1、概率论与数理统计教学课件7第七章_区间估计 具体具体:若估计参数为若估计参数为 ，要考虑估计量，要考虑估计量 落在落在 的可能性有多大。的可能性有多大。?)(P即求即求 ，若给定了可能的，若给定了可能的值，则就可以求出它的可能范围。值，则就可以求出它的可能范围。在估计湖中鱼数的问题中，若已知得到鱼数在估计湖中鱼数的问题中，若已知得到鱼数 N 的的极大似然估计极大似然估计为为1000条。而实际上条。而实际上N 的的真值可能大于真值可能大于1000条，也可能小于条，也可能小于1000条。条。则在则在区间估计中区间估计中就可以给出一个区间，在此就可以给出一个区间，在此区间内合理地相信区间内合理地相信
2、 N 的真值位于其中。这样的真值位于其中。这样对鱼数的估计就有把握多了对鱼数的估计就有把握多了.例如：例如：也就是说，所讨论的问题是希望确定一个区间，也就是说，所讨论的问题是希望确定一个区间，使得在使得在该区间该区间内能以比较高的内能以比较高的可靠程度可靠程度相信它相信它包含未知参数的真值。包含未知参数的真值。而这而这“可靠程度可靠程度”是用概率来度量的，称为是用概率来度量的，称为置信概率、置信度或置信水平置信概率、置信度或置信水平.习惯上把置信水平记作习惯上把置信水平记作 1 ，这里，这里 是一个是一个很小的正数。称很小的正数。称该区间该区间为为置信区间置信区间。湖中鱼数的真值湖中鱼数的真值
3、 一一.置信区间置信区间定义定义:设总体设总体 X 的分布函数的分布函数 含有一个未知参含有一个未知参数数 ,),(xF 和和12(,)nxxx 12(,)nxxx 满足满足:，()1P12,nXXX(01)对于给定的值对于给定的值，若由样本，若由样本确定的两个统计量：确定的两个统计量：(,)1是是 的置信度为的置信度为 的的置信区间置信区间，1 和和为置信度为为置信度为的双侧置信区间的的双侧置信区间的置信下限置信下限和和置信上限置信上限.1称为称为置信水平。置信水平。则称随机区间则称随机区间注注:定义的定义的含义含义是指是指:在反复抽样多次在反复抽样多次(各种得到的样各种得到的样本容量相等，
4、均为本容量相等，均为 n)，每个样本值确定一个区，每个样本值确定一个区间间 ，每个这样的区间要么包含，每个这样的区间要么包含 的真值，的真值，要么不包含要么不包含 的真值，按贝努力大数定理可知的真值，按贝努力大数定理可知在这么多的区间中包含在这么多的区间中包含 真值的约占真值的约占 不包含不包含 真值的仅占真值的仅占 (,)%1(100 100%对置信区间对置信区间 有两个要求：有两个要求：(,)大的可能被包含在该区间内，即要求：大的可能被包含在该区间内，即要求：一是要求一是要求 以很以很 P 尽可能大尽可能大.二是要求估计的精度要二是要求估计的精度要尽可能的高，即要求区间尽可能的高，即要求区
5、间 尽可能短。尽可能短。可靠度与精度是一对矛盾，可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高精度尽可能提高精度.一般地，寻求未知参数一般地，寻求未知参数 的置信区间的具体做法如下：的置信区间的具体做法如下：（1）寻求一个样本寻求一个样本 和和 的函数的函数12,nXXX 12(,;)nWW XXXq=，使得，使得W的的 分布不依懒于分布不依懒于 以及其他未知参数，称具有这种性质的函数以及其他未知参数，称具有这种性质的函数W为为枢轴量枢轴量。（2）对于给定的置信水平）对于给定的置信水平 ，定出两个常数，定出两个常数1a-a,b使得使得12(,;)1nP
6、aW XXXbqa=-若能从若能从 得到与之等价得到与之等价的的 的不等式的不等式 ，其中，其中12(,;)naW XXXbq qqq 50 的大样本。取大样本的的大样本。取大样本的目的目的是意在利用是意在利用中心极限定理，使其近似服从标准正态分布中心极限定理，使其近似服从标准正态分布.问题问题:设总体设总体 X 服从参数为服从参数为 p 的的(0-1)分布分布 不发生时不发生时当事件当事件发生时发生时当事件当事件AAX01且且(1),(0)1P XpP Xpq 第六节第六节 (0-1)分布参数的区间估计分布参数的区间估计 即即 X 的分布律为的分布律为:1()(;)(1)xxP Xxf x
7、ppp 0,1x 其中其中 p 为未知参数为未知参数解解:2(),()(1)E XpD Xpppq12,nXXX是一个大样本是一个大样本,所以由中心极限定理得所以由中心极限定理得:1(1)(1)niiXnpnXnpnppnpp (0,1)N求求:p 的置信水平为的置信水平为 的置信区间的置信区间.1 由已知，由已知，22()1(1)nXnpPzznppaaa-而不等式而不等式:aa-22(1)nXnpzznpp222222()(2)0zn pnXzpnX等价于等价于:记：记：211(4)2pbbaca 221(4)2pbbaca 即为二次方程即为二次方程的两个根的两个根其中：其中：22(),a
8、zn 22(2),bnXz 2cnX 12(,)pp得得 p 的近似的置信度为的近似的置信度为 的置信区间为的置信区间为:1 例例6.从一大批产品中任取从一大批产品中任取100件产品进行检验，发件产品进行检验，发现其中有现其中有 60 件是一级品。件是一级品。试求：这批产品的一级品率试求：这批产品的一级品率 p 的置信度为的置信度为 95%的置信区间的置信区间.解解:由题意可知：由题意可知：一级品率一级品率 p 是是(0-1)分布的参数分布的参数195%0.05 0.02521.96zz 查表得：查表得：600.6100X 100n 又又 （大样本），（大样本），222100(1.96)103
9、.84anz 222(2)(2 100 0.6(1.96)123.84bnXz 经计算得：经计算得：211(4)0.50202pbbaca 221(4)0.69062pbbaca 得一级品率得一级品率 p 的置信度为的置信度为 95%的置信区间的置信区间:(0.5020,0.6906)即用即用 作为一级品率作为一级品率 p 的估计值的可靠程度的估计值的可靠程度达到达到 95%的区间为的区间为 0.6X (0.5020,0.6906)前面介绍的置信区间中置信限都是双侧的，但在前面介绍的置信区间中置信限都是双侧的，但在有些实际问题，人们所关心的只是参数在一个方有些实际问题，人们所关心的只是参数在一
10、个方向的界限。向的界限。对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命长对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命长没什么问题，过短就有问题了没什么问题，过短就有问题了.这时，可将置信上限取为这时，可将置信上限取为+,而只着眼于置信下限而只着眼于置信下限,这样求得的置信区间称为这样求得的置信区间称为单侧置信区间单侧置信区间.第七节第七节 单侧置信区间单侧置信区间 问题的引出问题的引出例如例如，一一.单侧置信区间定义单侧置信区间定义定义定义:满足满足:()1P()1)P或或(01),nXXX21,给定给定 若由样本若由样本 确定确定1212(,)(,)nnXXXXXX或或的的则则称随机区间称随机区间:是是(
11、,)(,)或或 1的置信度为的置信度为 的的单侧置信区间。单侧置信区间。度为度为 单侧置信下限单侧置信下限（或称（或称 为为置信度为为置信度 1置信度为置信度为 的的单侧置信上限单侧置信上限)1称为置信称为置信 二二.单侧置信区间的求法单侧置信区间的求法同双侧量区间的求法同双侧量区间的求法例例7.思路思路:不同处：不同处：在求单侧置信区间时在求单侧置信区间时不是查双侧不是查双侧 分位分位点，而点，而是查单侧是查单侧 分位点。分位点。设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入设有某部门对所属区域的职工家庭人均月收入进行调查，现抽取进行调查，现抽取 20 个家庭，所得的月平均个家庭，所得的月平均收入
12、收入 （元），（元），21590.85s 234.7X 试以试以 95%的置信度估计该区域职工家庭人均月收的置信度估计该区域职工家庭人均月收 入的最低下限为多少？入的最低下限为多少？（单侧置信下限）（单侧置信下限）解解:用用 表示职工家庭人均月收入表示职工家庭人均月收入,表示测到的数表示测到的数值，它是一个正态随机变量。值，它是一个正态随机变量。X()E X 现要根据所抽取的现要根据所抽取的20 个家庭所得的月平均收入个家庭所得的月平均收入的数据，在方差未知的条件下求的数据，在方差未知的条件下求 的的单侧置信下限。单侧置信下限。由题设可知由题设可知 的置信度为的置信度为 的单侧置信下限的单侧置信下限 1 为：为：（即（即 ）(1)Xt nsn 1)1(ntnSXP7291.1)19()120()1(05.005.0 ttnt 即即:1)1(ntnSXP于是得到于是得到 的一个置信水平为的一个置信水平为 的单侧置信的单侧置信区间区间 1),1(ntnSX(1)sXtnn 即即:234.7X 得得:该区域职工家庭人均月收入的该区域职工家庭人均月收入的 最低下限为最低下限为219.3(元元).)(3.21943.157.2347291.192.87.234元元 1590.858.9220sn所求的所求的 的单侧置信下限为的单侧置信下限为:
