1、一、引例一、引例二、基本概念二、基本概念三、小结三、小结 思考题思考题第一节第一节 微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、引例例例1（以一种新观点描述连续复利（以一种新观点描述连续复利）率为率为r，若以连续复利计，则，若以连续复利计，则t 年后资金的总额为：年后资金的总额为：假设某人以本金假设某人以本金 元进行一项投资，投资的年利元进行一项投资，投资的年利0p0()rtp tp e(1)我们从另外的观点导出我们从另外的观点导出(1)式式.t 时刻资金总额的变化率时刻资金总额的变化率=t 时刻资金总额获取的利息时刻资金总额获取的利息 dprpdt(2)00|tpp (3)将之代入将之代入 ，不
2、难验证，等式成立，不难验证，等式成立.()()rtp tCeC 为为任任意意常常数数(4)dprpdt 于是根据于是根据 得得 00|tpp 00rpCeC故故 .则则 0Cp 0()rtp tp e 这与前面的结果一致这与前面的结果一致.(5)设物体在任意时刻设物体在任意时刻t 下落的距离下落的距离 ，则物体，则物体 解解 SS t 运动的加速度为运动的加速度为 22.d SaSdt 现在物体仅受重力作用，重力加速度为现在物体仅受重力作用，重力加速度为g，由牛顿第，由牛顿第二定律可知，二定律可知，22,d Sgdt(6)此外，未知函数此外，未知函数 还应满足条件还应满足条件:SS t 00,
3、0.dStSVdt 有有将其记作将其记作0|0,tS 00|0.ttdSVdt 将将(6)式两端积分一次，得式两端积分一次，得1,dSVgtCdt 再积一次分，得再积一次分，得(8)(7)这里这里 都是任意常数都是任意常数.212.2gStC tC 12,C C(10)(9)把条件把条件 代入代入(8)式，得式，得 0|0tV 10C 把条件把条件 代入代入(9)式，得式，得 0|0tS 20C 把把 代入代入(9)式，得式，得12,C C21.2Sgt 这正是我们所熟悉的物理学中的自由落体运动公式这正是我们所熟悉的物理学中的自由落体运动公式.微分方程微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程
4、，凡含有未知函数的导数或微分的方程，叫做微分方程叫做微分方程.例例,xyy 2()dd0,txtx x,32xeyyy ,yxxz 实质实质:联系自变量联系自变量,未知函数以及未知函数的未知函数以及未知函数的某些导数某些导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.二、基本概念微分方程的阶微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数高阶导数的阶数.分类分类1 1:常微分方程常微分方程,偏微分方程偏微分方程.,0),(yyxF一阶微分方程一阶微分方程);,(yxfy 高阶微分方程高阶微分方程,0),()(nyyyxF).,()1()(nnyyyxfy分类
5、分类2:2:分类分类3 3:),()(xQyxPy ;02)(2 xyyyx分类分类4 4:单个微分方程与微分方程组单个微分方程与微分方程组.d32,dd2,dyyzxzyzx 非线性微分方程非线性微分方程.线性微分方程线性微分方程.微分方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式代入微分方程能使方程成为恒等式 的函数的函数.)(,),(),(,()(0 xxxxFn 微分方程的解的分类：微分方程的解的分类：(1)通解通解:微分方程的解中含有任意常数微分方程的解中含有任意常数,且任且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同意常数的个数与微分方程的阶数相同.,)(阶导数阶导数上有上有在区间在
6、区间设设nIxy 满足满足上上的的解解。为为微微分分方方程程在在区区间间则则称称Ixy)(2)特解特解:确定了通解中任意常数以后的解确定了通解中任意常数以后的解.,yy 例如例如;xCey 通解通解,0 yy;cossin21xCxCy 通解通解解的图像解的图像:微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线.通解的图像通解的图像:积分曲线族积分曲线族.初始条件初始条件:用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线过定点的积分曲线;00),(yyyxfyxx一阶一阶:二阶二阶:0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线过定点且在定点的切线的斜率
7、为定值的积分曲线.初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题求微分方程满足初始条件的特解的问题.解：解：12dsincos,dxkCktkCktt 222122dcossin,dxk Cktk Cktt 22ddxxt和和 的的表表将将达达,式代入原方程得式代入原方程得.0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx 00d,0,dttxxAt .0,21 CAC所求特解为所求特解为.cosktAx 补充补充:微分方程的初等解法微分方程的初等解法:初等积分法初等积分法.求解微分方程求解微分方程求
8、积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)微分方程；微分方程；微分方程的阶；微分方程的阶；微分方程的解；微分方程的解；通解通解;初始条件；初始条件；特解；特解；初值问题；初值问题；积分曲线积分曲线三、小结本节基本概念：本节基本概念：思考题思考题 函函数数xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解?思考题解答思考题解答,62xey ,122xey yy4,0341222 xxeexey23 中不含任意常数中不含任意常数,故为微分方程的故为微分方程的特特解解.练练 习习 题题四四、已已知知函函数数1 xbeaeyxx,其其中中ba,为为任任意意常常 数数,试试求求函函数数所所满满足足的的微微分分方方程程 .练习题答案练习题答案谢谢观看！2020
