1、2.3 卷积、算子卷积、算子 一、卷积及其性质一、卷积及其性质1定义与物理意义定义与物理意义历史：历史：19世纪，欧拉，泊松，杜阿美尔世纪，欧拉，泊松，杜阿美尔卷积与反卷积互逆卷积与反卷积互逆h(t)e(t)r(t)?h(t)?e(t)r(t)h(t)e(t)?r(t)i)卷积：系统分析卷积：系统分析ii)反卷积反卷积1：系统辨识：系统辨识iii)反卷积反卷积2：信号检测：信号检测2.3 卷积、算子卷积、算子 1212()()()()()f tf tf tff td定义：定义：()()()()()()()()()e tte tetdr tee th th td 物理意义：将信号分解成冲激信号之
2、和，借助物理意义：将信号分解成冲激信号之和，借助系统的冲激响应系统的冲激响应h(t)，求出系统对任意激励信号的，求出系统对任意激励信号的零状态响应零状态响应，即：，即：2.3 卷积、算子卷积、算子 2.代数性质代数性质 tftftftftftftf3121321 1213,ftftftftii)分配律：分配律：定律成立条件：定律成立条件：均存在均存在卷积性质卷积性质12122121()()()()()()()()tf tftfftdff tdftf t证明：证明：)()()()(1221tftftftfi)交换律：交换律：2.3 卷积、算子卷积、算子 h1(t)h2(t)+r(t)e(t)h(
3、t)121212()r te thte thte ththth ththt物理含义：物理含义：并联系统的冲激响应并联系统的冲激响应=各子系统各子系统冲激响应之和冲激响应之和2.3 卷积、算子卷积、算子 tftftftftftf321321iii)结合律：结合律：1223,ftftftft定律成立条件：定律成立条件：均存在均存在 123123123123123()()()()()()()()()ftftftffdf tdfff tddffx f tx dx dftftft证明：证明：令令x2.3 卷积、算子卷积、算子 h1(t)h2(t)r(t)e(t)h(t)121212r te th tht
4、e th thth th tht物理含义：物理含义：串联系统的冲激响应串联系统的冲激响应=子系统冲激响应卷积子系统冲激响应卷积2.3 卷积、算子卷积、算子 例例1：证明：证明 1111tttte u tette u tettee 1111()0ttttte u teeeette u te 11tte u tette 证明：证明：不存在不存在 tttte u tee uedeud 考察定律成立条件考察定律成立条件2.3 卷积、算子卷积、算子 微分积分性质微分积分性质 1212ddftftfftddtdt 221112dftdftdftfdftftdtdtdt证明：证明：tfdttdfdttdft
5、ftftfdtd212121i)微分性质：微分性质：121221tttffdftfdftfdii)积分性质：积分性质：12121212ttttffdffddffddftfd证明：证明：2.3 卷积、算子卷积、算子2.3 卷积、算子卷积、算子 1212()tdftfdffdt例：例：iii)推广：推广：12s tftft ()12iijjstftft则则设设i,j取正整数时为导数的阶次，取负整数时为重积分的次数取正整数时为导数的阶次，取负整数时为重积分的次数2.3 卷积、算子卷积、算子 0000i)ii)iii)iv)v)vi)tkkkkf ttf tf tttf ttf ttftf tu tf
6、df ttftf tttftt(),()tu t的卷积性质的卷积性质 ()()()f ttftdft df tt df t 函数本身延迟函数本身延迟微微分分积积分分性性质质推推广广2.3 卷积、算子卷积、算子 数值法（积分复杂时采用此法）数值法（积分复杂时采用此法）3卷积求法卷积求法利用卷积性质利用卷积性质直接法直接法图解法，设图解法，设hh t iii)信号信号移位：移位：eh t iv)信号相乘：信号相乘：hh ii)信号反褶：信号反褶：eh tdv)求积分：求积分：ti)变量替换：变量替换：()()e th t2.3 卷积、算子卷积、算子 111,222e tu tu th tt u t
7、u t()zsr t例例2：求求()e ttt1201021()h t12.3 卷积、算子卷积、算子 解：解：方法一，图解法方法一，图解法()e12()h010211i)t021()hii)()()hh02t 1()h ttiii)()()hh t2.3 卷积、算子卷积、算子 iv)相乘；相乘；v)求积分求积分1/2,()0zstrt 122111/21,()24416zsttttrttd 11213313/2,()2416zsttrttd 221133/23,()2424zsttttrttd 3,()0zstrt()e1212t t()h t考考察察重重叠叠部部分分确确定定积积分分限限2.3
8、 卷积、算子卷积、算子 220144161211233()41634240 3123323zsttttttttrttt 2.3 卷积、算子卷积、算子 解：解：方法二，直接法方法二，直接法 112112112122zsrte th teh tututduuh tdh tdtdt-2t-1/21 1121()22e tu tu th tt u tu t2.3 卷积、算子卷积、算子 解：解：方法二，直接法方法二，直接法 11()(2)()(1)2211()()221()(1)211(2)()221(2)(1)2zsrth te the tduuu tu tduu tduu tduu tduu td
9、1121()22e tu tu th tt u tu t第第3项项2.3 卷积、算子卷积、算子 11(2)()22uu td考虑第考虑第3项：项：(2)u1()2u t 21/2t0第第3项结果：项结果：1/2213()22tdu t 使用闸门函数确定积分限：左边界下限，右边界上限使用闸门函数确定积分限：左边界下限，右边界上限积分结果有效存在时间的确定：两阶跃函数的时间相加积分结果有效存在时间的确定：两阶跃函数的时间相加2.3 卷积、算子卷积、算子 1121()22e tu tu th tt u tu t te th te thd 111222tttuud 11112222ttttudud 0
10、211112222ttttdu tdu t 22111142244ttt u ttu t22221111131141114342242244tu ttu ttu ttu t解：解：方法三：利用卷积性质求卷积方法三：利用卷积性质求卷积2.3 卷积、算子卷积、算子 1211,12fttu tu tftu tu t tftf21例例3：求求t0211()f t12()f tt10212.3 卷积、算子卷积、算子 121211200120122(1)()(1)(1)(2)01011112112221312323220303ttf tftftfftdf tdu tu tdttttdtdtttttt 解：
11、用直接法解：用直接法t-2t-1 01 121112fttu tu tftu tu t2.3 卷积、算子卷积、算子 h1(t)h2(t)+e(t)h(t)h3(t)h1(t)+r(t)1231,1,h tu th ttth tt例例4：已知：已知求求 h(t)2.3 卷积、算子卷积、算子 121311132123221121h th thth th th th th th thth thth ttu tu tu tu ttt 解：解：1231,1,h tu thttth tt2.3 卷积、算子卷积、算子 1,()tdpddtp 1011101110111011 ()()()nnnnmmmmnn
12、nnmmmmC p r tC pr tCpr tC r tE p e tE pe tEpe tE e tC pC pCpC r tE pE pEpEe tD pr tN pe t二、算子二、算子1算子符号、用算子符号描述高阶微分方程算子符号、用算子符号描述高阶微分方程微分方程的算子描述微分方程的算子描述定义：定义：微分或积分用算子微分或积分用算子符号表示符号表示,简化作用简化作用2.3 卷积、算子卷积、算子()()(),()()()N pH pN pr tDpepDt输入输入-输出法描述系统数学模型输出法描述系统数学模型系统传输算子：系统传输算子：2.3 卷积、算子卷积、算子 2算子符号基本规
13、则算子符号基本规则可因式分解，不能公因子相消可因式分解，不能公因子相消,pxpyxypxpyxycii)22232322325656ddppxxxdtdtdddxxxxdtdtdtddxxxPPxdtdt23256ppppi)2.3 卷积、算子卷积、算子 算子乘除顺序不可随意颠倒算子乘除顺序不可随意颠倒1tdpxxdxpdt即先除后乘可以相消即先除后乘可以相消i)1()()tdxpxdx txpd即先乘后除不能相消即先乘后除不能相消ii)11ppppiii)2.3 卷积、算子卷积、算子 3用算子符号建立微分方程用算子符号建立微分方程已知电路图已知电路图Riv Rv+ii)电阻电阻 v=Ri1,
14、divLivdtdtLii)电感电感 v=LpiLv+i1,dviCvidtdtC1viCpiii)电容电容Cv+i2.3 卷积、算子卷积、算子 例例5：用算子描述：用算子描述 i(t)与与 e(t)的关系的关系 1211110llRi ti te tCpCpi tLPRi tCpCp解：解：1CpLp应用克拉默法则应用克拉默法则2.3 卷积、算子卷积、算子 22211222211122111 110 11111 11 16111e tCpLpRLpRe tCpCpi tRRLPRCpCpCpCpCpLPRCpCpRpe tRR LR LCppRRpLRCCLR LppCp 24710pe t
15、pp2.3 卷积、算子卷积、算子 已知框图已知框图例例6：已知框图，用算子法求微分方程：已知框图，用算子法求微分方程2.3 卷积、算子卷积、算子 22222311123113434x te tx tx te tx tPPPPx tx tr tx tr tPPPP解：解：222343423231r tPPPe tPPPP即：即：tetedtdtrtrdtdtrdtd433222则：则：2.3 卷积、算子卷积、算子 例例7：求：求?32tuP假设系统起始状态为假设系统起始状态为0 tuPtr32 tutrtrdtd23解：设解：设则：则：32trp特解：特解：thAetr3齐次解：齐次解：tAetr332故可设解为：故可设解为：000rr32 A无跳变：无跳变：tetr33232故：故：2.3 卷积、算子卷积、算子 2-13(1)(3)(5)2-142-15(1)(3)2-19(a)(c)2-202-27(1)(3)作业：作业：
