1、第六章第六章 套利定价理论（套利定价理论（APTAPT）第六章第六章 套利定价理论（套利定价理论（APTAPT）第一节第一节 套利定价模型套利定价模型第二节第二节 套利定价模型的进一步讨论套利定价模型的进一步讨论第一节第一节 套利定价模型套利定价模型套利是指利用一个或多个市场存在的各种价格差异，套利是指利用一个或多个市场存在的各种价格差异，在不冒风险或冒较小风险的情况下赚取较高收益率在不冒风险或冒较小风险的情况下赚取较高收益率的交易活动。的交易活动。套利是市场无效率的产物，而套利的结果则促使市套利是市场无效率的产物，而套利的结果则促使市场效率提高，使资产价格重新回归均衡，因此套利场效率提高，使
2、资产价格重新回归均衡，因此套利对市场的正面效应远超过负面效应。对市场的正面效应远超过负面效应。第一节第一节 套利定价模型套利定价模型套利是利用市场上资产价格暂时失衡的机会套利是利用市场上资产价格暂时失衡的机会,建建立数量相等的多头和空头头寸立数量相等的多头和空头头寸,获取无风险利润获取无风险利润的行为。的行为。因此一旦市场出现了套利机会套利者会尽可能建因此一旦市场出现了套利机会套利者会尽可能建立大额的套利头寸立大额的套利头寸,推动市场价格恢复均衡推动市场价格恢复均衡,迅速迅速消除套利机会消除套利机会,这正是套利定价理论的核心思想。这正是套利定价理论的核心思想。第一节第一节 套利定价模型套利定价
3、模型证券的收益率主要受一个或多个市场因子影响，证券的收益率主要受一个或多个市场因子影响，并且如同指数模型一样，并且如同指数模型一样，假设证券收益率与这些假设证券收益率与这些因子之间具有线性关系，然后利用无套利均衡分因子之间具有线性关系，然后利用无套利均衡分析方法确定这些市场因子及对证券收益率的影响。析方法确定这些市场因子及对证券收益率的影响。第一节第一节 套利定价模型套利定价模型 假设各证券收益率均受一个市场因子假设各证券收益率均受一个市场因子 影响，并且有影响，并且有线性结构，即对任意证券线性结构，即对任意证券 的收益率，有的收益率，有 其中其中:是影响各证券收益率的因子的收益率是影响各证券
4、收益率的因子的收益率;是因子是因子 收益率为零时证券收益率为零时证券 的预期的预期收益率收益率;是因子是因子 收益率变化对证券收益率变化对证券 收益率收益率的影响程度的影响程度;是证券是证券 的收益率为与因子的收益率为与因子 无关的无关的残差。残差。JI)1.6(,2,1,NJIAJrJJJIJAIIIJJJJJ第一节第一节 套利定价模型套利定价模型并假设有：并假设有：为记号简单，以下记为记号简单，以下记 ，可以是任意随机变可以是任意随机变量，量，于是如同单指数模型一样以得到证券于是如同单指数模型一样以得到证券J J的预期收益率的预期收益率为为 其中其中 表示因子的预期收益率。表示因子的预期收
5、益率。0)(JE（6.26.2）0)(KJE，不同证券的残差不相关（6.36.3）0)(IEJ,，证券J的残差与因子I不相关（6.46.4）()ZE ZZJJJrAI（6.56.5）I第一节第一节 套利定价模型套利定价模型证券证券J J的收益率的方差为的收益率的方差为 其中：其中：表示因子表示因子 的收益率的方差；的收益率的方差；表示残差表示残差 的方差。的方差。上式表明任意证券上式表明任意证券J J的风险可分解为因子风险的风险可分解为因子风险 和非和非因子风险因子风险 两部分。两部分。2222()()()JJJrI（6.66.6）2()I)(2JIJ22J)(2J第一节第一节 套利定价模型套
6、利定价模型在单因子模型下，证券和证券收益率的协方差为在单因子模型下，证券和证券收益率的协方差为 对证券组合，其预期收益率为对证券组合，其预期收益率为2cov(,)()JKJKJKr rI （6.8)6.8)1111()()nnXJJJ JJJnnJJJJXXJJrx E rx rx Ax BIAI（6.7)6.7)第一节第一节 套利定价模型套利定价模型证券组合的方差为证券组合的方差为其中其中2222211222()()()()()nnXJJJJJJXXrxIxI(6.9)(6.9).112221()()nXJJJnXJJJnXJJJAx Axx第一节第一节 套利定价模型套利定价模型根据套利定价
7、思想，根据套利定价思想，在出现套利机会时，投资者在出现套利机会时，投资者将构造套利组合，来增加已有投资组合的预期收益将构造套利组合，来增加已有投资组合的预期收益率。率。之所以称为套利组合，它应具有三个性质：之所以称为套利组合，它应具有三个性质：1 1、构造的套利组合应不增加投资者的投资；、构造的套利组合应不增加投资者的投资；2 2、套利组合无风险，即产生风险的因子对套利、套利组合无风险，即产生风险的因子对套利 组合的影响程度为零；组合的影响程度为零；3 3、套利组合的预期收益率非负。、套利组合的预期收益率非负。第一节第一节 套利定价模型套利定价模型如果用如果用 表示套利组合，则应满足的三个性质
8、可表示套利组合，则应满足的三个性质可以表示成以表示成 ),(1nxxX111(1)0,(2)0,0,nJJnJJnXJ JJxxrx r净增投资为0)无风险套利预期收益率非负（6.11)6.11)（6.10)6.10)（6.12)6.12)第一节第一节 套利定价模型套利定价模型投资者通过构造套利组合，买入收益率被低估的证投资者通过构造套利组合，买入收益率被低估的证券而卖出收益率被高估的证券。券而卖出收益率被高估的证券。从而使低估证券需求增加、从而使低估证券需求增加、价格上升，其收益率价格上升，其收益率回升；使高估证券供给增加、价格下降，其收益率回升；使高估证券供给增加、价格下降，其收益率回落，
9、直到各证券价格和收益率重新回归均衡，即回落，直到各证券价格和收益率重新回归均衡，即各证券收益率与其影响因子的收益率保持一种合理各证券收益率与其影响因子的收益率保持一种合理关系，套利活动也将终止。关系，套利活动也将终止。而此无套利均衡下证券收益率与其影响因子收益率而此无套利均衡下证券收益率与其影响因子收益率的关系正是下面所要推导的。的关系正是下面所要推导的。投资者套利的目标是使套利组合的预期收益率最大化投资者套利的目标是使套利组合的预期收益率最大化即寻求以下优化问题的解即寻求以下优化问题的解 :利用利用LagrangeLagrange乘数法乘数法 ，建立拉格朗日函数，建立拉格朗日函数nJJrJx
10、xrMax1nJJJxXnJJXts1010.nJnJnJJJxJxJrJxL11110第一节第一节 套利定价模型套利定价模型第一节第一节 套利定价模型套利定价模型要求要求L L的最大值，为此将其对的最大值，为此将其对 及及 求偏导数并令其求偏导数并令其等于零，得如下方程组等于零，得如下方程组从从(6.13)(6.13)可以求出使套利组合收益率最大的可以求出使套利组合收益率最大的 与与 的关的关系系 Jx01,0111010,1,0,0JJJnnkkkkkLrJnxLLxx JrJ01,1,JJrJn （6.136.13）（6.146.14）第一节第一节 套利定价模型套利定价模型注意到满足方程
11、组注意到满足方程组(6.13)(6.13)的套利组合其收益率为的套利组合其收益率为可见可见(6.14)(6.14)反映了无套利均衡条件下证券预期收益率反映了无套利均衡条件下证券预期收益率 与因子影响程度与因子影响程度 之间满足线性关系，此即单因子之间满足线性关系，此即单因子套利定价模型。套利定价模型。01110111()()0nnJxJ JJJJJnnJJJJJrx rxxx JrJ第一节第一节 套利定价模型套利定价模型(6.14)(6.14)不仅对单个证券成立，对证券组合不仅对单个证券成立，对证券组合 也成立，即也成立，即对证券组合对证券组合 ，仍有，仍有 如果某证券不满足如果某证券不满足(
12、6.14)(6.14)，投资者可以构造包含该证券的，投资者可以构造包含该证券的套利组合，使方程组套利组合，使方程组(6.13)(6.13)不成立，从而不成立，从而 ,套利成功套利成功将迫使证券需求、价格和收益率向均衡点方向调整。将迫使证券需求、价格和收益率向均衡点方向调整。PPPJr100Xr第一节第一节 套利定价模型套利定价模型以下讨论套利定价模型以下讨论套利定价模型(6.14)(6.14)中的常数中的常数 的含的含义义,对于无风险资产其收益率为无风险利率对于无风险资产其收益率为无风险利率 ,而而且它的收益率不受任何风险因子影响，因此对无风且它的收益率不受任何风险因子影响，因此对无风险资产险
13、资产 。将无风险资产代入模型。将无风险资产代入模型(6.14)(6.14)，则则有有于是于是 将其代入将其代入(6.14)(6.14)得得 01,Fr0F010FrFr01JFJrr 第一节第一节 套利定价模型套利定价模型为了考查为了考查 的含义，我们构造一个纯因子组合的含义，我们构造一个纯因子组合 ，其因子影响程度其因子影响程度 代入上式可得：代入上式可得：上式表明上式表明 是因子的风险溢价，即具有单位因子影是因子的风险溢价，即具有单位因子影响程度的证券组合能获得的超过无风险收益率的那响程度的证券组合能获得的超过无风险收益率的那部分预期收益率。由于纯因子组合有多种构造方法，部分预期收益率。由
14、于纯因子组合有多种构造方法，用它们构造的组合所推得用它们构造的组合所推得 的应该是相同的，因若的应该是相同的，因若不同，套利者便可以从中套利，因此因子风险报酬不同，套利者便可以从中套利，因此因子风险报酬是惟一的是惟一的 1P1PFPFPrrrr11,11第一节第一节 套利定价模型套利定价模型我们不妨以因子我们不妨以因子 作为纯因子组合的代表，于是可作为纯因子组合的代表，于是可以记以记于是于是(6.14)(6.14)的套利定价模型可以写成的套利定价模型可以写成 如果将市场投资组合作为纯因子，如果将市场投资组合作为纯因子，则套利定价模型则套利定价模型具有如下形式具有如下形式它与它与CAPMCAPM
15、形式完全一样，形式完全一样，但其导出过程和思想却完但其导出过程和思想却完全不同。全不同。IFrI 1()JFJFrrIr（6.156.15）)(FMJFJrrrr第一节第一节 套利定价模型套利定价模型多因子模型是假定各证券收益率都受多个市场因子影响，多因子模型是假定各证券收益率都受多个市场因子影响，并具有线性结构，即任意证券并具有线性结构，即任意证券 的收益率可表示为的收益率可表示为 个因个因子收益率的线性模型子收益率的线性模型其中：其中：JK1,1,KJJJiiJirAIJN1,(1,),kjJiiJiIIAJikIJJI是影响各证券收益率的因子(或称指数)的收益率是多因子收益率为0时证券
16、的预期收益率是因子 收益率变化对证券 收益率的影响程度是证券 的收益率与各因子 无关的残差第一节第一节 套利定价模型套利定价模型与单因子模型类似，这里要假设与单因子模型类似，这里要假设如同多指数模型，在各如同多指数模型，在各 不相关条件下可以得到证券不相关条件下可以得到证券 的预期收益率为的预期收益率为 ()0()0,()0,jJKJiEEEIJ 不同证券的残差不相关证券 的残差与每个因子不相关(6.17)(6.17)(6.18)(6.18)(6.19)(6.19)iIJ1KJJJiiirAI第一节第一节 套利定价模型套利定价模型证券证券 收益率的方差为收益率的方差为 证券和的收益率协方差为证
17、券和的收益率协方差为 J22221()()()KJJiiJirI 21cov(,)(),KJKJKJikiiir rIJK 第一节第一节 套利定价模型套利定价模型对于证券组合对于证券组合 ,有有其中其中:1(,)nXxx1122221()()()KXxxiixiKXxxiikXxiixirAIrAIrI 1KxJJiAx A1,1,nxiJJiJxik第一节第一节 套利定价模型套利定价模型而222221112221()()()()()()KnKXJJiiJJiJJkxiixirxIxI 第一节第一节 套利定价模型套利定价模型在套利定价思想下，投资者构造的套利组合满足的三个性在套利定价思想下，投
18、资者构造的套利组合满足的三个性质可以表示成质可以表示成1110,(0)0,1,()0()nJJnxiJJiJnJJ JJxxikrx r 净投资为无风险套利预期收益率非负(6.20)(6.20)(6.21)(6.21)(6.22)(6.22)第一节第一节 套利定价模型套利定价模型套利组合套利组合 是以下问题的解是以下问题的解XnJJJXrxr1max11.0,1,nJJnxiJJiJxstxiK第一节第一节 套利定价模型套利定价模型建立拉格朗日函数建立拉格朗日函数 将将 对对 及及 求偏导数并令其等求偏导数并令其等于零，得到方程组于零，得到方程组01111()nnknJ JJiJJiJJiJL
19、x rxxL,(1,)JxJn1,(1,)ik 011010,1,00,1,njiJijJnKKnkkikiLrJnXLxLxik (6.23)(6.23)第一节第一节 套利定价模型套利定价模型从中可以求出多因子模型下的套利定价模型从中可以求出多因子模型下的套利定价模型完全仿照单因子模型情形，完全仿照单因子模型情形，通过分别构造仅依赖一个因通过分别构造仅依赖一个因子的纯因子组合，还可以将上述模型写成子的纯因子组合，还可以将上述模型写成 其中其中 是是 因子因子 的风险报酬的风险报酬,即使即使 的单的单因子证券组合能获得超过无风险收益率因子证券组合能获得超过无风险收益率 的那部分的那部分超额收益
20、率。超额收益率。01KJiJiir 1()kJFJiiFirrIriiFIriiI1JiFr第一节第一节 套利定价模型套利定价模型例例6.16.1证券市场有三个证券其收益率分别记为证券市场有三个证券其收益率分别记为 ，经验表明，它们受两个市场因子经验表明，它们受两个市场因子 的影响，下表给的影响，下表给出了这三个证券收益率及其与市场因子收益率影响程出了这三个证券收益率及其与市场因子收益率影响程度的因子度的因子 的客观统计估计值：的客观统计估计值：以及以及 ，如果无风险收益率为，如果无风险收益率为123,r r r12,I I12,1,2,3iii 证券 的收益率 r1 11%0.5 2.0 r
21、2 25%1.0 1.5 r3 23%1.5 1.0 i()iE r1 i2i()20%,()8%iiE IE I10%fr第一节第一节 套利定价模型套利定价模型由由APTAPT模型，这三个证券的期望收益率为模型，这三个证券的期望收益率为将将APTAPT给出的期望收益率与证券的客观收益率比较，我们给出的期望收益率与证券的客观收益率比较，我们发现证券发现证券1 1和证券和证券3 3的客观估计值的期望收益率与无套利条的客观估计值的期望收益率与无套利条件下的期望收益率相同，因此交易这两种证券无套利而言。件下的期望收益率相同，因此交易这两种证券无套利而言。而证券而证券2 2却不同，即却不同，即 所以通
22、过卖出适当比例所以通过卖出适当比例的证券的证券1 1和证券和证券3 3，并投资于证券，并投资于证券2 2可以构成套利组合。可以构成套利组合。123()0.10+0.20-0.10 0.5+0.08-0.10 2.0=11%()0.10+0.20-0.10 1.0+0.08-0.10 1.5=17%()0.10+0.20-0.10 1.5+0.08-0.10 1.0=23%E rE rE r2()25%17%E r第一节第一节 套利定价模型套利定价模型设证券组合的权重为设证券组合的权重为 ,根据套利组合的定根据套利组合的定义：义：由此解得由此解得此证券组合的存在着套利机会，套利收益率为此证券组合
23、的存在着套利机会，套利收益率为 123(,)x x x012301 12 213 3101 122 223 32xxxxxxxxx123121,333xxx 11(11%)(25%)(23%)5.33%3332返回第二节第二节 套利定价理论的进一步讨论套利定价理论的进一步讨论当取因子为市场投资组合时当取因子为市场投资组合时,APT,APT与与CAPMCAPM有相同结果有相同结果,即即APTAPT的定价模型恰好是的定价模型恰好是CAPMCAPM中的证券市场线中的证券市场线,二者二者是一致的。是一致的。但这并不意味着但这并不意味着CAPMCAPM模型是多因子模型是多因子APTAPT模型的特殊模型的
24、特殊(单因子单因子)情形情形,实际上默顿于实际上默顿于19751975年和布雷顿于年和布雷顿于19791979年都讨论过年都讨论过CAPMCAPM的多因素模型。的多因素模型。第二节第二节 套利定价理论的进一步讨论套利定价理论的进一步讨论在在APTAPT单因子模型中，如果选择的因子单因子模型中，如果选择的因子 并非市场投并非市场投资组合而得到单因子资组合而得到单因子APTAPT模型模型:而而CAPMCAPM得到的单因子模型得到的单因子模型(证券市场线证券市场线)为为:这两个模型并不一致，但如果因子这两个模型并不一致，但如果因子 与市场投资组与市场投资组合的收益率完全相关且同方差，则可以得出合的收
25、益率完全相关且同方差，则可以得出 ，这时可以以这时可以以 因子替代市场投资组合，例如某一市因子替代市场投资组合，例如某一市场指数与市场投资组合收益率完全相关且同方差，场指数与市场投资组合收益率完全相关且同方差，则可以用该指数代替市场投资组合则可以用该指数代替市场投资组合。I()JFJIFrrbIr)(FMJFJrrrrIJJbI第二节第二节 套利定价理论的进一步讨论套利定价理论的进一步讨论两者最大区别在于虽然模型的线性形式相同，两者最大区别在于虽然模型的线性形式相同，但建模思想不同。但建模思想不同。CAPMCAPM模型是建立在市场均衡的基础上，以市场模型是建立在市场均衡的基础上，以市场投资组合
26、存在为前提。投资组合存在为前提。第二节第二节 套利定价理论的进一步讨论套利定价理论的进一步讨论CAPMCAPM模型假定投资者对市场中证券的收益率有相同模型假定投资者对市场中证券的收益率有相同的认识，即有相同的分布、均值、方差，只是各自的认识，即有相同的分布、均值、方差，只是各自的风险偏好不同，从而可以建立起最小方差集合、的风险偏好不同，从而可以建立起最小方差集合、有效集合有效集合;每个投资者都建立有效的投资组合以分散非系统风每个投资者都建立有效的投资组合以分散非系统风险，并根据自己对风险的偏好在存在无风险利率时，险，并根据自己对风险的偏好在存在无风险利率时，建立无风险资产与市场投资组合的投资组
27、合建立无风险资产与市场投资组合的投资组合在不存在无风险利率时，建立零在不存在无风险利率时，建立零 资产与市场投资资产与市场投资组合的投资组合，这导出每个证券的收益率与其风组合的投资组合，这导出每个证券的收益率与其风险系数险系数 具有线性关系具有线性关系第二节第二节 套利定价理论的进一步讨论套利定价理论的进一步讨论APTAPT模型是建立在无套利均衡分析基础上，它的出发模型是建立在无套利均衡分析基础上，它的出发点是通过少数投资者构造大额无风险套利头寸，迫点是通过少数投资者构造大额无风险套利头寸，迫使市场重建均衡，以消除市场无风险套利机会，导使市场重建均衡，以消除市场无风险套利机会，导出单个证券收益
28、率与其影响因子出单个证券收益率与其影响因子 的影响程度之间的影响程度之间的线性关系。的线性关系。因此因此APTAPT理论并不需理论并不需CAPMCAPM那么多关于市场的假设条件，那么多关于市场的假设条件，也不需要也不需要CAPMCAPM中关于证券收益率分布的假设，但中关于证券收益率分布的假设，但APTAPT模型中关于证券收益率的线性生成结构假设却是模型中关于证券收益率的线性生成结构假设却是CAPMCAPM模型所没有要求的。模型所没有要求的。第二节第二节 套利定价理论的进一步讨论套利定价理论的进一步讨论APTAPT对对CAPMCAPM提出的直接挑战是提出的直接挑战是CAPMCAPM无法进行检验，
29、无法进行检验，其根源在于其根源在于CAPMCAPM中的市场投资组合包括的资产范中的市场投资组合包括的资产范围太广，以致于无法通过观测取得其收益率，在围太广，以致于无法通过观测取得其收益率，在模型的应用中，常以某些市场综合指数近似代替模型的应用中，常以某些市场综合指数近似代替市场投资组合，这样既使市场综合指数的收益率市场投资组合，这样既使市场综合指数的收益率可以观测，其对模型的检验也很难对可以观测，其对模型的检验也很难对CAPMCAPM模型给模型给出肯定或否定的结论。出肯定或否定的结论。第二节第二节 套利定价理论的进一步讨论套利定价理论的进一步讨论而而APTAPT模型的检验取决于因子的选择，模型
30、的检验取决于因子的选择，通常在通常在APTAPT模型中模型中选取的因子可以分为三类：选取的因子可以分为三类：第一类即宏观经济因子，如第一类即宏观经济因子，如GDPGDP、通货膨胀率、利率、工、通货膨胀率、利率、工业生产指数等；业生产指数等；第二类是微观因子，如盈利增长率、股利增长率等；、第二类是微观因子，如盈利增长率、股利增长率等；、第三类即市场因子，如一些市场指数或有关的第三类即市场因子，如一些市场指数或有关的 因子等。因子等。只要选择的因子收益率可以观测，只要选择的因子收益率可以观测，则相应地可以建立则相应地可以建立APTAPT的检验。的检验。第二节第二节 套利定价理论的进一步讨论套利定价理论的进一步讨论最后要注意，套利定价模型没有指出证券的收益率最后要注意，套利定价模型没有指出证券的收益率生成结构中应包括几个因子，也没有规定这些因子生成结构中应包括几个因子，也没有规定这些因子是什么，因此建立是什么，因此建立APTAPT模型，依赖于投资者的经验模型，依赖于投资者的经验与判断力去选择因子，通常因子个数由因子分析方与判断力去选择因子，通常因子个数由因子分析方法检验认为取法检验认为取3-53-5个为最好。个为最好。感谢下感谢下载载
