1、13.3.2 等边三角形第十三章 轴对称第1课时 等边三角形的性质与判定学习目标1探索等边三角形的性质和判定（重点）2能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证 明（难点）小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？问题引入导入新课导入新课等腰三角形等边三角形一般三角形在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形.名称图 形定 义性 质 判 定等 腰 三 角 形等边对等角三线合一等角对等边两边相等两腰相等轴对称图形ABC有两条边相等的三角形叫做等腰三角形等
2、边三角形的性质一讲授新课讲授新课类比探究ABCABC问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？等腰三角形AB=ACB=C等边三角形AB=AC=BCAB=ACB=CAC=BCA=BA=B=C内角和为180=60结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一 个角都等于60.已知：AB=AC=BC，求证：A=B=C=60.证明：AB=AC.B=C.(同理 A=C.A=B=C.A+B+C=180,A=B=C=60.ABCABC问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.顶角的平分线、底边的高底边的中线三线合一一条对
3、称轴三条对称轴图形等腰三角形性 质 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合三个角都相等，对称轴（3条）等边三角形对称轴（1条）两个底角相等底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合且都是60两条边相等三条边都相等知识要点例1 如图，ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若ABE40，BEDE，求CED的度数解：ABC是等边三角形，ABCACB60.ABE40，EBCABCABE604020.BEDE，DEBC20，CEDACBD40.典例精析方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等
4、边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.变式训练：如图，ABC是等边三角形，BD平分ABC，延长BC到E，使得CE=CD求证：BD=DE证明：ABC是等边三角形，BD是角平分线，ABC=ACB=60，DBC=30又CE=CD，CDE=CED又BCD=CDE+CED，CDE=CED=30DBC=DECDB=DE（等角对等边）例2 ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BMCN，BN与AM相交于Q点，BQM等于多少度？解：ABC为正三角形，ABCCBAC60，ABBC.又BMCN，AMBBNC(SAS)，BAMCBN，BQMABQBAM ABQCBNABC60.方法总
5、结：此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.类比探究等边三角形的判定二图形等腰三角形判 定 三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形三条边都相等的三角形是等边三角形小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60的三角形也是等边三角形”，你同意吗？u等边三角形的判定方法：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.辩一辩：根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.（1）（2）（6）（5）不不是是是是是是是是是是（4）（3）不不
6、一一定定是是例3 如图,在等边三角形ABC中，DEBC,求证：ADE是等边三角形.ACBDE典例精析证明：ABC是等边三角形，A=B=C.DE/BC,ADE=B,AED=C.A=ADE=AED.ADE是等边三角形.想一想：本题还有其他证法吗？证明：ABC 是等边三角形，A=ABC=ACB=60 DEBC，ABC=ADE，ACB=AED.A=ADE=AED.ADE 是等边三角形.变式1若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DEBC，结论还成立吗？ADEBC变式2若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上，且DEBC，结论依然成立吗？证明：ABC 是等边三角形，BAC=B=C=60 DEBC
7、，B=D，C=E EAD=D=E ADE 是等边三角形ADEBC变式3：上题中,若将条件DEBC改为AD=AE,ADE还是等边三角形吗?试说明理由.ACBDE证明：ABC是等边三角形，A=B=C.AD=AE,ADE=B,AED=C.A=ADE=AED.ADE是等边三角形.例4 等边ABC中，点P在ABC内，点Q在ABC外，且ABPACQ，BPCQ，问APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论解：APQ为等边三角形证明如下：ABC为等边三角形，ABAC.BPCQ，ABPACQ，ABPACQ(SAS)，APAQ，BAPCAQ.BACBAPPAC60，PAQCAQPAC60，APQ是等边三角形方法总结
8、：判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60.针对训练：如图，等边ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF求证：DEF是等边三角形证明：ABC为等边三角形，且AD=BE=CFAF=BD=CE，A=B=C=60，ADFBEDCFE（SAS），DF=ED=EF，DEF是等边三角形当堂练习当堂练习 2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DEBC，则这个图形中的等腰三角形共有（）A.4个 B.5个 C.6个 D.7个DACBDEO1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数
9、是（）A105 B120 C135 D150 B3.在等边ABC中，BD平分ABC，BD=BF，则CDF的度数是（）A10 B15 C20 D25 4.如图,ABC和ADE都是等边三角形，已知ABC的周长为18cm,EC=2cm,则ADE的周长是 cm.ACBDE12B5.如图，在ABC中，ACB=90，CAB=30，以AB为边在ABC外作等边ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F求证：AEFBEC证明：ABD是等边三角形，DAB=60，CAB=30，ACB=90，EBC=180-90-30=60，FAE=EBCE为AB的中点，AE=BE又 AEFBEC，AEFBEC（ASA）6.如
10、图，A、O、D三点共线，OAB和OCD是两个全等的等边三角形，求AEB的大小.CBODAE解：OAB和OCD是两个全等的等边三角形.AO=BO,CO=DO,AOB=COD=60.A、O、D三点共线，DOB=COA=120，COA DOB(SAS).DBO=CAO.设OB与EA相交于点F,EFB=AFO，AEB=AOB=60.F7.图、图中，点C为线段AB上一点，ACM与CBN都是等边三角形(1)如图，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；(2)如图，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究CEF的形状，并证明你的结论拓展提升：图图解：(1)ANBM.理由：ACM与CBN都是等边三角形，A
11、CMC，CNCB，ACMBCN60.ACNMCB.ACNMCB(SAS)ANBM.图(2)CEF是等边三角形证明：ACEFCM=60，ECF=60.ACNMCB，CAECMB.ACMC，ACEMCF(ASA)，CECF.CEF是等边三角形图课堂小结课堂小结等边三角形定 义底=腰特殊性性 质特殊性边三边相等角三个角都等于60 轴对称性轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质判 定特殊性三边法三角法等腰三角形法13.3.2 等边三角形第1课时 等边三角形的性质与判定 学习目标：学习目标：1探索等边三角形的性质和判定探索等边三角形的性质和判定2能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证能运用等边三角
12、形的性质和判定进行计算和证 明明 学习重点：学习重点：探索等边三角形的性质与判定探索等边三角形的性质与判定下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此图形的名称吗？图形的名称吗？创设情境，导入新知创设情境，导入新知三条边都相等的三角形是等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形创设情境，导入新知创设情境，导入新知问题满足什么条件的三角形是等边三角形？问题满足什么条件的三角形是等边三角形？等边三角形等边三角形ABC 联系：联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；等边三角形是特殊的等腰三角形；区别：区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形等边三角形有三条相等
13、的边，而等腰三角形 只有两条只有两条.创设情境，导入新知创设情境，导入新知请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合 你画的图形说出它们有什么区别和联系？你画的图形说出它们有什么区别和联系？ABCABC思考将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能思考将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能 得到什么结论？得到什么结论？从边的角度：从边的角度：两腰相等；两腰相等；从角的角度：从角的角度：等边对等角；等边对等角；从对称性的角度：从对称性的角度：轴对称图形、三线合一轴对称图形、三线合一细心观察，探索性质细心观察，探索性质问题等腰三角形有哪些特殊的性质呢？问题等腰
14、三角形有哪些特殊的性质呢？图形图形边边角角轴对称图形轴对称图形等腰等腰三角形三角形两边相等两边相等（定义）（定义）两底角相等两底角相等（等边对等角）（等边对等角）是（三线合一）是（三线合一）一条对称轴一条对称轴等边等边三角形三角形三边相等三边相等（定义）（定义）？细心观察，探索性质细心观察，探索性质结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应 的结论吗？的结论吗？细心观察，探索性质细心观察，探索性质结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应 的结论吗？的结论吗？图形图形边边角角轴对称图形轴对称图形等腰等腰
15、三角形三角形两边相等两边相等（定义）（定义）两底角相等两底角相等（等边对等角）（等边对等角）是（三线合一）是（三线合一）一条对称轴一条对称轴等边等边三角形三角形三边相等三边相等（定义）（定义）？相等相等每个角都等于每个角都等于60 相等相等每个角都等于每个角都等于60细心观察，探索性质细心观察，探索性质结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应 的结论吗？的结论吗？图形图形边边角角轴对称图形轴对称图形等腰等腰三角形三角形两边相等两边相等（定义）（定义）两底角相等两底角相等（等边对等角）（等边对等角）是（三线合一）是（三线合一）一条对称轴一条对称轴等
16、边等边三角形三角形三边相等三边相等（定义）（定义）是（三线合一）是（三线合一）三条对称轴三条对称轴对对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于都等于60”这一结论进行证明这一结论进行证明.细心观察，探索性质细心观察，探索性质证明：证明：ABC 是等边三角形，是等边三角形，BC=AC，BC=AB A=B，A=C A=B=C A+B+C=180，A=60 A=B=C=60细心观察，探索性质细心观察，探索性质已知：已知：ABC 是等边三角形是等边三角形 求证：求证：A=B=C =60ABC符号语言：符号语言：ABC 是等边三角形，是等边三角形，A=B=
17、C=60细心观察，探索性质细心观察，探索性质 等边三角形的性质：等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等 于于60.ABC细心观察，探索性质细心观察，探索性质思考利用所学知识判断，等边三角形是轴对称图思考利用所学知识判断，等边三角形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出它的对称轴形吗？若是轴对称图形，请画出它的对称轴.ABC思考思考1一个三角形的三个内角满足什么条件是等一个三角形的三个内角满足什么条件是等 边三角形？边三角形？三个角都相等的三角形或者一个角为三个角都相等的三角形或者一个角为60的等腰三的等腰三 角形角形思考思考2
18、一个等腰三角形满足什么条件是等边三角一个等腰三角形满足什么条件是等边三角 形？形？细心观察，探索性质细心观察，探索性质问题等边三角形除了用定义（即用边）来判定以问题等边三角形除了用定义（即用边）来判定以 外，能否利用角来判定呢？外，能否利用角来判定呢？细心观察，探索性质细心观察，探索性质请你将得到的这两个命题进行证明请你将得到的这两个命题进行证明.等边三角形等边三角形 等腰三角形等腰三角形 一般三角形一般三角形 证明：证明：A=B，B=C，BC=AC，AC=ABAB=BC=AC ABC 是等边三角形是等边三角形已知：在已知：在ABC 中，中，A=B=C求证：求证：ABC 是等边三角形是等边三角
19、形细心观察，探索性质细心观察，探索性质C A B 细心观察，探索性质细心观察，探索性质已知：在已知：在ABC 中，中，AC=BC且且A=60求证：求证：ABC是等边三角形是等边三角形证明：证明：略略C A B 符号语言：符号语言：在在ABC 中，中，A=B=C，ABC 是等边三角形是等边三角形细心观察，探索性质细心观察，探索性质等边三角形的判定定理等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形 C A B 细心观察，探索性质细心观察，探索性质等边三角形的判定定理等边三角形的判定定理2：有一个角为有一个角为60的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三
20、角形 C A B 符号语言：符号语言：在在ABC 中，中，BC=AC，A=60，ABC 是等边三角形是等边三角形等边三角形的判定定理等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形的判定定理等边三角形的判定定理2：有一个角为有一个角为60的等腰三角形的等腰三角形 细心观察，概括归纳细心观察，概括归纳判定等边三角形的方法：判定等边三角形的方法：从边的角度：从边的角度：等边三角形的定义；等边三角形的定义；从角的角度：从角的角度：等边三角形的两条判定定理等边三角形的两条判定定理 证明：证明：ABC 是等边三角形，是等边三角形，A=B=C=60 DEB
21、C，B=ADE，C=AED A=ADE=AED ADE 是等边三角形是等边三角形动脑思考，例题解析动脑思考，例题解析例例1如图，如图，ABC 是等边三角形，是等边三角形，DEBC,分分别交别交AB，AC 于点于点D，E求证：求证：ADE 是等边三角形是等边三角形.追问本题还有其他证法吗？追问本题还有其他证法吗？ABCDE证明：证明：ABC 是等边三角形，是等边三角形，A=ABC=ACB=60 DEBC，ABC=ADE，ACB=AED.A=ADE=AED.ADE 是等边三角形是等边三角形.动脑思考，变式训练动脑思考，变式训练变式变式1若点若点D、E 在边在边AB、AC 的延长线上，且的延长线上，
22、且 DEBC，结论还成立吗？，结论还成立吗？ADEBC动脑思考，变式训练动脑思考，变式训练变式变式2若点若点D、E 在边在边AB、AC 的反向延长线上，的反向延长线上，且且DEBC，结论依然成立吗？，结论依然成立吗？证明：证明：ABC 是等边三角形，是等边三角形，BAC=B=C=60 DEBC，B=D，C=E EAD=D=E ADE 是等边三角形是等边三角形ADEBC动脑思考，变式训练动脑思考，变式训练练习完成教科书中的练习练习完成教科书中的练习（1）本节课学习了）本节课学习了等边三角形的性质和判定；等边三角形的性质和判定；（2）等边三角形与等腰三角形相比有哪些特殊的性质？）等边三角形与等腰三
23、角形相比有哪些特殊的性质？共有几种判定等边三角形的方法？共有几种判定等边三角形的方法？（3）结合本节课的学习，谈谈研究三角形的方法）结合本节课的学习，谈谈研究三角形的方法课堂小结课堂小结作业作业1 如图，已知ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD,AD与BE相交于点F。求证：ABECAD；求BFD的度数.证明：ABC为等边三角形 BAE=DCA=60，AB=AC 在ABE与CAD中 AB=AC，BAE=DCA，AE=CD，ABECAD 解：ABECAD ABE=DAC BAF+DAC=BAC=60 BFD=ABE+BAF BFD=BAF+DAC=60作业作业2 如图，D
24、AC和EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：ACEDCB；CMCN；AMDN，其中正确结论的人数是（）A、3个 B、2个 C、1个 D、0个A AMNDEBCA【跟踪练习跟踪练习】B B 1、下列命题中，正确的有（）有一个外角是120的等腰三角形是等边三角形；有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；有一边上的高也是这边中线的等腰三角形是等边三角形；三个外角都相等的三角形是等边三角形。A、4个 B、3个 C、2个 D、1个 2、如图1，ABC是等边三角形，点D、E、F分别是AB、BC、CA上的点，若ADBECF，DEF是等边三角形吗？为什么？ABCFDE证明：
25、ABC是等边三角形 ABC，ABBCAC ADBECF ABADBCBEACCF BDCEAF 在ADF与BED中 ADFBED DFDE 同理可证得ADFCFE DFEF DFDEEF，即DEF是等边三角形。布置作业布置作业教科书习题教科书习题13.3第第12、14题题 13.3.2 等边三角形如图如图 ABC中中AB=AC等腰三角形的性质：等腰三角形的性质：1、等腰三角形两底角相等（等边对等角），、等腰三角形两底角相等（等边对等角），2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合底边上的中线互相重合(三线合一三线合一)。DCBA3、等腰三角
26、形是轴对称图形.对称轴_所在直线.OAB如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.OA=OB(等角对等边 )ABC中，A=B等腰三角形的判定OABCMN角平分线平行等腰三角形123 三边都相等的三角形叫等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。也叫正三角形。ABCAB=BC=CA提出问题：等边三角形有哪些特殊的性质呢？根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的性质：从边看；从角看；从对称性看；从重要线段看ABC等边三角形的内角都相等吗？为什么？由已知：AB=AC=BC，AB=AC，B=C同理 A=C，A=B=C A+B+C=180，A=B=C=60 A AB
27、BC C等边三角形是轴对称图形吗？等边三角形是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？若是，有几条对称轴？结论结论:等边三角形是轴对称图形，是轴对称图形，有三条对称轴有三条对称轴.等边三角形性质探索三:（对称轴是等边三角形的高或角平线或中线所在的直线）等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60.等边三角形的三边都相等ABC）（6060（3）等边三角形各边上中线,高和所对角的平分线都三线合一.（4）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.AFEDCBOA AB BC CABC是等边三角形,D为AC的中点,延长BC到E,使CE=CD,求证:BD=DEABCED小试牛刀ABC是等边三角形,D为AC的
28、中点,延长BC到E,使CE=CD,求证:BD=DEABCED证明：ABC是等边三角形 AB=AC=BC，ABC=A=ACB=60 DBC=E BD=DE（等角对等边）CE=CD CDE=E=1/2 ACB=30（等边对等角）ABAC,D为AC的中点 ABD=DBC=1/2 ABC=30（三线合一 ）思考题？一个三角形满足什么条件就是等边三角形?三个角都相等的三角形是三个角都相等的三角形是等边等边三角形？三角形？已知：如图，ABC中，A=B=C求证：AB=AC=BCABC证明：在ABC中 A=B（已知）BC=CA（等角对等边）同理 CA=ABBC=CA=ABABC A=B=CABC是等边三角形推
29、论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。如果一个等腰三角形中有一个角是60，那么这个三角形是什么三角形？第一种情况：当顶角是60度时第二种情况：当底角是60度时已知：ABC中，AB=AC，A=600。求证：AB=AC=BCABC证明：ABC中AB=AC，B=C（等边对等角）A=600 B=C=600AB=AC=BC（等角对等边）推论2：有一个角是有一个角是 6060的等腰三角形是的等腰三角形是等等边三角形。边三角形。ABC B=600 AB=BCABC是等边三角形2.三个角都相等的三角形是等边三角形.3.有一个角是60的等腰三角形是等边三角形.1.三边都相等的三角形是等边三角形.（定义）一般三
30、角形等边三角形ABC等腰三角形等边三角形ABCAB=BC=ACABC是等边三角形 B=600 AB=BCABC是等边三角形 A=B=CABC是等边三角形定义定义 性质性质 判定判定等腰等腰三角形三角形等边等边三角形三角形 例1 如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得APB=60，AP=BP=200m，他们便得出了一个结论：池塘最长处不小于200m他们的结论对吗？解：在APB中，AP=BP，APB=60，所以PAB=PBA=1/2（180APB）=1/2（18060）=60 于是 PAB=PBA=APB 从而APB是等边三角形，AB的长是200m由此可以得出兴趣小组的结论是正确的例2.如图，在
31、等边三角形ABC的边AB、AC上分别截取AD=AE，ADE是等边三角形吗？试说明理由。ABCDE你还有其它方法使ADE是等边三角形吗？可添加的条件为：AD=AE，BD=CE；ADE=60；ADE=ABC；DEBC等 练习一：如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，BDE=CDF=60，结合图形，你能得出那些结论？结论：线：BD=DC=BE=DE=DF=CF=AF=AE角：ADE=ADF=EAD=DAF=30形：ADE和ADF是等腰三角形BED和CFD是等边三角形其他：DEAC，DFAB等ACBDEF 如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，延长AB到点E，使BE=BD，连接DE，则AD
32、E的形状是_EDCAB 练习二如图，D、E、F分别是等边三角形ABC三边上三点，且AD=BE=CF。试问：DEF是什么三角形？ABCDEF 练习三如图，P、Q是ABC的边BC上的两点，并PB=PQ=QC=AP=AQ，则BAC的大 小为_ABPQC 练习四练习与巩固练习与巩固1.下列说法中下列说法中,正确说法的个数为正确说法的个数为()(1)若等腰三角形有一个角等于若等腰三角形有一个角等于60,则这个三角则这个三角形为等边三角形形为等边三角形(2)等边三角形一定是等腰三角形等边三角形一定是等腰三角形,而等腰三角形而等腰三角形不一定是等边三角形不一定是等边三角形(3)有两个角是有两个角是60的三角
33、形一定是等三角形的三角形一定是等三角形(4)等边三角形中所有的中线、高、角平分线总条等边三角形中所有的中线、高、角平分线总条数是数是3条条A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个D2.如果一个三角形是轴对称图形如果一个三角形是轴对称图形,且有一个外角且有一个外角是是120,那么这个三角形是那么这个三角形是()A.直角三角形直角三角形B.等腰直角三角形等腰直角三角形C.正三角形正三角形D.含含30角的直角三角形角的直角三角形3.如图如图,ABC是等边三角形是等边三角形,且且1=2=3,则则D等于等于()A.90B.80 C.45D.60ABCDEF123CD我们这节课学习了哪些知识?谈谈你的体会.
