1、 第十三章第十三章 函数列与函数项级数函数列与函数项级数一若数列(2)收敛,则称函数列()在点 ,21nfff ),(),(),()1(,0020100 xfxfxfxExn可得数列代入以的称为函数列收敛，)1(00 xx nf 设是一列定义在数集E上的函数,称定义在E上的函数列,简记为(2)收敛点.若数列(2)发散，则称函数列(1)在0 x发散。若数列(1)在上每一点上收敛。这时在数集上每一点都收敛，则称DDED)1(.)1(,)(,的极限函数称为数列上的函数定的，由这个对应法则所确的一个极限值与之对应都有Dxfxn，则有若把此极限函数记作f),()(limxfxfnnDx或)()(xfxf
2、n.),(Dxn时，使得当恒存在正数任给正数定义：对每一固定的函数列极限NnNDxN,总有)()(xfxfn例例,),(,2,1,)(上的函数列为定义在设 nxxfnn证明它的收敛且有极限函数域是,1,1(1,11,0)(xxxf证证:时，由于，当不妨设任给10)1(,0 x时，就有当只要取),(,lnln),(,)()(xNnxxNxxfxfnn)()(xfxfn(3),1,1,1,1都有时，则对任何正整数或当,10nxx0)1()1(,0)0()0(ffffnn 式所表示的极限函数上收敛，且有在这就证得)3(1,1(nf时，对应的数列为当时，则有当1,1xxxn它显然是发散的,所以函数列
3、外都是发散的。在区间 1,1(nx),(,sin)(xnnxxfn),()(xf例例2 2 设 证明它的收敛域为极限函数为 =0。证：证：由于对任何实数都有,1sinnnnx 故，对任意给定的1,0Nn只要，就有定义定义1 总存在某上，若对任给的正数定义在同一数集与函数设函数列,Dffn,)()(,xfxfDxNnNn都有时，对一切，使得当一正整数 记作上一致收敛于在则称函数列,fDfn)()(xfxfn.),(Dxn)(xfnnxsin),(所以数列的收敛域为无限区间为极限函数为=0。0sinnnx对于函数列，我们不仅要讨论它在哪些点上收敛，而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质。比如能
4、否由函数列每项的连续性，判断出极限函数的连续性，即下面要讨论一致收敛性问题。,0N，对任何正整数存在某正数使得与正整数上某一点都有,NnxD.)()(0 xfxfn 我们证明它在）上收敛于，在（中知道，函数列从例.0)(101xfxn及，取正整数对任何正数，令上不一致收敛。事实上1,21)1,0(0NnNn则有),1,0()11(1nnx21110nxn一致收敛于一致收敛于f 的几何意义的几何意义:的，对于一切序号大于存在正整数对任何正数NN,)()()(),(xfyxfyxfyxfyn为边（即以曲线与都落在以曲线曲线的带形区域内为中心线，宽度为)2不一致收敛于不一致收敛于f 的几何意义的几何
5、意义:某个事先内不一致收敛，指存在在区间函数列)1,0(nx为边与不能全部地落在以多大，总有曲线，无论给定的yyNnxyNn)()1(函数列在函数列在D上不一致收敛的定义：上不一致收敛的定义：bnbbxnlnln)1)(,0(213内讨论，只要只限于在区间所示，若函数列的带形区域内，如图 nnxyyxy。所以为上下边的带形区域内和就全部落在以，曲线其中)10(内是一致收敛的。在),0(box)(xf)(xfn)(xf)(xfaby113图2xxy1x3x213图定理定理13.1(函数列一致收敛的柯西准则函数列一致收敛的柯西准则)上一致收敛的充要在数集函数列Dfn都有时，对一切，使得当，总存在正
6、数条件是：对任给正数,DxNmnN)()(xfxfmn(4)证证:必要性)()(xfxfn设，存在，即对任给0),(Dxn都有时，对一切，使得当正数,DxNnN2)()(xfxfn就有由于是当)5(,Nmn.22)()()()()()(xfxfxfxfxfxfmnmn充分性 上任在西准则，成立，由数列收敛的柯若条件Dfn)4(一点都收敛，记其极限函数为，让）式中的现固定（nDxxf4.),(都有时，对一切于是当,DxNnm.|)()(|xfxfn.),()()(1Dxnxfxfn，由定义(5)定理定理13.2的充要条件是：上一致收敛于在区间函数列fDfn0|)()(|suplimxfxfnDx
7、n证证:必要性,.),()()(则对任给的正数若Dxnxfxfn时，有，当的正整数存在不依赖于NnNx.|)()(|Dxxfxfn，由上确界的定义有|)()(|supxfxfnDx由此证得（6）式成立。充分性时，使得当存在正整数对任给由假设NnN,0,有|)()(|supxfxfnDx总有对一切,Dx|)()(|sup|)()(|xfxfxfxfnDxn由（7）式得|)()(|xfxfn.fDfn上一致收敛于在即（6）（7）.11 ,0),2 ,1(,121 ,22,210 ,2)(22xnnnxnxnnnxxnxfn例例3上的函数列已知定义在 1,0证明上不一致收敛。但在 1,0,0)(li
8、mxfnn证：证：上有因此，在，就有时，只要当 1,0(.0)(110 xfxnxn.0)0(lim)0(,0)0(.0)(lim)(nnnnnfffxfxf于是，.0)(lim)(10 xfxfnn上有，在但由于 021|)()(|max1,0 nnfxfxfnnx)(n因此，该函数列在 1 ,0 上不一致收敛。二二.函数项级数及其一致收敛性函数项级数及其一致收敛性式上的一个函数列，表达是定义在数集设Exun)(Exxuxuxun ,)()()(21称为定义在上的函数项级数，,2,1,)()().()(11nExxuxSxuxunkknnnn称或简记为为函数项级数的部分和函数列。Dxxuxu
9、xuxSn ,)()()()(21级数的和函数：即DxxSxSnn),()(lim)(,00 xSExn0 x)(xun若收敛，则称为的收敛点。若)(,00 xSExn发散，则称0 x为)(xun的收发散点。也就是说函数项级数的收敛性就是指它的部分和数列的收敛性。当当;11)()1,1(.11)(lim)(1|xxSxxSxSxnn内收敛于和函数在时，当当。时，几何级数是发散的1|x定理定理13.3（一致收敛的柯西准则）上一致在数集函数项级数Dxun)(，使得当，总存在某正整数任给的正数收敛的充要条件为：对N都有和一切正整数时，对一切,pDxNn|)()(|xSxSnpn或.|)()()(|2
10、1 xuxuxupnnn推论：推论：)()(xuDxunn列是函数上一致收敛的必要条件在数集函数项级数上一致收敛于零。在D定义定义2在的部分和函数列。若是函数项级数设)()()(xSxuxSnnn.)()(上一致收敛在，则称上一致收敛于函数数集DxuxSDn例例4级数）上的函数项级数（几何定义在),(.11)(1:2xxxSxxxnnn 的部分和函数为因为解定理定理13.4的充要条件是上一致收敛于在数集函数项级数)()(xSDxun.0|)()(|suplim)(suplimxSxSxRnDxnnDxn由此可知我们来看例4中的级数11nnx若仅在-a，a（aN时，对一切Ix|)(|xvn有所以
11、 .6)2(2)()()()(11MMxvxuxvxupnpnnn于是由一致收敛性的柯西准则，级数)()(xvxunn在区间I上一致收敛。1)()1(nnnnnxnnnnnxxvnxu)1()(,)1()(例例6 6 函数项级数在0，1上一致收敛。因为记时，由阿贝耳判别法即得结果。nanxancos2,例例7 7 若数列单调且收敛于零，则级数在上一致收敛。)0(2,证：证：因为在上有212sin21212sin21212sin2)21sin(cos1xxxnkxnknxancos)0(2,所以级数的部分和数列在上一致有界，于是令 nnnaxvnxxu)(,cos)(nxancos)0(2,由狄利克雷判别法知级数在上一致收敛。
