1、2.7 导数的经济意义导数的经济意义本节内容本节内容一一边际分析边际分析二二弹性分析弹性分析三三偏导数的经济意义偏导数的经济意义一一边际分析边际分析边际概念是与导数密切相关的经济学概念边际概念是与导数密切相关的经济学概念,yx它是反映一种经济变量相对于另一种经济变量的变化率yx0limxyx 或定义定义1 设函数 在x处可导，则称导函数()yf x为 的边际函数()yfx()f x在 处的函数值 为边际函数值()yfx0 xx0()yfx简称为边际边际函数值 的意义：0()fx当 时，x 改变一个单位，y“近似”改变0 xx0()fx个单位.例例1 1则 边 际 成 本()()C C qq是产
2、量（边际成本）设厂商的成本函数为d()dCMCC qq()()()C qqC qC qq(1)()()C qC qCq(),MCC qq因此边际成本表示产量为 时1.生产 个单位产品所花费的成本所以所以例例2则厂商的收益为(),MRR qq因此边际收益表示销售量为时()(,)PP qqP是产量为产品的销售价格（边际收益）设厂商的需求函数为()()RR qqP q边际收益为d()dRMRR qq(1)()()R qR qR q1.销售 个单位产品所增加的收入所以所以()12,边际利润 在例 和例 的记号下 厂商的利润函数为例例3d()dLMLL qq(),MLL qq因此边际利润表示销售量为时则
3、边际利润为()()()LL qR qC q(1)()()L qL qL q()()qP qC q1.销售 个单位产品所增加的利润所以所以例例 某工厂生产的产品每天的总利润 (单位:元)与()L Q产量 (单位:吨)的关系为Q2()1604L QQQ求当每天生产10吨、25吨时的边际利润，并说明其经济意义解解边际利润函数为()1608L QQ则(10)80,(25)40LL 上述结果表明当产量为每天10吨时，再增加一吨，利润增加80元；当产量为每天25吨时，再增加一吨，利润减少40元由此可见，对厂家来说，并非生产的产品数量越多，利润越高 二、弹性分析二、弹性分析yx弹性是反映一种变量对于另一种变
4、量的微小百分比变动所作反应的概念，yxyx0limxyxyx 或0000()()()f xxf xyyf x定义定义2 设函数 在 处可导，函数的相对()yf x0 xx改变量对改变量 的比值 称为函数0 xx00yyxx()f x从 到 两点间的平均相对变化率，或称为两点间的弹性.0 x0 xx与自变量的相当 时，如果 的极限存在，则称此极限0 x 00yyxx为函数 在 处的相对变化率，或称弹性，记()f x0 xx0 x xEyEx或 ，即0()Ef xEx0000000000limlim()()x xxxyyxxEyyfxxExx yf xx 一般地，若 可导且 ，则有00limlim
5、()xxyEyy xxyfxxExx yyx ()f x()0f x 称它为 的弹性函数.()f x 表示在点 处，当x 产生 的改变时，0()Ef xEx0 xx1%近似地改变()f x0()%Ef xEx例例 求函数 的弹性函数 及在45exy EyEx处的弹性3x 3xEyEx解解 由由 可得弹性函数可得弹性函数420exy 4420e45exxEyxxyxExy在 处的弹性3x 312xEyEx例例4()()EQPPfPEPQ (),(),QP Qf P需求价格弹性 设人们对某商品的需求量为其价格为则人们对该商品的需求价格弹性,QP一般需求量是价格 的单减函数,();P当价格上升百分之
6、一时 需求量减少百分之,().EQPEP因此一般为负数便是正数,().P当价格下降百分之一时 需求量上升百分之例例5,;ME当收入增加百分之一时 需求量增加百分之ddMMQEQM(),MQ需求收入弹性 设人们的收入为对某商品的需求量为则人们对该商品的需求收入弹性为dd,MMQMQMEEQMQM由,Q一般需求量是收入的单增函数,ME因此一般为正数,.ME当收入减少百分之一时 需求量减少百分之例例6,.QP设某厂商生产某种产品 其产量就是人们对该产品的需求量其价格为试求边际收益与需求价格弹性之间的关系解解RPQ厂商的收益函数为11.()MRPP则则由于由于因此因此(),EQPEP()()()MRR
7、 QQP QP Q则则1()()EPQP QPEQP 由此可知，由此可知，11.()RP QP()1,P当时0,0,PQ提价意味着0;R这时，说明提价会降低收益0,0,PQ降价意味着0.R这时，说明降价会增加收益由此可知，由此可知，11.()RP QP()1,P当时0,0,PQ提价意味着0;R这时，说明提价会增加收益0,0,PQ降价意味着0.R这时，说明降价会减少收益例例7 某商品需求函数为 ，求：(1)需求弹性函数；204PQ(2)当 时的需求价格弹性；(3)当 时，若价格上涨 ，其总收益是增加5P 5P 1%还是减少?它将变化多少?解（解（1）需求弹性函数1()()()480404EQPPPPfPPEPQP (2)当 时的需求价格弹性为5P 51(5)80515(3)当 时，5P 增加，再求总收益增加的百分比1(5)1,15由此可知，此时需求量的相对减少小于价格的相对增加，故价格上涨1%，总收益2204PRP QP总收益的价格弹性函数为2802()(20).280204ERPPPPR PEPRPPP从而当 时，总收益的价格弹性5P 558020.9380PPERPEPP故在 时，价格上涨1%，总收益约增加0.93%5P 三、偏导数的经济意义（略）三、偏导数的经济意义（略）作业作业P77:1，2，4
