1、1.7 1.7 二二元一次不定方程元一次不定方程人教B版数学选修4-6初等数论初步中国古代数学家张丘建曾经解答了下面的问题中国古代数学家张丘建曾经解答了下面的问题:“鸡翁一鸡翁一,值钱五值钱五,鸡母一鸡母一,值钱三值钱三,鸡雏三鸡雏三,值钱一值钱一.百百钱买百鸡钱买百鸡.问鸡翁母雏各几何？问鸡翁母雏各几何？”此题系此题系张丘建算经张丘建算经卷下的最后一题卷下的最后一题,作者生卒作者生卒年代已不易考年代已不易考,该书今传本在该书今传本在算经十书算经十书之内之内.,:153100,3100,74100.x y zxyzxyzxy设用分别表示鸡翁 鸡母 鸡雏的数目得到下列方程化简 得二元一次不定方程
2、的一般形式,(1),.a bcaxbycx y设是非零整数 是整数 任何二元一次方程都可以写成其中是未知数注意 方程的个数少于未知数的个数且未知数又必须为整方程的个数少于未知数的个数且未知数又必须为整数的方程数的方程(组组)称为不定方程称为不定方程(组组).在国外在国外,第一个研究不定方程的是公元前第一个研究不定方程的是公元前250个左右个左右的希腊大数学家丢番图的希腊大数学家丢番图(Diophantus).在他所著的在他所著的13卷数学书卷数学书算术算术里里,曾对许多不定方程一个一个地曾对许多不定方程一个一个地研究它们的解研究它们的解.因此不定方程又叫丢番图方程因此不定方程又叫丢番图方程.7
3、4100.xy下面先研究方程的整数解74100,41007,1007252,44,4,257.44,()257xyyxxxyxxtxtytxttyt令则从而是任意整数:7 04 25100,(,),74100,74(25)0,74(25),4 7,4,4.257,4,()257x yxyxyxyxxxtytxttyt 另解设是方程的任意一组解则两式相减得:即从而是任意整数定理1,(,),(,).a bcaxbycx yd cda b设是非零整数 是整数 方程有整数解的充要条件是其中00000000:(,),.,(,).axbycx yd a d bd axbycd cd cqcdqxyaxby
4、dax qby qdqaxbycqx qy证明若方程有整数解即若则存在整数使可知存在整数适合则即方程有整数解定理20000(,)1,(,),.a bxyaxbycxxbttyyat若如果是方程的一组解则它所有整数解都可写成其中 为任意整数000000000000000:1,(,)1,(1),(,)(1),()(),(1).(,)(1),-(-)(-),(,)1,-a bxyaxbya xbtb yataxabtbyabtaxbycxxbtyyatx yaxbycaxbyca x xb y ya bty y证明 由定理 知 当时 方程有解如果是方程的解为方程的解又若是方程的解 则又又则可知有一整
5、数 使0000-,-(-)(-),.ata x xb atxxbtxxbtyyat成立从而定理311000101(,),(,),.a bd aa d bb dxyaxbycxxbttyya t设如果是方程的一组解 则它所有整数解都可写成其中 为任意整数01010000001010101011111:(1),.(2),(-)-(-),(-)-(-).(-)-(-).(,),(,)1,xxbt yya txx yyaxbycaxbycaxbyaxbya xxb yya d xxb d yya xxb yya bd aa d bb da ba 证明显然是不定方程的解设是不定方程的任一组整数解 则又即
6、0010101|-.-,.,.(1),(2).yyyya tyya txxbtx y 设即从而故可表示为定理中的形式综合定理得证例题 131517.xy例 求方程的整数解解解:因为因为(3,15)=3,3不整除不整除17,所以方程无解所以方程无解.24610.xy例 求方程的整数解:235,(1,1),1 3,.1 2xyxttyt 解 即解方程易知是它的解为任意整数381743.xy例 求方程的整数解:8171,(-2,1),(-86,43)81743,86 17,.43 8xyxyxttyt 解 先求方程的解 易知是它的解从而是方程的解为任意整数474100.xy例 求方程的非负整数解:7
7、4100,4,.0,1,2,325-70481225,18,11,4.75788184xyxtttytxxxxyyyyzzzz 解 已知为任意整数741,(-1,2),(-100,200)74100,-1004.200-7,25,26,27,28,0481225,18,11,4.7578818474100,(0,25),xyxyxttyttxxxxyyyyzzzzxy 另解:先解易知是它的解是的解为任意整数或由易知是它的解例例5 求方程求方程111x-321y=75的整数解的整数解.1122334413330122103321:37-10725,371071.10737 233,2,33,37
8、33 14,1,4,334 8 1,8,1,41 40,4,0,(1),.0,1,1 1 01,8 1 19.kkkkxyxyqrqrqrqraQbPraQbPrQQQq QQQq QQ 解 即解方程先解011221033211,2,1 2 13,8 3226,37(26)107 91,(-26,9)371071.37-1071(-26,-9),(-26 25,-9 25)37-10725,-26 25 107,.-9 2537PPqPq PPPq PPxyxyxyxttyt 即是的解的一组解是从而是的一组解为任意整数另解:逐步回代1=33-48=33-(37-33)8 =339-378 =(
9、107-372)9-378 =1079-3726即37(-26)+1079=1,以下过程略.11111:37-10725.,33252,373325,373325,37332537.(1)(1),425.33xyxyxyyx yyx xyxyxyx另解 即解方程先将绝对值较小的系数对应的变数 解出 得因是整数 故也为整数设是整数即再将中绝对值较小的系数对应的变数 解出得11111111221212114251,42533,86.3341,41.4411,3.31,34,99.99,3437-10725.99 107:,.3437xyyxy xyyxxyxyxyxyxxyxyxttyt同理 令即
10、令即易知的一组解为将其逐步代回得是方程的一组解原方程的全部整数解为为任意整数619201909.xy例 求方程的正整数解0000:19201909.(19,20)1,19201909,192011,1,192019091909,1909,190920,1909 19,0,1,2,.19092001909 190 xyxyxyxyxyxyxt ytttt 解 先求方程的整数解原方程有整数解容易看出方程有一组解所以方程有一组解故原方程的全部整数解为再求方程的正整数解令99,95100.2019,96,97,98,99,100.(11,85),(31,66),(51,47),(71,28),(91,
11、9).ttt 解得由于 为整数 所以故原方程的全部正整数解为思考问题1.求方程7x-19y=213的整数解.2.:(1)5352;(2)719213.xyxy求下列不定方程的正整数解3.将100分成两份,使一份可以被7整除,另一份可被11整除,求两份分别为多少？2374.252011txytxy求解不定方程组11223344133301221033210111:7-19213,7191.197 25,2,5,75 12,1,2,52 2 1,2,1,21 20,1,0,(1),.0,1,1 1 01,2 1 13.1,2,kkkkxyxyqrqrqrqraQbPraQbPrQQQq QQQq
12、QQPPq 解法一 即解方程先解22 1033 211 2 13,2 328,7(8)19 31,(-8,3)7191.7-191(-8,-3),(-8 213,-3 213)7-19213,-8 213 19,.-3 2137Pq PPPq PPxyxyxyxttyt 即是的解的一组解是从而是的一组解为任意整数111111111112111:7-19213.,3-2303,73-23-2,77723.(1)1-(1),1-3.21-,21.2211,0.1,xyxyxyyyx yx xxyxyyxxyxyxyxyxy 解法二 解方程先将绝对值较小的系数对应的变数 解出 得因是整数 故也为整数
13、 设是整数即再将中绝对值较小的系数对应的变数 解出 得令即易知的一组解为将其逐步代回得2,25.25,27-19213.25 19:,.27xxyxyxttyt 是方程的一组解原方程的全部整数解为为任意整数00002:(1)5352.(5,3)1,5352,5311,2,535252,104,523,1045,0,1,2,.523014,1720.1045035,xyxyxyxyxyxyxt yt ttttt 解先求方程的整数解原方程有整数解容易看出方程有一组解所以方程有一组解故原方程的全部整数解为再求方程的正整数解令解得由于 为整数18,19,20.(2,14),(5,9),(8,4).t
14、所以故原方程的全部正整数解为0000(2)719213.(7,19)1,719213,71918,3,7192138 213,3 213,8 213 19,3 2137,0,1,2,.8 213 1903 21370 xyxyxyxyxyxyxt yt ttt 先求方程的整数解原方程有整数解容易看出方程有一组解所以方程有一组解故原方程的全部整数解为再求方程的正整数解令132,8991.197,90,91.(25,2),(6,9).ttt 解得由于 为整数 所以故原方程的全部正整数解为00003:7,11,711100.711100.(7,11)1,711100,71113,2,7111003
15、100,2 100,3 100 11,2 1007,0,1,2,.xyxyxyxyxyxyxyxyxt yt t 解 设一份为另一份为则先求方程的整数解原方程有整数解容易看出方程有一组解所以方程有一组解故原方程的全部整数解为再求方程的正整数解.3 100 11034,2728.2 10070117,28.(8,4).56,44.ttttt 令解得由于 为整数 所以故原方程的全部正整数解为故两份分别为00004:9-143,9-143,9-141.9-1413,2,9-1433 3,2 3,9 14,69,0,1,2,.9 14,69,4355,0,1,2,.txyxyxyxyxyxyxyxk yk kxk yk tk k 解 消去 得即解方程先解容易看出方程有一组解所以方程有一组解故原方程的全部整数解为故原方程的整数解为想想我们本章讲了什么？想想我们本章讲了什么？
