1、一、一、Cauchy判别法判别法.1,10,0 qaNnqannn时有时有使使若若设设 收收敛敛；则则na证明：证明：,1 qaNnnn时时若当若当.收敛收敛 na.发散发散 na.,1,发发散散则则有有若若对对无无穷穷多多个个 nnnaan.nnqa 则则,0,1 nnnaa若若有有无无穷穷多多项项(根式判别法)第1页/共25页 极限形式极限形式,suplim,0qaannnn 且且设设 发散发散收敛收敛则则nnaqaq,1,1证明：证明：,1suplim qannn设设.1,qaNnNnn时时当当存在存在.收敛收敛 na,1qaqnn 有子列有子列则则设设.1,nnan 使使无限多个无限多
2、个.发散发散 na,1,0 q使使取取第2页/共25页推论：推论：发散发散收敛收敛则则若若,1,1,limqqqannn注注:.1,1:;,12nnq例如例如判别法失效判别法失效时时,11 nnnnaqa不能放宽为不能放宽为.,1 ,1 :发散发散例如例如 nnan第3页/共25页例例1.1.3322312131213121,31 ,21212nnnnaa 2121lim21limlim12121212 nnnnnnnnna3131limlim222 nnnnnna,121suplim nnna.收敛收敛na第4页/共25页例例2.2.12)11(21nnnn解：解：,12)11(21liml
3、im enannnnn发散发散.例例3.3.12nnpn,212)(limlim pnnnnnna收敛收敛.例例4.4.11npn1)(1limlim pnnnnnna失效！失效！说明柯西判别法还比较粗糙说明柯西判别法还比较粗糙,主要原因是与主要原因是与(几何几何)等比级数比较等比级数比较.第5页/共25页例例5.5.偶偶奇奇其中其中 ,1 ,1 ,21nnaannn.Cauchy,1lim判别法失效判别法失效 nnna但是但是 nnSn214121)12(1513112222 n13121121发散发散第6页/共25页二、二、判别法）判别法）AlembertD(比式判别法比式判别法引理：引理
4、：,0,0110nnnnnnbbaannba 时有时有若若设设 .发散发散发散发散收敛收敛收敛收敛则则nnnnbaab证明：证明：111212110,00000000 nnnnnnnnnnnnbbaabbaabbaann时，时，相乘：相乘：,0000nnnnnnnnbbaabbaa 或或得得.,证毕证毕由比较原理由比较原理第7页/共25页 .,1.,1,110发散发散收敛收敛时时若若nnnnnnaaaaqaann证明：证明：.1,11时收敛时收敛知知取取 qbbqaaqbnnnnnn判别法判别法AlembertD.,2,1,0 nan设设.,0 ,111发散发散若若 nnnnnaaaaa第8页
5、/共25页极限形式：极限形式：.,1suplim1收敛收敛则则若若 nnnnaqaa.,2,1,0 nan设设.,1inflim1发散发散则则若若 nnnnaqaa证明：证明：1,1sup1lim qqaannn，取取110 qaannnn时，时，.收敛收敛 na1,1inf1lim qqaannn，取取110 qaannnn时，时，.发散发散 na第9页/共25页 推论推论：.,1 ,1 ,lim1 发散发散收敛收敛若若qqqaannn注：注：.1 ,1 ,12 nnq时失效时失效1sup1inf11limlim qaaqaannnnnn不能改为不能改为如前例如前例1 1,032limlim
6、122 nnnnnaa.2321limlim12212 nnnnnaa.,suplim1 收敛收敛但但nnnnaaa第10页/共25页5.5.更适用于带有阶乘的级数更适用于带有阶乘的级数例例6.6.!),0(1的敛散性的敛散性讨论讨论设设 nnxnx xnxnxnaannnnnnn)1(!)!1(limlimlim11发散发散例例7.7.exnxxnnxnnaannnnnnnnnn )11(!)1()!1(limlimlim111.,0发散发散收敛收敛exex .!),0(1的敛散性的敛散性讨论讨论设设 nnnxnnx第11页/共25页三、三、Raabe判别法（与判别法（与p p级数相比）级数
7、相比）思考：思考：，取取)1(1 pnbpn.,111收敛收敛则则若若 npnnnnannbbaa变形变形111)11()1(1 pnnaanpnn启发我们：启发我们：收敛？收敛？是否能保证是否能保证 nnnaraan1)1(1（了解）（了解）第12页/共25页Raabe判别法判别法.,1)1(,10收敛收敛则则时时若若 nnnaraannn.,1)1(,10发散发散则则时时若若 nnnaaannn证明：证明：11)1(1 rraannn，使，使，取，取设设,11)11(limrnnn nrnnn 1)11(0 时，时，.,2,1,0 nan设设第13页/共25页从而从而 )1()11(11n
8、nnnraann 此即此即.,)1()11(1收敛收敛据引理据引理 nnnannaa nnnaaaannnnn1111)1(11 nnnnbbnnaa11111 据引理，据引理，.发散发散 na第14页/共25页极限形式极限形式.)(,)1(1 ,01 nnonlaaannn设设.11 :发散发散时时收敛；收敛；时时则则 nnalal可等价叙述为：可等价叙述为：.1.1 ,)1(lim1时发散时发散时收敛时收敛lllaannnn（证明留作习题）（证明留作习题）第15页/共25页例例8.8.121!)!2(!)!12(1 nnnn1,1limlim1 nnnnnnaaa易知：易知：失效失效)1(
9、1 nnnaanR)1!)!12(!)!22)(32(121!)!2(!)!12(nnnnnnn123)12()56()1)12()32)(22(22 nnnnnnn故收敛故收敛.第16页/共25页解：解：nnaann 1111 nn D DAlembertAlembert法失效法失效11)1()11()1(1 nnnnnaanRnnn收敛！收敛！例例9.9.,0的收敛性的收敛性讨论讨论 nn)0(,10 其中其中.!)1()1(nCnnn 第17页/共25页例例10.10.)0,(1!)1()1(1 qpnnnpppqn解：解：)()1()1()!1(!)1()1(1npppnnnnnppp
10、aaqqnn )1(1)(11()11(1nonqpnpnpnnq )1(11nopnpnq )(1)1(1)1(1pqopqaannn )1(11nonpq .,时发散时发散时收敛时收敛pqpq 第18页/共25页四、四、GaussGauss判别法判别法满足满足设设 ,0 na（了解）（了解）nnnonnnaann),ln1(ln111.1;,111发散发散时时收敛收敛时时则当则当 nnnnaa 等价形式为：等价形式为：.1.1 ,)11(lnlim1发散发散收敛收敛 naannnnn第19页/共25页证明：证明：)1()(ln1 pnnapn相比较相比较与与用用要求：要求：ppnnnnnn
11、aa)(ln1)1)(ln(1(11 等价于等价于pppnnnnnnnnnnaa ln)1ln(1)1)(ln(1(1)(ln11其中其中nnnnnnnln)11ln(1ln)11(lnln)1ln(第20页/共25页)ln1(ln11)1(1(ln11nnonnnonn ppnnonnnnnnn ln1ln1111ln)1ln(1)ln1(ln1)(11(nnnnpn )ln1(ln11nnnnpn )(1)1(xopxxp 利用利用第21页/共25页,1),ln1(ln111 nnonnnaann设设 )ln)1ln(1)ln1(ln111nnnnnnnnnaann 则则.收敛收敛 na1
12、,1),ln1(ln111 取取设设nnonnnaann.1 .,ts取取)ln)1ln(1)ln1(ln1111nnnnnnonnnaann 则则第22页/共25页nnnnaannln1)1ln()1(11 .发散发散 na要求：要求：熟练掌握：比较判别法及其极限形式熟练掌握：比较判别法及其极限形式,Cauchy Cauchy判别法判别法,D,DAlembertAlembert判别法判别法.掌握：掌握：CauchyCauchy积分判别法积分判别法.判别法判别法和和了解了解GaussRaabe第23页/共25页作业 (数学分析习题集)习题7.3 正项级数的其它判别法1、1),3),5),7);2、3),4),5),6);3、1),4).第24页/共25页感谢您的观看！第25页/共25页
