。再由正态分布的性质和数学归纳法得到B(t)的任意有限维分布都是多元正态分布。(5)B(t),t0是均值函数为m(t)=0,协方差函数(s,t)=min(s,t)高斯过程。?下面证明B(t)的任意有限维分布都是多元正态分布。首先对任意t1t2，B(t1)N(0,t1),B(t2)N(t2)，Cov(B(t1),B(t2)=t1，则利用正态分布的性质111212(),()(,),(0,0),ttB tB tNtt 利用数学归纳法可以证明(B(t1),B(t2),B(tn)服从多元正态分
8、布。例：设B(t),t0是标准布朗运动，1、求P(B(2)0)和P(B(t)0，t0,1,2)。2、求B(1)+B(2)+B(3)+B(4)的分布。3、1112()()()()6323BBBB求的分布。解：1、011(2)(0,2),(2)0)2(1)0,(2)0)(1)0,(1)(2)(1)0)(1)0,(2)(1)(1)(2)(1)()BNP BP BBP BBBBP BBBBP BBx f x dx 由于所以01100112 ()()()()()()3 8x f x dxx fx dxx dxydy 由条件期望的性质由积分的变量替换公式2、考虑随机向量X=(B(1),B(2),B(3),
9、B(4),由定理7.2可知，X是多元正态分布，具有零均值和协方差矩阵令A=(1,1,1,1),则1111122212331234 1234(1)(2)(3)(4)AXXXXXBBBB是均值为0，方差为AA30的正态分布。请同学们思考一下第3题的答案应该等于多少？Brown 运动的鞅性定理1)B(t)是鞅；2)B(t)2t是鞅；3)对任何实数u，是鞅。2exp()2uuB tt1）的证明可积性。由Brown运动的定义，B(t)N(0,t),所以B(t)可积，且EB(t)=0.鞅性()|()()()|()|()()|()()()()ttttE B tsE B tB tsB tE B tE B ts
10、B tB tE B tsB tB tFFFF2）和3）的证明参见教材P1652）的证明：由于E(B2(t)=t=0使得是连续鞅，则是brown运动。222()()|()()()tEBtstsFsB ttsB tt2(),0X tt t(3)由于B(t)N(0,t),由正态分布的矩母函数知这说明 可积，并且 2()/2()B t utuE ee()B t ue()B t ue2()2()1uuB ttE e由于布朗运动具有独立增量性，对任何函数g(x)有，令 则()xug xe()()()()|()()tE g B tsB tFE g B tsB t()2()()()()()()()()()()
11、()2(|)(|)(|)u B t sB tB tuB t sttu B t sB tuB ttu B t sB tuB tusuB tE eFE eFeE eFeE eee将上式两边同时乘以 2()2ut se2222()()()()()2222(|)uuuut sst stuB t suB tuB ttE eeFeeeeeBrown运动的路径性质（1）B(t),t0是t的几乎处处连续函数；（2）在任何区间（无论区间有多小）都不是单调的；（3）几乎处处不可微；（4）在任何区间（无论区间有多小）都是无限变差的，例：在区间0,t上的变差（5）对任何t，在0,t上的二次变差等于t，即在几乎处处收敛
12、的意义下12100lim()(),.,(),.nnnniiiB tB tt aeB B tt ae通常记为110010 lim|()()|max()nnnniiinnniiii nB tB tttt n这里是0,t上的分割，（3）的简要证明：由Brown运动的性质知22()()1B thB thEhhh取极限得20()()limhB thB tEh 假设B(t)是可微的，其导数为B(t)存在，则20()()lim()0hB thB tEB th从而220()()lim()hB thB tEE B th与（1）式矛盾（1）（4）的证明：利用有界变差函数几乎处处可导的性质（证明参见实变函数论徐森林
13、著，P319）即可得证。01210112110042,()()()()()()4E(X)=3(|)()nniinnnnnniiinnnnnnniiiiiinntSB tB tE SE B tB ttttE StVar SV 取区间0,t的分割使得记则再由标准正态分布的 阶矩公式()得1122110012110()()()()3()3max()3nnnnnniiiiiinnnnniiiiniarB tB tVar B tB ttttttt证明(5)取n使得 则,12121 ()(-)(-).,.,().nnnnnnnnnVar StEStSta sSta sB B tt 由单调收敛定理，得因此，
14、于是（n）故1nni 例：求概率解：首先说明积分的存在性。由于B(t)具有连续的运动路径，即对每个w，B(t)(w)是t的几乎处处连续函数，因此Rieman积分 存在。因此随机变量 是有意义的。下面来求 的分布。由Rieman积分的定义知，102()3PB t dt 10()()B tdtw10()B t dt10()B t dt10|0011 ()lim()010 1,|maxniiniiiniB t dtB tttttttttD DD DD+是，上的一个划分，其中每个求和项都是均值为0的正态分布，因此 是均值为零的正态分布。下面计算 的方差。10()B t dt10()B t dt1110
15、00110011001100var()cov(),()()()()()cov(),()minB t dtB t dtB s dsEB t dtB s dsE B t B s dtdsB tB s dtds 1100(,)t s dtds 1110001100var()min(,)1 ()3ttB t dtt s dtdssdstds dt 因此，101()(0,)3B t dtN11002()3()23 1(2)0.025PB t dtPB t dt Brown运动的击中时记Tx为标准Brown运动首次击中x的时刻，即inf0:()xTtB tx下面计算PTxt。1、对于x0，若Txt，则B(
16、t)在0,t内的某个点击中x，由于对称性，显然有1()|)()|)2xxP B tx TtP B tx Tt因此，由全概率公式()()|()|xxxxP B txP B tx Tt P TtP B tx Tt P Tt因为x0，由Brown运动的连续性，B(t)不可能还未击中x，就大于x，因此上式的第二项为零。于是22/2/2/2 ()22 22xytyxxtP TtP B txedyedyt对于x0,根据Brown运动的连续性利用类似的方法，可以得到Brown运动的最小值的分布为0()min()s tm tB s 2/2/02(min()(),02yxxts tPB sxP Ttedy x
17、证明做习题。Brown运动的零点定义：如果时间t使得B(t)=0，则称t是Brown运动的零点。下面计算PB(x)在区间(t1,t2)中至少有一个零点的概率。对B(t1)取条件得21211B(t)1B(t)()2xtPPB tx edxt1212在区间(t,t)至少有一个零点在区间(t,t)至少有一个零点|如果x0,同样利用Brown运动的最小值可证121B(t)()xPB txP Ttt12在区间(t,t)至少有一个零点|所以1|21B(t)()xPB txP Ttt12在区间(t,t)至少有一个零点|因此21222112112()2012112B(t)1B(t)()21()21arcsin/xtyxtttxPPB tx edxtedyedxt tttt 1212在区间(t,t)至少有一个零点在区间(t,t)至少有一个零点|Brown运动的反正弦律定理：设Bx,t0是Brown运动，则x122B(t)arcsin/Ptt12在区间(t,t)没有一个零点证明：当x0时，由Brown运动零点的性质知0122B(t)arcsin/Ptt12在区间(t,t)没有一个零点当x0时，可类似证明，参见教材170页
