1、4.3.2 角的比较与运算第四章 图形初步认识4.3 角学习目标1.掌握角的大小的比较方法.(重点)2.理解角平分线和角的和、差、倍、分的意义及数量 关系，能够用几何语言进行相关表述，并能解答相 关问题.(重点、难点)3.会进行涉及度、分、秒的角度的计算.(重点、难点)有一天学生张亮和王帅各带了一把折扇(如图所示),下面是他们的一段对话:张:我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也大一些.王:我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些.导入新课导入新课情境引入同学们,你们有办法帮他们进行判断吗?ABCDEF怎样比较ABC和DEF的大小?线段长短的比较ABCDABCDAB=CD温故知新AB=BC+A
2、CBC=ABACAC=ABBC线段的和、差线段中点若点 C 是线段 AB 的中点，则AC=BCAC=BC=ABAB=2 AC=2 BC12讲授新课讲授新课角的比较与计算一 类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？1.度量法类比探究2.叠合法ABO(O)B(A)ABOABO想一想：你能用图形和几何语言说明两个角的大小关系吗？(两个角分别记作AOB，AOB)(O)B(A)AOBAOBAOB=AOBAOBAOB(O)(B)(A)图中有几个角？它们之间有什么关系？图中有3个角：AOC，AOB，BOC.AOC 是AOB 与BOC的和，记作AOC=AOB+BOC；它们的关系：AOB 是AOC与B
3、OC的差，记作AOB=AOCBOC；类似地，AOCAOB=.观察与思考BOCABOC练一练如图所示：(1)AOC是哪两个角的和？(2)AOB是哪两个角的差？(3)如果AOB=COD，则AOC与BOD 的大小关系如何？BAOCDAOC=AOB+BOC.AOB=AOC BOC=AODBOD.AOC=BOD.例1 如图，O 是直线 AB 上一点，AOC5317，求BOC 的度数.解：AOB 是平角，AOB AOC+BOC.BOCAOBAOC 1805317 179605317 12643.OCBA典例精析如何计算？可以向 180 借1，化为60.(2)如图，若AOB=60，BOC40，则 AOC (
4、1)如图，若AOC=35，BOC40，则 AOB 7520ABOCABOC图 图变式训练(3)若AOB 60，AOC 30，则BOC 90或30OB ACC提示：无图条件下要分情况讨论.如图，借助一副三角尺可以画出15和75的角，你还能画出哪些度数的角？试一试：7515例2 把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角(精确到分)？解：3607=51+37 =51+1807 5126.答：每份是5126的角.有余数，可以把度的余数化成分后再除（1）1203841；（2）6731+4849.解：原式=119603841 =8119.解：原式=(67+48)+(31+49)=11597 =11637.
5、变式训练计算方法总结：涉及到度、分、秒的角度的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60.练一练1.20308；2.10665.解：原式=(1065)+(65)=21+15 +(65)=21+(665)=21+13+15 =21+13+605=211312解：原式=208+308 =160240 =164角的平分线二互动探究B AOC 动手做一做：在纸上画AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.类比线段中点的定义，填空：AOC_COB;AOB=_AOC.=2 OC 是AOB 的角平分线
6、，AOC BOC AOB，AOB 2BOC 2AOC.一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.应用格式：OBAC21例3 如图，OB 是AOC 的平分线，OD 是COE的平分线.(1)如果AOC=80，那么BOC 是多少度？解：因为 OB 平分AOC，AOC=80，OABCDE所以BOC=AOC=80=40.1212(2)如果AOB=40，DOE=30，那么BOD 是多少度？解：因为 OB 平分AOC，所以 BOC=AOB=40.因为 OD 平分COE，所以COD=DOE=30，所以BOD=BOC+COD=40+30=70.OABCDE(3)如果AOE=
7、140，COD=30，那么AOB 是多少度？解：因为 COD=30，OD 平分COE，所以 COE=2COD=60，所以 AOC=AOECOE=14060=80.又因为 OB 平分AOC，OABCDE所以AOB=AOC=80=40.1212例4 如图，已知AOB=40，自O点引射线OC，若AOC：COB=2：3求OC与AOB的平分线所成的角的度数OAB解：分以下两种情况：设AOC=2x，COB=3x，AOB=40，2x+3x=40，得x=8，AOC=2x=28=16.OD平分AOB，AOD=20，COD=AOD-AOC=20-16=4 CD如图，OC在AOB内部，OD平分AOB，设AOC=2x
8、，COB=3x，AOB=40，3x-2x=40，得x=40，AOC=2x=240=80，OD平分AOB，AOD=20，COD=AOC+AOD=80+20=100OABCD如图，OC在AOB外部，OD平分AOB，OC与AOB的平分线所成的角的度数为4或100方法总结：涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题.1.如图：OC是AOB的平分线，OD是BOC的平 分线，那么下列各式中正确的是 ()12AB2313C D32CODAOCAODAOBBODAOBBOCAOBA做一做OABCD2.如图，OC是平角AOB的角平分线，COD=32，求AOD的度数.答
9、案：AOD=122.OABCD当堂练习当堂练习1.如图，AOB=COD=90，AOD=146，则 BOC=_.2.已知AOB=38，BOC=25，那么AOC 的度数是 .3413或63OABCD3.如图，AOB=170，AOC=BOD=90，求COD的度数答案：COD=10.OABCD(1)123656+452435；(2)7945+614849；(3)6224174；(4)102433.4.计算：答案：(1)58；(2)1413349；(3)249378；(4)341420.5.如图，已知AOC=60，BOD=90，AOB是DOC的3倍，求AOB的度数OADCB解：设COD=x，AOC=60
10、，BOD=90，AOD=60-x，AOB=90+60-x=150-x，AOB是DOC的3倍，150-x=3x，解得x=37.5，AOB=337.5=112.56.如图，AOB120，OD平分BOC，OE平分AOC.(1)求EOD的度数；解：AOB120，OD平分BOC，OE平分AOC，EODDOCEOC (BOCAOC)AOB 12060.121212(2)若BOC90，求AOE的度数解：AOB120，BOC90，AOC12090 30.OE平分AOC，AOE AOC 3015.1212课堂小结课堂小结角的比较角的平分线度量法叠合法角的运算加与减乘与除角的和差倍分关系角的计算一、情景引入二、合
11、作探究三、课堂小结四、课后作业提出问题知识要点典例精析巩固训练探究点一 角的比较与运算4.3.2 角的比较与运算学习目标学习目标1在现实情境中，运用类比的方法，学会比较两在现实情境中，运用类比的方法，学会比较两个角的大小，丰富对角的大小关系的认识，会分析个角的大小，丰富对角的大小关系的认识，会分析图中角的和差关系通过动手操作，学会借助三角图中角的和差关系通过动手操作，学会借助三角板拼出不同度数的角，板拼出不同度数的角，认识角的平分线及角的等认识角的平分线及角的等分线，会画角的平分线分线，会画角的平分线2进一步培养和提高识图能力和动手操作的能力，进一步培养和提高识图能力和动手操作的能力，认识类比
12、的数学思想方法认识类比的数学思想方法问题问题:你能比较图中三角形三条边你能比较图中三角形三条边AB、AC、Bc的长短吗？的长短吗？ABC一、情景导入首页你能比较图中三角形三个角你能比较图中三角形三个角A、B、C的大小吗？的大小吗？ABC二、合作探究探究点一 角的比较与运算 首页2.从从“形形”出发，利用线段移动叠合的方法出发，利用线段移动叠合的方法ABAC1.从从“数数”出发，通过度量长度进行数值大出发，通过度量长度进行数值大 小小比较。比较。首页4560AoBDEF所以所以:AOBDEF读数为读数为45读数为读数为60如如何何比比较较角角的的大大小小？首页EDED落在落在ABCABC的外部，
13、则的外部，则DEF DEF ABCABC。把把DEFDEF移动，使它的顶点移动，使它的顶点E E和和ABCABC的顶点的顶点B B重合，一重合，一边边EFEF和和BCBC重合，另一边重合，另一边EDED和和BABA落在落在BCBC的同旁。的同旁。ABCDEF（）（）比较比较ABC 和和 DEF的大小的大小首页（）（）（）例如：例如：EDED与与BABA重合，则重合，则DEF DEF ABCABC。把把DEFDEF移动，使它的顶点移动，使它的顶点E E和和ABCABC的顶点的顶点B B重合，一边重合，一边EFEF和和BCBC重合，另一边重合，另一边EDED和和BABA落在落在BCBC的同旁。的同
14、旁。ABCDEF比较比较ABC 和和 DEF的大小的大小首页例如：例如：EDED落在落在ABCABC的内部，则的内部，则DEF DEF ABC ABC 把把DEFDEF移动，使它的顶点移动，使它的顶点E E和和ABCABC的顶点的顶点B B重合，一边重合，一边EFEF和和BCBC重合，另一边重合，另一边EDED和和BABA落在落在BCBC的同旁。的同旁。ABCDEF（）（）比较比较ABC 和和 DEF的大小的大小首页1OAB2CBOA1BOOBC2顶点与一边重合顶点与一边重合角的和差角的和差首页1OAB2CBOA1BOOBC2 AOC为为 1 和和 2 的和的和 记作记作 AOC=1+2（）A
15、OC为为 1 和和 2 的差的差 记作记作 AOC=1 2（）顶点与一边重合顶点与一边重合角的和差角的和差首页OACB思考：思考：下图中共有几个角？下图中共有几个角？它们有什么关系？它们有什么关系？完成下列问题：1、图中共有个角，它们分别是2、AOB+3、AOC4、BOC3AOB AOC BOCAOC BOCAOB BOCAOB AOC首页2121BOACO 当当 1=2 时，射线时，射线OB把把 AOC分成两个相等的角分成两个相等的角，这时，这时OB叫做叫做 AOC 的平的平分线，也可以说分线，也可以说OB平分平分 AOC首页定义：一般地，从一个角的顶点出发，把这定义：一般地，从一个角的顶点
16、出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角角的平分线（的平分线（angular bisector）。知识要点首页例1 按图1填空：4 4）A0BA0BBOCBOC5 5）A0CA0CCODCOD6）B0DCOD7 7）A0DA0DA0BA0BODCBA图图1 1AOCAODBOCBOD1 1）D0B BOCD0B BOC2）C0B AOCC0B AOC3）D0CCOB B0D典例精析首页OCB例例2 如图：如图：O是直线是直线AB上一点，上一点，AOC5317求求BOC的度数的度数解：因为AOB是平角AOBAOC+BOC所以BOCAOBAOC 1805
17、317 12643A首页三、课堂小结1 1、比较两个角大小的方法、比较两个角大小的方法2 2、角的和、差、倍、分关系、角的和、差、倍、分关系3 3、角平分线、角平分线首页4.3.2角的比较与运算 ABAC线段的比较方法线段的比较方法1.从“数”出发，通过度量长度进行数值 大 小比较。2.从“形”出发，利用线段移动叠合的方法4560AoBDEF所以所以:AOBDEF读数为读数为45读数为读数为60如何比较角的大小？度量法EDED落在落在ABCABC的外部，则的外部，则DEF DEF ABCABC。把把DEFDEF移动，使它的顶点移动，使它的顶点E E和和ABCABC的顶点的顶点B B重合，重合，
18、一边一边EFEF和和BCBC重合，另一边重合，另一边EDED和和BABA落在落在BCBC的同旁。的同旁。ABCDEF（）（）叠合法叠合法 比较比较ABC 和和 DEF的大小的大小EDED落在落在ABCABC的内部，则的内部，则DEF DEF ABC ABC 把把DEFDEF移动，使它的顶点移动，使它的顶点E E和和ABCABC的顶点的顶点B B重合，一边重合，一边EFEF和和BCBC重合，另一边重合，另一边EDED和和BABA落在落在BCBC的同旁。的同旁。ABCDEF（）（）例：例：比较比较ABC 和和 DEF的大小的大小1OAB2CBOA1BOOBC2顶点与一边重合顶点与一边重合角的和差1
19、OAB2CBOA1BOOBC2 AOC为为 1 和和 2 的和的和 记作记作 AOC=1+2（）AOC为为 1 和和 2 的差的差 记作记作 AOC=1 2（）顶点与一边重合顶点与一边重合角的和差OACB思考：下图中共有几个角？它思考：下图中共有几个角？它们有什么关系？们有什么关系？完成下列问题：1、图中共有个角，它们分别是2、AOB+3、AOC4、BOC3AOB，AOC，BOCAOC BOCAOB BOCAOB AOC4 4）A0BA0BBOCBOC5 5）A0CA0CCODCOD6）B0DCOD7 7）A0DA0DA0BA0BODCBA图图1 1AOCAODBOCBOD1 1）D0B BO
20、CD0B BOC2）C0B AOCC0B AOC3）DOCCOB B0D练习练习1：75借助一副三角尺，大家都能画出哪些度借助一副三角尺，大家都能画出哪些度数的角？数的角？例例1 如图：如图：O是直线是直线AB上一上一点，点，AOC5317求求BOC的度数的度数解：AOB是平角，AOBAOC+BOC BOCAOBAOC 1805317 12643COBAABDC(1 )DAB=DAC+(2 )ACB=DCB CABDCA（3）ABC=ABD CBD（4）BDC=ADC BDA+ABDC1、根据左图完成（、根据左图完成（1）（）（2）根据右图完成（根据右图完成（3）（）（4）ABDCABDC21
21、BOACO 当当 1=2 时，射线时，射线OB把把 AOC分成两个相等的角分成两个相等的角这时这时OB叫做叫做 AOC 的平的平分线，也可以说分线，也可以说OB平分平分AOC定义：在角的内部，自顶点引一条射线把定义：在角的内部，自顶点引一条射线把 这个角分成这个角分成两个相等的角，那么，这条射线叫做两个相等的角，那么，这条射线叫做角的平分线角的平分线。练习：已知射线练习：已知射线OC是是AOB的角平分线，你能写出图中各的角平分线，你能写出图中各角的关系吗？角的关系吗？类似地：还有角的三等分线类似地：还有角的三等分线 如图如图OABCD123OB、OC是是AOD的三等分线的三等分线ABCDOABCDOABCDE把一个周角把一个周角7等分，每一份是多少度的角？等分，每一份是多少度的角？（精确到分精确到分）解：解：360751+3751+18075126答：每份中的角应该是答：每份中的角应该是 5126（精确到秒精确到秒）通过这堂课的学习，你有什么收获？通过这堂课的学习，你有什么收获？1 1、比较两个角大小的方法、比较两个角大小的方法2 2、角的和、差、倍、分关系、角的和、差、倍、分关系3 3、角平分线、角平分线计算计算:(1)4835+1745(2)15205=6620=7640(3)48181745=3033(4)36011
