1、三、习题解答三、习题解答 1在一箱子中装有在一箱子中装有 12 只开关，其中只开关，其中 2 只是次品，在其只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样，放回抽样，（2）不放回抽样不放回抽样.我们定义随机变量我们定义随机变量 X、Y 如下：如下：品品，若第一次取得的是次，若第一次取得的是次若第一次取出的是正品若第一次取出的是正品1,0X 品品，若第二次取得的是次，若第二次取得的是次若第二次取出的是正品若第二次取出的是正品1,0Y 是是分分别别就就（1）、（2）两两种种情情况况，写写出出 X 和和 Y 的的联联合合分分布布律律.（1）解
2、解 放回抽样时放回抽样时 PX=0=5/6,PX=1=1/6,PY=0=5/6,PY=1=1/6 PX=i,Y=j=PY=j|X=iPX=i=PX=iPY=j i=0,1 j=0,1 X 和和 Y 的的联联合合分分布布律律为为 X Y 0 1 0 3625 365 1 365 361 （2）解）解 不放回抽样，不放回抽样，PX=0=5/6,PX=1=1/6,PY=0|X=0=119 PY=1|X=0=112 PY=0|X=1=1110 PY=1|X=1=111 且且 PX=i,Y=j=PY=j|X=iPX=i i=0,1 j=0,1 X 和和 Y 的联合分布律为的联合分布律为 XY 0 104
3、5/6610/66110/661/662将一枚硬币抛三次，以将一枚硬币抛三次，以 X 表示在三次中出现正面的表示在三次中出现正面的次数，以次数，以 Y 表示三次中出现正面次数与反面次数之差的绝表示三次中出现正面次数与反面次数之差的绝对值对值.试写出试写出 X 和和 Y 的联合分布律的联合分布律.解解 样本空间样本空间 S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT 其其中中 H 为为正正面面，T 为为反反面面.X 的的可可能能取取值值为为 0，1，2，3，Y 的的可可能能取取值值为为 1，3.显显然然 PX=0,Y=1=P0 PX=0,Y=3=PTTT=1/8 P(X=1,
4、Y=1)=PHTT,THT,TTH=3/8 P(X=1,Y=3)=P0 PX=2,Y=3=P0 PX=2,Y=1=PHHT,HTH,THH=3/8 PX=3,Y=1=P0 PX=3,Y=3=PHHH=1/8 X 和和 Y 的的联联合合分分布布律律为为 XY 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 03 1/8 0 0 1/83盒子里装有盒子里装有 3 只黑球，只黑球，2 只白球，只白球，2 只红球，在其中只红球，在其中任取任取 4 只球，以只球，以 X 表示取到黑球的只数，以表示取到黑球的只数，以 Y 表示取到红表示取到红球的只数球的只数.求求 X 和和 Y 的联合分布律的联合分布律.解解 X
5、 的可能取值为的可能取值为 0，1，3，Y 的可能取值为的可能取值为 0，1，2，样本点总数为，样本点总数为47C=35 PX=0,Y=0=P0 PX=0,Y=1=P0 PX=0,Y=2=35222203CCC=351 PX=1,Y=0=P0 PX=1,Y=1=35221213CCC=356 PX=2,Y=0=35220223CCC=353 PX=2,Y=1=35121223CCC=3512 PX=2,Y=2=35022223CCC=353 PX=3,Y=0=35120233CCC=352 PX=3,Y=1=35021233CCC=352 PX=3,Y=2=P0 X 与与 Y 的联合分布律为的
6、联合分布律为 X Y 0 1 2 3 0 0 0 3/35 2/35 1 0 6/35 12/35 2/35 2 1/35 6/35 3/35 0 4.设随机变量（设随机变量（X,Y）的概率密度为）的概率密度为 ，其他，其他，042,20),6(),(yxyxkYXf（1）确确定定常常数数；（2）求求X1,Y3；（3）求求 PX1.5;（4）求求 PX+Y4.解（解（1）由由1),(xdydyxf可知可知 2042811)6(kdxdyyxk（2）103283)6(813,1dxdyyxYXP （3）425.103227)6(815.1dxdyyxXP （4）4(4YXPYXP =424032
7、)6(81ydxdyyx 5.设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的概率密度为）的概率密度为 其它其它,0,),(22222RyxyxRcyxf(1)确定常数确定常数 c;用极坐标用极坐标 302031)(1RcrdrrRcdR 故故33Rc .解解(1)由由 1),(dxdyyxf 解解 R=2 时时,其它其它,04,283),(2222yxyxyxf (2)求求 R=2 时，二维随机变量（时，二维随机变量（X,Y）落在以原点为圆）落在以原点为圆心，心，r=1 为半径的园内的概率为半径的园内的概率.解解由由1,0,YiXPYiXPiXP，1,0 i 1,0,1,0 iiYXPiYXPiY
8、P 6.(1)求求第第 1 题题中随机变量（中随机变量（X,Y）的边缘分布律；）的边缘分布律；（2）求求第第 2 题题中随机变量（中随机变量（X,Y）的边缘分布律）的边缘分布律.可可知知，放放回回与与不不放放回回的的情情况况都都是是 X 0 1 6561 Y 0 1kp6561kp（2）由由 3,1,YiXPYiXPiXP，1,0 i ,30iYkXPiYPk ，3,1 i 可知边缘分布律为可知边缘分布律为 X 0 1 2 3 pk 1/8 3/8 3/8 1/8 Y 1 3 pk 6/8 2/8 7.设设随随机机变变量量（X,Y）的的概概率率密密度度为为 其它其它,00,10),2(8.4)
9、,(xyxxyyxf 求边缘概率密度求边缘概率密度.解解 dyyxfxfX),()(对对其它其它 x，有有 00)(dyxfX dxyxfyfY),()(对其它对其它 y，有，有 00)(dxyfY 8.设二维随机变量（设二维随机变量（X,Y）的概率密度为）的概率密度为 其它其它,00,),(yxeyxfy 求边缘概率密度求边缘概率密度.解解 dyyxfxfX),()(当当0 x时，时，xyxXedyexf )(对其它对其它 x，有，有 0)(,0),(xfyxfX dxyxfyfY),()(当当0 y时时，yyyYyedxeyf 0)(对对其其它它 y，有有 0)(yfY 9设设(X,Y)的
10、分布律如下的分布律如下 XY01234500 0.01 0.03 0.05 0.07 0.090.2510.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.080.2620.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.060 0.2530.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.050.240.03 0.08 0.16 0.21 0.24 0.281.00jp ip求求（1）X,Y 的边缘分布律的边缘分布律;（2）X=3 的条件下的条件下,Y 的条件分布律；的条件分布律；（3）Y=1 的条件下，的条件下，X 的条件分布律的条件分布律.解：（解：（1）X,Y 的边缘分布律见上表
11、的边缘分布律见上表.（2）3,33|XPkYXPXkYP，3,2,1,0 k 即即 K0123PY=k|X=35/21 5/21 5/21 6/21（3）与与（2）同理得同理得 K012345PX=k|Y=1 1/262/26 4/265/26 6/26 8/26求求 21XP.而而 Y 的概率密度为的概率密度为 其它其它,010),1(23)(2yyyfY 10设随机变量设随机变量 X 关于关于 Y 的条件概率密度为的条件概率密度为 其它其它,010,1,12)|(2|xxyyxyxfYX 解解 )()|(),(|yfyxfyxfYYX 其它其它,010,3xyx dyyxfxfX),()(
12、其它其它,010,3320 xxxdyx 873)(21212121 dxxdxxfXPX 即即 其其它它,01|,21)|(|xyxyfXY 同理可得同理可得 其它其它,0|,|11)|(|xyyyxfYX 解解 （1）其它其它,010,1)(xxfX 由于由于 X 和和 Y 相互独立，因此相互独立，因此 X 和和 Y 的联合概率密度为的联合概率密度为 其它其它,00,10,21)()(),(21yxeyfxfyxfYX（1）求求 X 和和 Y 的的联联合合概概率率密密度度；（2）设含有设含有 a 的二次方程为的二次方程为022 YXaa，试求，试求 a 有有实根的概率实根的概率.解解 方方
13、 程程022 YXaa有有 实实 根根 的的 充充 要要 条条 件件 为为0442 YX，即即YX 2，而而 其中其中0,0 是常数是常数.引入随机变量引入随机变量 YXYXZ,0,1 14.设设 X 和和 Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为度分别为 其它其它,00,)(xexfX 其它其它,00,)(yeyfY （1）求条件概率密度求条件概率密度)|(|yxfYX；解解 )()(),(yfxfyxfYX 其它其它,00,0,yxeyx 当当0 y时，时，其它其它,00,)(),()|(|xeyfyxfyxfYYX （2）求求 Z 的分布律和分布函
14、数的分布律和分布函数.1,110,0,0)(zzzzFZ 同理可得同理可得 0YXPZP 16.设设 X 和和 Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为度分别为 其它其它,010,1)(xxfX 其其它它,00,)(yeyfyY 求随机变量求随机变量 Z=X+Y 的概率密度的概率密度.解解 dxxzfxfzfYXZ)()()(zx1117.某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为度为 0,00,)(xxxexfx 设各周的需要量是独立的设各周的需要量是独立的.分别求两周、三周的需要量的概分别求两周、三周
15、的需要量的概率密度率密度.解解 设两周的需要量为设两周的需要量为 Z,第一、二周的需要量为第一、二周的需要量为 X 和和Y,则则 dxxzfxfzfYXZ)()()(由由xzx 0,0，得，得zx 0.当当0 z时，时，dxxzxedxexzxezfzzxzxzZ)()()(0)(0 !3633zezezz 设设 W 为三周的需要量，则为三周的需要量，则 XZW 当当0 z时，时，duuzfufzfXZW)()()(!5)(35)(30zedueuzeuzuzuz 当当0 z时，时，0)(zfW 18.设设21,XX相互独立且分别服从参数为相互独立且分别服从参数为 ,;,21的的 分布，即分布
16、，即21,XX的概率密度分别为的概率密度分别为 00,00)()()(11111 ，其它其它xexxfxX 00,00)()()(21222 ，其它其它yeyyfyX 试证明试证明21XX 服从参数为服从参数为 ,21 的的 分布分布.证明证明 dxxzfxfzfXXXX)()()(2121 dxexzexKxzxz)(110121)(dxxzxeKzx110121)(dtttezKz1110112121)1(zezK 1221 这里这里21,KK为与为与 z 无关的常数，故无关的常数，故21XX 服从参数为服从参数为 ,21 的的 分布分布.试求试求YXZ 的概率密度的概率密度.21设随机变
17、量（设随机变量（X,Y）的概率密度为）的概率密度为 其它其它,00,10,3),(xyxxyxf 解解 由由xyx 0,10得得 yzyyz 0,10 即即 zyz 10,0 dyyzdyyyzfzfzZ)(3),()(10 2)1(21)1(3zzz )1)(1(23 zz 0),1(232 zz 0,0)(zzfZ 22设设 X 与与 Y 相互独立且均服从（相互独立且均服从（0，a）上的均匀分）上的均匀分布，求布，求YXZ 的概率密度的概率密度.解解 其它其它,00,1)(axaxfX 其它其它,00,1)(ayaxfY dyyyfyzfzfYXZ|)()()(即即 1,2110,210,
18、0)(2zzzzzfZ 23设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从从)20,160(2N,随机地选取随机地选取 4 只，求其中没有一只寿命小于只，求其中没有一只寿命小于180 小时的概率小时的概率.4,3,2,1,180 iXPi 414)1801()180(XPXPi 4201601801 000634.0)8413.01()1(1(44 解解 设设4,3,2,1,iXi分别为四只电子管的寿命，则它们分别为四只电子管的寿命，则它们相互独立，且相互独立，且 4,3,2,1),20,160(2 iNXi 25.设设 X、Y 是相互独立的随机变量
19、，它们都服从参数是相互独立的随机变量，它们都服从参数为为 n,p 的二项分布的二项分布.证明证明 Z=X+Y服从参数为服从参数为 2n,p 的二项分的二项分布布.其中其中niYXii,2,1,服从相同的服从相同的)10(分布且相互独立分布且相互独立,它们它们等于等于 1 的概率为的概率为 p.而而 nnYYYXXXYXZ 2121 为为 2n 个相同的且相互独立的个相同的且相互独立的)10(分布的和，故分布的和，故 Zb(2n,p).解解 易见易见 X、Y 可表成可表成 nXXXX 21 nYYYY 21 27.设设),(YX具有概率密度具有概率密度 其它其它,01|,1|,41),(YXxyyxf 试证试证 X 与与 Y 不独立但不独立但 22YX 与与独立独立.证明证明 dyxydyyxfxfX41),()(11 11,21 x dxxydxyxfxfY41),()(11 11,21 x 故故)()(),(yfxfyxfYX，所以，所以YX与与不独立不独立.当当10,10 u时时 dxdyxyYuXPyux41,22,22 dxdyxyyuxu41 u udxdyxyuXPyuxu 41112 dxdyxyuYPyy41112 由此容易证明由此容易证明),(22YX的分布函数是的分布函数是22YX 与与的分布函数的分布函数的乘积，故的乘积，故22YX 与与独立独立.
