1、2020版金融计量学：时间序列分析视角(第三版)教学课件第10章第1节2 第第1010章章 向量自回归向量自回归(VAR)(VAR)模型模型 10.1 10.1 向量自回归模型介绍向量自回归模型介绍 10.2 VAR 10.2 VAR模型的估计与相关检验模型的估计与相关检验 10.3 10.3 格兰杰因果关系格兰杰因果关系 10.4 10.4 向量自回归模型与脉冲相应分析向量自回归模型与脉冲相应分析 10.5 VAR 10.5 VAR模型与方差分解模型与方差分解10.1 10.1 向量自回归模型介绍向量自回归模型介绍10.1.1 VAR10.1.1 VAR模型的基本概念模型的基本概念12,tt
2、ntyyy考虑一组变量定义L12,1,2,tttntyyYtTyLM1122(n 1)(VWN),()0()()0,tttptpttttttsYCYYYEEEst 代表维的向量白噪音满足L11,112,112 221,122 1VWN,()()()0()()ttttt tttttEEEEE 不是序列相关的。例如，在两变量的模型中212,()()ttpnpL YCLLLL 如果使用滞后算子 则L11,111111122,122221221111,1122,112211,1222,12(VAR),tttttttttttttttYCYyycyyccyycyy一个两变量模型的例子22112112222
3、122121112212211122122()()()()()10()0111ttttttttEEEEELLLLLLLLLL (1)(1)(1)11111,1122,11,1(2)(2)(2)111,1122,11,1()()()111,1122,11,1 tttnn tttnn tpppttnn ttycyyyyyyyyyLLLL111VARij（）高阶模型要使用很多的上标和下标。若用表示矩阵的第i行第j列的元素，则有10.1.2 VAR10.1.2 VAR模型的平稳性条件模型的平稳性条件0VAR()()()()()ttttt jjjtEYEYYEYYYj如果以下条件满足，则对应的模型为平稳
4、的:其中，定义的是 在第 期的自协方差矩阵。2121212VAR()0 0pnppppnpzzzz 对于一个模型，其平稳条件是的根落在单位圆外，其中表示行列式符号。同样地，平稳条件也可以表述为的根落在单位圆内。LL 为了深入地理解VAR模型的平稳性条件，为了考虑含有2个变量的简单VAR（1）模型：1,1112,12211.60.50.7ttttttyyyy1221210.6()00.51 0.7(1)(1 0.7)0.300.752.505/4,2nzzzzzzzzzzzzz 在上面给出的例子中，很明显第一个等式的自回归系数是1()，但是整个VAR(1)系统是平稳的！所以，整个VAR模型系统的
5、平稳与否，千万不能单凭某一个等式中的自回归系数判断，而是要考虑整个系统的平稳性条件。这是因为，在只考虑单个等式中的某个自回归系数时，却忽略了 和 之间的互动关系，整个VAR模型是一个互动的动态系统！1111ty2ty1,1112,1221212,0.90.10.10.810.90.1()00.210.8(10.9)(10.8)0.0201,10/7ttttttnyyyyzzzzzzzzzzz 另一个例子10.1.3 VAR(p)10.1.3 VAR(p)模型与模型与VAR(1)VAR(1)的转化的转化121121122()()()()pnptttpt ptCICYYYY 1(1)(np 1)t
6、ttttpYyyYy定义一个维的矩阵，即1231()0000000000000000ppnnnnnpnpFF再定义一个维的矩阵：00tttVV以及一个(np 1)的矩阵1(),()0,00000000ttttttsnp npE VVYFYVE VVts 其中并且：10.1.4 10.1.4 向量自协方差和向量自相关函向量自协方差和向量自相关函数数 112VAR(p)()().()jttjnpE YYIC 一个平稳的模型的向量自协方差的一般定义式可以写成：此外，11221122()()()()()()()()(),1jtt jtt jtt jpt pt jtt jjjpj pEYYEYYEYYE
7、YYEYj ()()()()jttjtjtjE YYE YY 011221122()()()()()()()()()()ttttttpt ptttppttEYYEYYEYYEYYEYEY 1122()()()()()0 00tttttttt ppt tEYEYEYEYE 011221 12 2pppp 用自协方差除以方差矩阵对应的对角线元素，就可以获得向量自相关函数VACF。10.1.5 VAR 10.1.5 VAR模型与模型与VMAVMA模型的转化模型的转化 VMA过程，就是用向量形式表示的移动平均过程，在这样的移动平均过程中，随机扰动项以向量白噪音的形式出现。所以，一个VMA(q)过程的定
8、义为：其中，表示常数向量，表示系数矩阵，仍然表示向量白噪音。1122ttttq t qYCCit1 1）VAR(1)VAR(1)模型的转化模型的转化12222120122()()()()()()()ntttntntntttit iinnL YCYLCLLCCLLL 因为2 2）VAR(VAR(p p)模型的转化模型的转化121211()tttnpttt st st st ssttYFYVFL YVYVFVF VF VFY 1122()1111()()1211(1)()()1111()()(),t st st st st sssttsstptpiiiiiYnYFYFYFYFFFFFi 这个向量系
9、统的前行可以写成：其中：表示矩阵的左上角的部分，而是矩阵 的 次幂。0,0 ()()stjtjtjtttFsFYLYYL 只要VAR(p)模型为平稳系统，就确保了矩阵 对应的特征根 都落在单位圆内，从而满足以下关系，即：，因此如果将 看成是减去均值 的形式，模型还可以写更为简洁的形式，即：关于VMA ，以下几点需要注意:第一，因为矩阵F是由VAR模型中的系数组成的，所以，是这些系数的非线性函数。第二，在VMA模型中，方程右侧只有向量白噪音过程（和均值 ）出现。这可以理解为，当滞后项 经过反复迭代之后都从VAR(p)中被替换掉了。()()LtjY10.2 VAR10.2 VAR模型的估计与相关检
10、验模型的估计与相关检验10.2 VAR10.2 VAR模型的估计与相关检验模型的估计与相关检验10.2.1 VAR10.2.1 VAR模型的估计方法模型的估计方法 虽然VAR模型系统比一维模型看上去复杂得多，但是用来估计VAR的方法却并不一定很繁难。常见的估计方法包括最大似然估计（Maximum Likelihood Estimator，MLE）和常见的最小二乘估计（OLS）。在特定条件下，MLE与OLS估计获得的系数是完全相同的。估计方法 （9.45）1122111111.(0,)(1):()()ln(2)()ln221()()2tttptpttTtttttTTttttttYCYYYii d
11、 NnTTMLEYXYXY XX X L:l（2）OLS估计 如果熟悉OLS估计的系数矩阵表达式，很容易看出，模型(10.45)就等于OLS估计的系数矩阵。将 的第j行明确地写出来，则为：（10.46）可以看出，模型(10.46)对应的正是利用OLS方法，对 进行回归得到的系数估计值。111()TTjttttttjY XX X jtYtX 10.2.2 VAR 10.2.2 VAR模型的设定模型的设定 1).1).使用平稳变量还是非平稳变量使用平稳变量还是非平稳变量 Sims,Stock,和 Watson(1990)提出，非平稳序列仍然可以放在VAR模型中，通过估计结果分析经济、金融含义。但是
12、，如果利用VAR模型分析实际问题时，使用非平稳序列变量，却会带来统计推断方面的麻烦，因为标准的统计检验和统计推断要求分析的所有序列必须都是平稳序列。作为指导性的原则，如果要分析不同变量之间可能存在的长期均衡关系，则可以直接选用非平稳序列；而如果分析的是短期的互动关系，则选用平稳序列，对于涉及到的非平稳序列，必须先进行差分或去除趋势使其转化成对应的平稳序列，然后包含在VAR模型中进行进一步分析。2).VAR 2).VAR模型中的变量选择模型中的变量选择 VAR模型中选择哪些变量来进行分析，一般来说没有确定性地严格规定。变量的选择需要根据经济、金融理论，同时还需要考虑手中的样本大小。3).VAR3
13、).VAR模型中滞后期的选择模型中滞后期的选择 22(a)2lnln()lnpnA ICTpnTSICT 信 息 准 则 b)b)似然比率检验法，即似然比率检验法，即Likelihood Ratio Likelihood Ratio (LR)(LR)检验检验 简单地说，LR检验法就是比较不同滞后期数对应的似然函数值。具体地说，考虑VAR 与VAR ，并且 。这样，分别估计对应的两个VAR系统，获得相应的 和 。LR检验统计量定义为：1()p2()p21pp1212lnlnT（）()实际应用中，首先需要给定一个最大的滞后期数，然后循环运用LR检验来判断最优滞后期数。正因为如此，有些计量软件的输出
14、结果会显示“sequential LR test”（循环LR检验）的字样，实际上就是循环地应用了以上介绍的LR检验过程。最大滞后期数的设定具有一定的主观性。但是，通常可以根据分析的数据的频率来确定。例如，对于月度数据，可以考虑12、18或者24期为最大滞后期数；对于季度数据，一般可以先给定一个最大的4或8期滞后期；对于年度数据，可以考虑2、3或者4为最大滞后期数。Final Prediction Error(FPE)Hannan-Quinn(HQ)很多情况下，不同的准则或检验统计量选择的最优滞后期数可能会不同。在这种情况下，我们可以根据“多数原则”，即超过半数以上的可用判断准则指向的那个滞后期数，很可能就是一个最优的选择。如果利用这个原则仍然无法判断，则可以对不同滞后期的VAR模型进行回归估计，然后考查结果是否对滞后期很敏感，不同滞后期对分析的问题的结论是否影响很大。这样的过程实际上就是所谓的稳健性检验过程。表表10-2 EViews VAR10-2 EViews VAR模型模型滞后期数的判断结果滞后期数的判断结果
