1、12.3 角的平分线的性质第十二章 全等三角形第第2 2课时课时 角平分线的判定角平分线的判定 学习目标1.理解角平分线判定定理.(难点）2.掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题.（重点）3.学会判断一个点是否在一个角的平分线上.导入新课导入新课复习回顾ODPP到OA的距离P到OB的距离角平分线上的点几何语言描述：OC平分AOB，且PDOA，PEOB.PD=PE.ACB角的平分线上的点到角的两边的距离相等.1.叙述角平分线的性质定理不必再证全等E2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
2、讲授新课讲授新课角平分线的判定一PAOBCDE角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.OC平分平分AOB，且且PDOA，PEOB PD=PE几何语言：几何语言：猜想猜想:思考：这个结论正确吗？已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在AOB的角平分线上.证明：作射线OP，点P在AOB 角的平分线上.在RtPDO和RtPEO 中，（全等
3、三角形的对应角相等）.OP=OP（公共边），PD=PE（已知），BADOPEPDOA,PEOB.PDO=PEO=90，RtPDORtPEO（HL）.AOP=BOP证明猜想u判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.PAOBCDE应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.u应用格式：PDOA,PEOB，PD=PE.点点P 在AOB的平分线上.知识总结典例精析 例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为120000）？DC
4、S解：作夹角的角平分线OC，截取OD=2.5cm,D即为所求.O方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？三角形的内角平分线二发现：三角形的三条角平分线相交于一点活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？发现：过交点作三角形三边的垂线段相等你能证明这个结论吗？已知：如图，ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.证明结论证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，C
5、A，垂足分别为D，E，F.BM是ABC的角平分线，点P在BM上，PD=PE.同理PE=PF.PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.D E F A B C P N M 想一想：点P在A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？点P在A的平分线上.结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.D E F A B C P N M MENABCPOD变式1：如图，在直角ABC中，C90，AP平分BAC，BD平分ABC;AP,BD交于点O，过点O作OMAC,若OM4,(1)求点O到ABC三边的距离和.温馨提示：温馨提示：不存在垂线段不存在垂线段构造应用构造应
6、用12解：连接OC1112221()21432642ABCAOCBOCAOBSSSSAB OEBC ONAB OMOM ABBCOMMENABCPOD变式1：如图，在直角ABC中，C900，AP平分BAC，BD平分ABC;AP,BD交于点O，过点O作OMAC,若OM4.(2)若ABC的周长为32，求ABC的面积.1.应用角平分线性质：存在存在角平分线角平分线涉及涉及距离问题距离问题chs212.联系角平分线性质：距离距离面积面积周长周长条件条件知识与方法知识与方法例2 如图，在ABC中，点O是ABC内一点，且点O到ABC三边的距离相等若A40，则BOC的度数为()A110 B120 C130
7、D140A解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有CBOABO ABC，BCOACO ACB，ABCACB18040140，OBCOCB70，BOC18070110.2121 由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出BOC的度数方法总结归纳总结角的平分线的性质图形已知条件结论PCPCOP平分AOBPDOA于DPEOB于EPD=PEOP平分AOBPD=PEPDOA于DPEOB于E角的平分线的判定当堂练习当堂练习1.如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建
8、造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P.小区CPAOBMN2.如图所示，已知ABC中，PEAB交BC于点E，PFAC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分BAC，并说明理由解：AD平分BAC理由如下：D到PE的距离与到PF的距离相等，点D在EPF的平分线上12又PEAB，13同理，2434，AD平分BACABCEFD(3412P 3.已知：如图，OD平分POQ，在OP、OQ边上取OAOB，点C在OD上，CMAD于M，CNBD于N.求证：CMCN.证明：OD平分线POQ，AOD=BOD.在AOD与BOD中，OA=OB，A
9、OD=BOD，OD=OD，AODBOD.ADO=BDO.CMAD，CNBD，CM=CN.4.如图，已知CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M.点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBC.FGFM.又点F在CBD的平分线上，FHAD，FMBC，FMFH，FGFH.点F在DAE的平分线上.GHMABCFED拓展思维5.如图,直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,可选择的地址有几处?画出它的位置.l1l3l2P1P2P3P4l1l2l3课堂小结课堂小结角平分线的判定
10、定理内 容角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上作 用判断一个点是否在角的平分线上结 论三角形的角平分线相交于内部一点 12.3 角的平分线的性质第第2 2课时课时 角平分线的判定角平分线的判定 1、会用尺规作角的平分线.角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、角的平分线的性质:OCB1A2PDEPDOA，PEOB OC是AOB的平分线 PDPE用数学语言表述：复习回顾旧知回顾 已知一个角你会将它平分吗？说一说，你有哪些方法？有没有既简单又准确的方法。ABO要研究角的平分线的性质我们必须会画角的平分线，工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线.已知AB=AD.将A点放在角的
11、顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为BAD的平分线.BEDCA动脑思考动脑思考把简易平分角的仪器放在角的两边时，平分角的仪器两边AB与AD相等，从几何作图角度怎么画？BADC动脑思考动脑思考BC=DC从几何作图角度怎么画？BADC 角平分线的画法（）分别以M，N为圆心大于MN一半的长为半径作弧两弧在AOB的内部交于C（3）作射线，则射线OC即为所求ABOMNC()以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N想一想：为什么想一想：为什么OC是角平分线呢？是角平分线呢？已知：OM=ON，MC=NC.求证：OC平分AOB.证明：连接CM，CN 在OMC和ONC中，
12、OM=ON，MC=NC，OC=OC，OMC ONC （SSS）MOC=NOC 即：OC平分AOBABMNCO操作：用纸剪一个角，把纸片对折，操作：用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕开，观察两次折叠形成的三条折痕.问题问题1 1：第一次的折痕和角有什么关系？：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？为什么？问题问题2 2：第二次折叠形成的两条折痕与角：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何
13、关系，它们的长度有何关系？的两边有何关系，它们的长度有何关系？归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等已知：OC是AOB的平分线，点P在OC上，PD OA，PE OB，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.已知：如图，已知：如图，OP是是AOBAOB的平分线，点的平分线，点P在在OC上，上，PDOA，PEOB，垂足分别为，垂足分别为D，E求证：求证：PD=PE证明证明:1=2,:1=2,OP=OPOP=OPPDO=PEO=90PDO=PEO=90PDOPEO (AAS)PDOPEO (AAS)PD=
14、PE (PD=PE (全等三角形的全等三角形的对应边相等对应边相等)A AO OB BD DP PE EC C1 12 2角平分线的性质定理角平分线的性质定理定理定理 角的平分线上的点到这个角的两边角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。的距离相等。定理应用所具备的条件：定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；）角的平分线；（2）点在该平分线上；）点在该平分线上；（3）垂直距离。）垂直距离。定理的作用：定理的作用：证明线段相等。证明线段相等。应用定理的书写格式：应用定理的书写格式：OP 是是 的平分线的平分线AOBOAPD OBPE PD=PE（在角的平分线上的点在角的平分线上的点 到这个角
15、的两边的距离相等。到这个角的两边的距离相等。）A AO OB BD DP PE E推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。判断正误，并说明理由：（1）如图1，P在射线OC上，PEOA，PFOB，则PE=PF.（2）如图2，P是AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF.AOBPEF图2图3AOBPEAOBPEF图1（3）如图3，在AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm.BOAPEDC已知：如图，已知：如图，PDOA，PEOB，垂，垂足分别是足分别是D，E，PD=PE。求证：点求证：点P在在AOB的平分线上。的平分线上
16、。证明证明:在在RtODPRtODP和和RtOEPRtOEP中中,ODP=OEP=90ODP=OEP=90OP=OP,PD=PEOP=OP,PD=PERtOPDRtOPE (HL)RtOPDRtOPE (HL)角的内部到一个角的两边的距离相角的内部到一个角的两边的距离相等的点，等的点，在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。定理定理 定理定理 2的应用书写格式：的应用书写格式：OP 是是 的平分线的平分线AOBOAPC OBPD PD=PE （角的内部（角的内部到一个角的两边的距离相到一个角的两边的距离相等的点，等的点，在这个角的平分线上在这个角的平分线上）用途：判定一条射线是角平分线用途：判
17、定一条射线是角平分线BOAPEDC知识运用知识运用 如图，开发区一个工如图，开发区一个工厂，在公路西侧，到公路厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为近桥头的距离为500米。米。你能尝试确定工厂的位置你能尝试确定工厂的位置吗？并说明理由。吗？并说明理由。北北比例尺比例尺1：20000 到公路的距离与到河岸的距离相等到公路的距离与到河岸的距离相等工厂在河岸与公路的角平分线上工厂在河岸与公路的角平分线上 （到一个角的两边的距离相等的点，到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上在这个角的平分线上）以角的顶点为
18、端点在角平分线上取一段等于以角的顶点为端点在角平分线上取一段等于2.52.5则另一点就是工厂的位置。则另一点就是工厂的位置。例题讲解例题讲解例例 已知：如图，已知：如图，ABC的角平分线的角平分线 BM、CN相交于点相交于点P.求证：点求证：点P到三边到三边 AB、BC、CA的距离相等的距离相等.证明：过点证明：过点P P作作PD PD、PEPE、PFPF分别垂直于分别垂直于ABAB、BCBC、CACA，垂足为，垂足为D D、E E、F F BM BM是是ABCABC的角平分线，点的角平分线，点P P在在BMBM上上 PD=PEPD=PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）角平分线上的点到
19、角的两边的距离相等）同理同理 PE=PF.PE=PF.PD=PE=PF.PD=PE=PF.即点即点P P到边到边ABAB、BCBC、CACA 的距离相等的距离相等DEFABCPMN 3 3 角的平分线的性质定理角的平分线的性质定理1 1，定理，定理2 2是是证明角证明角相等，线段相等相等，线段相等的新途径。的新途径。定理定理1 1多用于证明多用于证明线段相等线段相等，定理定理2 2多用于多用于证明角相等或点在角证明角相等或点在角平分线上。平分线上。1 1 角的平分线上的点到这个角的两边的距离角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。相等。2 2 角的内部到一个角的两边距离相等的点，角的内部到一
20、个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。在这个角的平分线上。课堂小结到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？角的平分线上呢？已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上思考证明:QDOA，QEOB（已知），QDOQEO90（垂直的定义）在RtQDO和RtQEO中 QOQO（公共边）QD=QE RtQDORtQEO（HL）QODQOE 点Q在AOB的平分线上 已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。QDOA，Q
21、EOB，QDQE点Q在AOB的平分线上用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE归纳 1.如图,ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等BM是ABC的角平分线,点P在BM上,ABCPMNDEFPD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.PDPE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F练一练2.2.如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平的平分线相交于点分线相交于点F
22、F，求证：点求证：点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBCFGFM又点F在CBD的平分线上，FHAD，FMBCFMFHFGFH 点F在DAE的平分线上3.如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，且BECF。求证：AD是ABC的角平分线。ABCEFD知识应用 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?想一想 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()A.一处 B.两处 C.三处 D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上用数学语言表示为：课时小结1 1、已知、已知:BDAM:BDAM于点于点D,CEAND,CEAN于点于点 E,BD,CEE,BD,CE交点交点F,CF=BF,F,CF=BF,求证求证:点点F F在在A A的平分线上的平分线上.A A A A A A ADNE BFMCA拓展提高
