2.2-二项分布及其应用.pptx_163文库

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1、22.2 二项分布及其应用2.2.1 条件概率2.2.2 事件的相互独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.2 二项分布及其应用条件概率2.2.1返回目录 1.什么是条件概率?条件概率与两个事件同时发生的概率有什么区别?2.怎样计算条件概率?它有些什么计算公式?学习要点问题1.买摇奖的体育彩票时,是否是先买的比后买的中奖率高?如果是某商店促销的括括奖又如何呢?要回答这个问题,我们不妨把奖券数设少一点.设有三张奖券中只有一张能中奖,由三名同学无放回地抽取,看看他们中奖的概率.设三名同学为 1,2,3,奖券为 X1,X2,Y,Y 为那张中奖奖券.列出他们抽奖的全部结果如下:1 2 3X1 X

2、2 Y1 2 3X1 Y X21 2 3X2 X1 Y1 2 3X2 Y X11 2 3Y X1 X21 2 3Y X2 X1不管先后,中奖的概率都是问题1.买摇奖的体育彩票时,是否是先买的比后买的中奖率高?如果是某商店促销的括括奖又如何呢?要回答这个问题,我们不妨把奖券数设少一点.设有三张奖券中只有一张能中奖,由三名同学无放回地抽取,看看他们中奖的概率.问:如果已经知道第一位同学没有抽到中奖奖券,其他两位同学的中奖率又如何呢?1 2 3X1 X2 Y1 2 3X1 Y X21 2 3X2 X1 Y1 2 3X2 Y X11 2 3Y X1 X21 2 3Y X2 X1其他两位中奖的概率都是

3、去掉第一位同学中奖的抽奖结果:已知第一位中奖与否,影响了另外两位中奖的概率.在三位同学抽奖的问题中,我们设第一位没有抽到奖券为事件 A,第三位抽到奖券为事件 B,在 A 发生的条件下 B 发生的概率用 P(B|A)表示.在 A 发生的条件下 B 发生等价于 A 和 B 同时发生,其基本事件个数记为 n(AB);在 A 发生的条件下的基本事件总数为 n(A).由古典概型得 (n(W)为全体基本事件个数)即可以通过事件A和事件AB的概率来表示P(B|A).一般地,设 A,B 为两个事件,且 P(A)0,称为在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的条件概率,P(B/A)读作 A 发生的条件下 B

4、发生的概率.条件概率具有概率的性质,0P(B|A)1如果 B 和 C 是两个互斥事件,则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A).问题2.P(AB)与P(B|A)各表示什么意思?它们有什么关系?(1)P(AB)表示事件 A 发生且事件 B 发生的概率.(2)P(B|A)表示事件 A 已知经发生的情况下事件B 发生的概率.(1)描述的是事件 A、B 同时发生的可能性.(2)描述的是事件 A 已经发生的情况下,事件 BP(AB),当且仅当事件 A 是必然事件时等号成立.发生的可能性.例 1.在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地依次抽取 2 道题,求:(1)第 1 次抽到

5、理科题的概率;(2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率;(3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率.解:(1)只要求第 1 次抽到理科题,第二次抽到什么题没可以.设第 1 次抽到理科题为事件 A,则例 1.在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地依次抽取 2 道题,求:(1)第 1 次抽到理科题的概率;(2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率;(3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率.解:(1)在 5 道题中抽 1 道题,恰抽到理科题的概率.也可理解为:只要求第 1 次抽到理科题,与第二次无关,例 1.在 5 道题

6、中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地依次抽取 2 道题,求:(1)第 1 次抽到理科题的概率;(2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率;(3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率.解:(2)不仅第 1 次抽到理科题,且第二次也抽到理科题.设第 2 次抽到理科题为事件 B,则例 1.在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地依次抽取 2 道题,求:(1)第 1 次抽到理科题的概率;(2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率;(3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率.解:(3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第

7、二次抽到理科题是条件概率,其概率为由(1)得由(2)得例 1.在 5 道题中有 3 道理科题和 2 道文科题.如果不放回地依次抽取 2 道题,求:(1)第 1 次抽到理科题的概率;(2)第 1 次和第 2 次都抽到理科题的概率;(3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第 2 次抽到理科题的概率.解:(3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第二次抽到理科题是条件概率,其概率为条件概率可以直接用基本事件数计算.例2.一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都可从 09 中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:(1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率;(

8、2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概率.解:设“第 i 次按对密码”为事件 Ai(i=1,2),则“不超过 2 次就按对密码”为事件 A=).(211AAA而且事件 A1 与事件互斥.(1)得 P(A)=例2.一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都可从 09 中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:(1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率;(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概率.解:设“第 i 次按对密码”为事件 Ai(i=1,2),则“不超过 2 次就按对密码”为事件 A=而且事件 A1 与

9、事件互斥.(2)最后位是偶数,即在 5 个偶数中选择按键,有例2.一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都可从 09 中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:(1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率;(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概率.解:设“第 i 次按对密码”为事件 Ai(i=1,2),则“不超过 2 次就按对密码”为事件 A=而且事件 A1 与事件互斥.(2)可理解为在按偶数的条件下不超过 2 次按对密码.设“按偶数”为事件 B,即例2.一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都可从 09 中任选一个

10、.某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字,求:(1)任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率;(2)如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概率.解:设“第 i 次按对密码”为事件 Ai(i=1,2),则“不超过 2 次就按对密码”为事件 A=而且事件 A1 与事件互斥.(2)可理解为在按偶数的条件下不超过 2 次按对密码.设“按偶数”为事件 B,即练习:(课本54页)1.从一副不含大小王的 52 张扑克牌中不放回地抽取 2 次,每次抽 1 张,已知第一次抽到 A,求第二次也抽到 A 的概率.解:52 张扑克牌中有 4 张 A,设“第 i 次抽到A”为事件

11、 Xi(i=1,2).则在第一次抽到 A 的条件下,第二次也抽到 AP(X2|X1)的概率为或 2.100件产品中有 5 件次品,不放回地抽取 2 次,每次抽 1 件,已知第一次抽出的是次品,求第二次抽出正品的概率.解:设“第一次抽出次品”为事件 A,则P(A)=设“第二次抽出正品”为事件 B,则P(AB)=则在第一次抽出次品的条件下第二次抽出正品的概率为【课时小结】1.条件概率在已知事件 A 已经发生的条件下,事件 B 发生的概率称为条件概率,记作 P(B|A).P(B|A)不等同于 P(AB).P(AB)描述的是事件 A、B 同时发生的可能性.P(B|A)描述的是在事件 A 已经发生的情

12、况下,事件 B 发生的可能性.【课时小结】2.条件概率的计算公式0P(B|A)1.如果 B 和 C 是两个互斥事件,则P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A).习题 2.2A 组 2.一个箱子中装有 2n 个白球和(2n-1)个黑球,一次摸出 n 个球,求:(1)摸到的都是白球的概率;(2)在已知它们的颜色相同的情况下,该颜色是白色的概率.解:设“摸到的都是白球”为事件 A,则(1)所以,摸出 n 个球都是白球的概率为习题 2.2A 组 2.一个箱子中装有 2n 个白球和(2n-1)个黑球,一次摸出 n 个球,求:(1)摸到的都是白球的概率;(2)在已知它们的颜色相同的情况下,该颜色是白色的

13、概率.解:(2)再设“摸到的 n 个球颜色相同”为事件 C=AB,又设“摸到的都是黑球”为事件 B,则则P(C)=P(A)+P(B)习题 2.2A 组 2.一个箱子中装有 2n 个白球和(2n-1)个黑球,一次摸出 n 个球,求:(1)摸到的都是白球的概率;(2)在已知它们的颜色相同的情况下,该颜色是白色的概率.解:(2)再设“摸到的 n 个球颜色相同”为事件 C=AB,又设“摸到的都是黑球”为事件 B,则则P(C)=P(A)+P(B)则在摸出球颜色相同的情况下是白球的概率为因为摸出的球既是同色且是白色的概率就是P(A),所以 P(CA)=P(A)4.设事件 A,B,C 满足条件 P(A)0,

15、时发生,是在 A 发生的由此得:条件下 B 也发生,得设 A,B 为两个事件,若 P(AB)=P(A)P(B),则称事件 A 与事件 B 相互独立.反之,在一次试验中,事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响,事件 B 是否发生对事件 A 发生的概率也没有影响,事件 A 和 B 就叫做相互独立事件.则P(AB)=P(A)P(B).如果事件 A 与 B 相互独立,那么 A 与 B,A 与 B,A 与 B 也都相互独立.问题2:下面的各组事件是否是相互独立事件?甲坛子里有 3 个白球,2 个黑球,乙坛子里有 2 个白球,2 个黑球,从这两个坛子里分别摸出 1 个球.(1)甲坛子摸出白球,

16、乙坛子摸出白球;(2)甲坛子摸出的不是白球,乙坛子摸出白球;(3)甲坛子摸出白球,乙坛子摸出的不是白球;(4)甲坛子摸出的不是白球,乙坛子摸出的不是白球.(1)A 与 B 相互独立.(2)A 与 B 相互独立.(3)A 与 B 相互独立.(4)A 与 B 相互独立.例3.某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券,奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0.05,求两次抽奖中以下事件的概率:(1)都抽到某一指定号码;(2)恰有一次抽到某一指定号码;(3)至少有一次抽到某一指定号码.解:设“第一次抽到指定号码”为事件 A,“

17、第二次抽到指定号码”为事件 B.(1)“两次都抽到指定号码”则为事件AB.则 P(AB)=P(A)P(B)=0.050.05=0.0025.事件 A 与 B 相互独立.例3.某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券,奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0.05,求两次抽奖中以下事件的概率:(1)都抽到某一指定号码;(2)恰有一次抽到某一指定号码;(3)至少有一次抽到某一指定号码.解:设“第一次抽到指定号码”为事件 A,“第二次抽到指定号码”为事件 B.(2)“恰有一次抽到指定号码”为事件事件 A 与 B 相互独立.=

18、0.050.95+0.950.05=0.095.则例3.某商场推出二次开奖活动,凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券,奖券上有一个兑奖号码,可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动.如果两次兑奖活动的中奖概率都是 0.05,求两次抽奖中以下事件的概率:(1)都抽到某一指定号码;(2)恰有一次抽到某一指定号码;(3)至少有一次抽到某一指定号码.解:设“第一次抽到指定号码”为事件 A,“第二次抽到指定号码”为事件 B.(3)“至少有一次抽到指定号码”为事件事件 A 与 B 相互独立.=0.095+0.050.05=0.0975.则例(补充).一个同学投篮一次的命中率是 0.6,他连投 3 次,假

19、设每次投中与否互不影响,计算:(1)3 次都投中的概率;(2)只第二次不中的概率;解:(1)设第一、二、三次投中分别为事件 A、B、C.每次投中与否互不影响,事件 A、B、C 是相互独立事件,“3 次都投中”的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.60.60.6=0.216.答:3 次都投中的概率是 0.216.例(补充).一个同学投篮一次的命中率是 0.6,他连投 3 次,假设每次投中与否互不影响,计算:(1)3 次都投中的概率;(2)只第二次不中的概率;解:(2)设第一、二、三次投中分别为事件 A、B、C.每次投中与否互不影响,事件 A、B、C 是相互独立事件,“只第二次不中”

20、的概率为=0.60.40.6=0.144.答:只第二次不中的概率是 0.144.练习:(课本55页)第 1 题.(补充1).某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击 3 次,且各次射击是否击中相互之间没有影响,那么他仅第 3 次未击中的概率多少?(补充2).制造一种零件,甲机床的废品率是0.04,乙机床的废品率是0.05.从它们制造的产品中各任抽 1 件,其中恰有 1 件废品的概率是多少?练习:(课本55页)1.分别抛掷 2 枚质地均匀的硬币,设“第 1 枚为正面”为事件 A,“第 2 枚为正面”为事件 B,“2枚结果相同”为事件 C,A,B,C 中哪两个相互独立?解:抛掷 2

21、枚硬币的基本事件数n(A)=2;n(W)=4.根据古典概型得A 与 B,A 与 C,B 与 C 都相互独立.事件 A 的基本事件数n(B)=2;事件 B 的基本事件数n(C)=2.事件 C 的基本事件数AB 同时发生的基本事件数n(AB)=1;AC 同时发生的基本事件数n(AC)=1;BC 同时发生的基本事件数n(BC)=1.(补充1).某射手射击 1 次,击中目标的概率是 0.9,他连续射击 3 次,且各次射击是否击中相互之间没有影响,那么他仅第 3 次未击中的概率多少?设第 1、2、3 次击中目标分别为事件A、B、C.解:“仅第 3 次未击中”的概率为=0.90.90.1=0.081.答

22、:仅第 3 次未击中的概率是 0.081.各次射击是否击中相互之间没有影响,那么事件相互独立.(补充2).制造一种零件,甲机床的废品率是 0.04,乙机床的废品率是 0.05.从它们制造的产品中各任抽 1 件,其中恰有 1 件废品的概率是多少?解:设“甲产品中抽出 1 件,是废品”为事件A,“乙产品中抽出 1 件,是废品”为事件 B.A、B 相互独立.“其中恰有 1 件废品”为:则所求概率为=0.960.05+0.040.95=0.086.答:其中恰有 1 件废品的概率是 0.086.甲、乙产品中抽取互不影响,【课时小结】相互独立事件设 A,B 为两个事件,若 P(AB)=P(A)P(B),

23、则称事件 A 与事件 B 相互独立.【课时小结】相互独立事件反之,在一次试验中,事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响,事件 B 是否发生对事件 A 发生的概率也没有影响,事件 A 和 B 就叫做相互独立事件.则P(AB)=P(A)P(B).【课时小结】相互独立事件如果事件 A 与 B 相互独立,那么也都相互独立.即P(AB)=P(A)P(B).2.一个口袋内装有 2 个白球和 2 个黑球.(1)先摸出 1 个白球不放回,再摸出 1 个白球的概率是多少?(2)先摸出 1 个白球后放回,再摸出 1 个白球的概率是多少?解:设“先摸出一个白球”为事件 A,“再摸出一个白球”为事件 B,

24、(1)被第一次摸出了 1 个白球后,袋中只有 3 个球,其中 1 个是白球,则再摸出1个白球的概率是 2.一个口袋内装有 2 个白球和 2 个黑球.(1)先摸出 1 个白球不放回,再摸出 1 个白球的概率是多少?(2)先摸出 1 个白球后放回,再摸出 1 个白球的概率是多少?解:设“先摸出一个白球”为事件 A,“再摸出一个白球”为事件 B,(2)先摸出白球后放回,则袋中球还是 2 白 2 黑.3.天气预报,在元旦假期甲地的降雨概率是 0.2,乙地的降雨概率是 0.3,假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,计算在这段时间内:(1)甲、乙两地都降雨的概率;(2)甲、乙两地都不降雨的概率;(

25、3)其中至少一个地方降雨的概率.解:设甲地降雨为事 A,乙地降雨为事件 B.由题设知 A 与 B 相互独立.(1)p=P(AB)=P(A)P(B)=0.20.3=0.06.(2)=0.80.7=0.56.(3)=1-0.56“其中至少一个地方降雨”与“两地都不降雨”互斥,则=0.44.4.如果事件 A 与事件 B 相互独立,试证明 A 与B,A 与 B,A 与 B 也都相互独立.证明:则相互独立.同理,得相互独立.4.如果事件 A 与事件 B 相互独立,试证明 A 与B,A 与 B,A 与 B 也都相互独立.证明:相互独立.2.2.3独立重复试验与二项分布返回目录1.什么是独立重复试验?3.

26、怎样计算 n 次独立重复试验中,事件 A 恰有 k 次发生的概率.学习要点2.什么叫二项分布?问题1.一枚图钉抛掷 1 次,设针尖向上的概率为p,那么针尖向下的概率是多少?如果连续抛掷 3 次,各次针尖向上是否相互独立?3 次中恰有 1 次针尖向上的概率是多少?恰有 2 次针尖向上呢?抛掷 1 次图钉,针尖不向上就向下,针尖向上和针尖向下是对立事件.针尖向上的概率为 p,则针尖向下的概率为 1-p.如果连续抛掷 n 次,各次是否针尖向上相互独立.一般地,在相同条件下重复做 n 次试验称为 n 次独立重复试验.n 次独立重复试验中,事件 A1,A2,An 相互独立,P(A1A2 An)=P(A1

27、)P(A2)P(An).问题1.一枚图钉抛掷 1 次,设针尖向上的概率为p,那么针尖向下的概率是多少?如果连续抛掷 3 次,各次针尖向上是否相互独立?3 次中恰有 1 次针尖向上的概率是多少?恰有 2 次针尖向上呢?连续抛掷 3 次图钉,设“针尖向上”为事件 Ai,(i=1,2,3).“有 1 次针尖向上”的结果如下:概率为:p(1-p)(1-p)+(1-p)p(1-p)+(1-p)(1-p)p=3p(1-p)2.是从 3 次独立重复试验中取 1 次发生,取 2 次不发生,即 (问:若 P(A)=p,同学们能类推在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰有 k 次发生的概率吗?)一般地,有 n 次

28、独立重复试验中,用 X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件 A 发生的概率为 p,则 P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,n.此时称随机变量 X 服从二项分布,记作 XB(n,p),并称 p 为成功概率.如:抛掷 3 次图钉,即为 3 次独立重复试验,n=3.恰有 1 次针尖向上,即 k=1.其概率为=3p(1-p)2.恰有 2 次针尖向上,即 k=2,其概率为=3p2(1-p).问题2.假设抛一次图钉针尖向上的概率是 0.6,你能作出抛 5 次图钉,针尖向上的次数 X 的分布列吗?每次抛图钉针尖是否向上互不影响,出现针尖向上的次数 X 服从二项分布:XB(5,0.

29、6).P(X=k)=C5k0.6k(1-0.6)5-k,k=0,1,2,3,4,5.P(X=0)=C500.600.45P(X=1)=C510.610.44=0.01024.=0.0768.P(X=2)=C520.620.43=0.2304.P(X=3)=C530.630.42=0.3456.P(X=4)=C540.640.41=0.2592.P(X=5)=C550.650.40=0.07776.问题2.假设抛一次图钉针尖向上的概率是 0.6,你能作出抛 5 次图钉,针尖向上的次数 X 的分布列吗?每次抛图钉针尖是否向上互不影响,出现针尖向上的次数 X 服从二项分布:XB(5,0.6).P(X

30、=k)=C5k0.6k(1-0.6)5-k,k=0,1,2,3,4,5.P(X=0)=C500.600.45P(X=1)=C510.610.44=0.01024.=0.0768.P(X=2)=C520.620.43=0.2304.P(X=3)=C530.630.42=0.3456.P(X=4)=C540.640.41=0.2592.P(X=5)=C550.650.40=0.07776.分布列为:X012345P(xi)0.010240.07680.23040.34560.25920.07776 问题3.根据二项分布的概率公式 P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,你能求出 k 从 0 到

31、n 的 n+1 项和吗?这是一个二项展开式,其二项式为p+(1-p)n=1n=1.即(1)二项分布的命名思想基于此.(2)一个事件所有结果的概率和为 1.例4.某射手每次射击击中目标的概率是 0.8,求这名射手在 10 次射击中,(1)恰有 8 次击中目标的概率;(2)至少有 8 次击中目标的概率.(结果保留两个有效数字.)解:设击中目标的次数为 X,则 X 服从二项分布,即射手各次是否击中目标相互独立.XB(10,0.8).(1)射击 10 次恰有 8 次击中目标的概率为P(X=8)0.30.例4.某射手每次射击击中目标的概率是 0.8,求这名射手在 10 次射击中,(1)恰有 8 次击中目

32、标的概率;(2)至少有 8 次击中目标的概率.(结果保留两个有效数字.)解:设击中目标的次数为 X,则 X 服从二项分布,即射手各次是否击中目标相互独立.XB(10,0.8).(2)射击 10 次至少有 8 次击中目标的概率为P(X8)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)0.302+0.268+0.1070.68.练习:(课本58页)1.生产一种产品共需 5 道工序,其中 1 至 5 道工序的生产合格率分别为 96%,99%,98%,97%,96%.现从成品中任意抽取 1 件,抽到合格品的概率是多少?解:成品中的合格品必须 5 道工序都合格.因为产品在 5 道工序中是否合格相互独立.所

33、以 P(A1A2A5)=P(A1)P(A2)P(A5)设各道工序中产品合格为事件 Ai,i=1,2,5,则成品中任抽 1 件合格的概率为P(A1A2A5).=0.960.990.980.970.960.87=87%.2.将一枚硬币连续抛掷 5 次,求正面向上的次数X 的分布列.解:抛掷硬币各次是否正面向相互独立,则X 服从二项分布,即XB(5,0.5).P(X=0)=C50(1-0.5)5=0.03125;P(X=1)=C510.5(1-0.5)4=0.15625;P(X=2)=C520.52(1-0.5)3=0.3125;P(X=3)=C530.53(1-0.5)2=0.3125;P(X=4

34、)=C540.54(1-0.5)=0.15625;P(X=5)=C550.55=0.03125.X012345P0.03125 0.156250.31250.32150.15625 0.03125 3.若某射手每次射击击中目标的概率是 0.9,每次射击的结果相互独立,则在他连续 4 次的射击中,第1 次未击中目标,但后 3 次都击中目标的概率是多少?解:设每次击中目标为事件 Ai,i=1,2,3,4,Ai 相互独立.所以第1 次未击中目标,但后 3 次都击中目标的概率为=0.10.93=0.0729.【课时小结】1.n 次独立重复试验在相同条件下重复做 n 次试验称为 n 次独立重复试验.n

35、次独立重复试验中,事件 A1,A2,An 相互独立.P(A1A2 An)=P(A1)P(A2)P(An).【课时小结】2.二项分布 n 次独立重复试验中,设事件 A 每次试验发生的概率为 p,则 n 次试验中,事件 A 恰有k 次发生的概率为P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,n.此时称随机变量 X 服从二项分布,记作 XB(n,p),并称 p 为成功概率.习题 2.2A 组 1.某盏吊灯上并联着 3 个灯泡,如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是 0.7,那么在这段时间内吊灯能照明的概率是多少?解:每个灯泡能否照明相互独立,设能正常照明的灯泡数为 X,则 X 服

36、从二项分布,即 XB(3,0.7).于是得吊灯能照明的概率为P(X1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.189+0.441+0.343=0.973.3.如果生男孩和生女孩的概率相等,求有 3 个小孩的家庭中至少有 2 个女孩的概率.解:由题设得生女孩的概率为 0.5.由于生男孩与生女孩设这个家庭有女孩的个数为 X,相互独立,所以 X 服从二项分布,即 XB(3,0.5).这个家庭中至少有 2 个女孩的概率为P(X2)=P(X=2)+P(X=3)=0.5.(问:这一结果是否说明一半的人家都女孩偏多?)其实至多只有一个女孩的概率也是 0.5.B 组 1.甲、乙两选手比赛,假设每局比赛

37、甲胜的概率为 0.6,乙胜的概率为 0.4,那么采用 3 局 2 胜制还是采用 5 局 3 胜制对甲更有利?你对局制长短的设置有何认识?解:设甲胜的局数为 X,X 服从二项分布.采用 3 局 2 胜制时,需甲前两局胜,或前两局胜1 局且第 3 局胜.其概率为p=0.62+=0.648.采用 5 局 3 胜制时,需甲前 3 局胜,或前 3 局胜2 局且第 4 局胜,或前 4 局胜 2 局且第 5 局胜.概率为p=0.63+=0.68256.B 组 1.甲、乙两选手比赛,假设每局比赛甲胜的概率为 0.6,乙胜的概率为 0.4,那么采用 3 局 2 胜制还是采用 5 局 3 胜制对甲更有利?你对局制

38、长短的设置有何认识?解:设甲胜的局数为 X,X 服从二项分布.采用 3 局 2 胜制时,需甲前两局胜,或前两局胜1 局且第 3 局胜.其概率为p=0.62+=0.648.采用 5 局 3 胜制时,需甲前 3 局胜,或前 3 局胜2 局且第 4 局胜,或前 4 局胜 2 局且第 5 局胜.概率为p=0.63+=0.68256.0.682560.648,我们认为采用5局3胜制对甲更有利.由此我们认为,在比赛中,对于实力较强的队来说,局制越长越有利.2.学校游园活动有这样一个项目:甲箱子里装 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装 2 个白球、2个黑球,从这两个箱子里分别摸出 1 个球,若它们都是白球则

39、获奖.有人认为,两个箱子里装的白球比黑球多,所以获奖的概率大于 0.5.你认为呢?解:不一定,因为获奖的概率是两次摸出白球的概率之积,两个小于 1 的数的积更小.设从甲箱子摸出白球为事件A,乙箱子摸出白球为事件 B,则获奖的概率为p=P(AB)=P(A)P(B)=0.3 0.5.3.某批 n 件产品的次品率为 2%,现从中任意地依次抽出 3 件进行检验,问:(1)当 n=500,5000,50000 时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到 1 件次品的概率各是多少?(2)根据(1),你对超几何分布与二项分布的关系有何认识?解:(1)有放回地抽取,则各次抽取相互独立.抽取次品的件数服从二项分

40、布,抽得 1 件次品的概率为=0.057624.此概率与这批产品数无关.无放回抽取,各次抽取相互不独立,抽取次品数服从超几何分布.3.某批 n 件产品的次品率为 2%,现从中任意地依次抽出 3 件进行检验,问:(1)当 n=500,5000,50000 时,分别以放回和不放回的方式抽取,恰好抽到 1 件次品的概率各是多少?(2)根据(1),你对超几何分布与二项分布的关系有何认识?解:(1)有放回地抽取,则各次抽取相互独立.抽取次品的件数服从二项分布,抽得 1 件次品的概率为=0.057624.此概率与这批产品数无关.无放回抽取,各次抽取相互不独立,抽取次品数服从超几何分布.当 n=500 时,次品数为10,0.057853.当 n=5000 时,次品数为100,0.057647.当 n=50000 时,次品数为1000,0.057626.0.057624.(2)产品总数很大时,放回不放回影响不大,超几何分布近似等于二项分布.

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