1、用配方法推导一元二次方程的求根公式用配方法推导一元二次方程的求根公式课堂教学设计说明课堂教学设计说明 沈阳市第七中学沈阳市第七中学 韩丽坤韩丽坤 一、教学内容解析 2011 版课标指出：理解配方法、能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元 二次方程； 能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等； 了解一 元二次方程根与系数的关系。 一元二次方程的解法具有多样性和复杂性， 需要针对不同的问 题，选择不同的方法，简洁有效地完成方程的求解，这对培养学生数学思维的合理性、深刻 性和灵活性，都具有重要的作用。 我认为引导学生自主推导一元二次方程求根公式是十分必要的， 因为所有的
2、一元二次方 程都可以用配方法求解，所以这是一个通法，有规律可循如果我们不抽象、概括出一个数 学模型，那么每次都要做重复性的工作。抽象、概括正是数学学习留给学生的数学思维品质 和方法求根公式的推导运用了配方法，其基本思想是降次，通过配方法转化为可直接开平 方的形式，推导过程中还涉及分类讨论、化归的数学思想。另外推导求根公式的教育价值也 是突出的。 在本课教学设计中我将教学内容定位为运用从一般到特殊的研究问题的方法， 引导学生 类比于数字系数的一元二次方程自主探索一元二次方程的求根公式。 在对公式进行推导时加 强推理的严谨性， 发展学生的逻辑思维能力同时注重学生对基本数学思想分类讨论、 化 归的思
3、想的理解。 基于教学内容特殊的地位和作用， 本节课的教学重点确定为： 一元二次方程求根公式的 推导及其简单运用。 二、教学目标设置 对教学内容的重新整合和思考，我将本节课的教学目标设置为： 1.利用配方法解一元二次方程为基础， 推导并掌握一元二次方程的求根公式。 会运用求 根公式进行求解一元二次方程简单的计算。 2.经历由配方法推导求根公式公式的推导、表述的过程，体验“从特殊到一般”的研究 问题的方法，体会转化、分类、类比的数学思想。 3.培养学生数学推理的严密性和逻辑性以及主动探究的精神与积极参与的意识。 感受公 式的对称美、简洁美。让学生敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识
4、解 决问题的成功体验， 有学好数学的自信心； 并能培养学生良好的个性品质， 包括“大胆猜想， 勇于探索，合理表达”的创新精神。 三、教学问题诊断分析 1.对于 ax 2+bx+c=0（a 0)配方法配成 或者 acbbax4）2（ 22 的形式,在的形式中需要先将二次项的系数化为 1 后，再继续配方。 而 acbbax4）2（ 22 则需要先将一般式两边先乘以 4 后，再进行配方。这里体现了 配方的形式不唯一性，但是解相同。也就是说，一般式不同的方程解可以相同。此处注意引 导学生思考问题的全面性和灵活性，培养学生的发散思维。 2.在开平方得时非负数开方时的双解问题， 对于 刚入九年级的学生来说
5、是一个易错点 ，尤其是加以分类讨论学生们就更是含混不清了，注 意区分平方根与算术平方根。而此题中的绝对值外加正负号，由 a 的正负，结果共有四种情 况，综合后有两种相同的结果。强调理解的来历，必要时提示学生，易于学生的理解。 3.或 acbbax4）2（ 22 ，在开平方时不分类讨论。对于九 年级的学生来讲，用数字的时候还是多余字母，尽管他们在七年级学习了代数式，但是思想 中，还是把数理解为小学时根深蒂固的正整数，对于分数能理解的好一点，对于负数总是他 们思维的一个截点，难于跨越。运用开方时，学生们总会理所当然的认为被开方数是正数， 此时要一道更正孩子们的做法。 4.在求根公式进行深入理解时，
6、学生考虑不全面。 分步骤运用公式法 （1）首先确定 a，b，c 的值 。是指要求化成一般式后再确定。但一般是不唯一，常用 较为简洁的形式。它向我们展现了数学的简洁美。 （2）计算 acb4 2 ， 由此判断方程是否有根。 （3）当有根时，运用求根公式求解，有根一定是两个，相同或者不同的 两个根；无根时，直接写此方程无解。 综上所述，确定本节课的教学难点是公式的推导。 四、教学支持条件分析 1. 教学方法的选择 本节课我将采用“启发探究式”及“合作交流学习”的教学方法，由初中学生的心理 特点确定自主探索式的学习方式。 2. 教学情境的设计 一元二次方程公式的推导是通过配方的方式， 所以本节课的导
7、入情景是设计了用配方法 解方程。所出示的题目用配方法解起来较为复杂，进而给学生抛出问题，有没有更简单的方 法解这样的方程，导入新课。 3. 教学中的问题设计 从直接开平方解一元二次方程出发，先提问形如 ax 2 的方程，解是什么情况的。又 提问配方法解方程的步骤， 最后追问你是否能用配方法求解的 根？ 4. 教具的设计和使用：计算机、投影。 五、教学过程设计 （一）创设情境，引入新课 问题 1. 你能快速说出方程的解吗？ 问题 2.用配方法解下面的方程： （1）6x 2- 7x+1=0 （2）2x 2- 4x+3=0 问题 3.通过解上述两方程，你觉得配方法有哪些优势和不足？你发现了哪些问题？
8、 设计意图设计意图 1. 复习用配方法解数字系数的一元二次方程的相关知识，这为后续公式的分类讨论打 下基础，同时引导学生经历总结归纳的过程。 2. 与公式法有实质性联系的内容是前一节所学的配方法，教师以此为新知识生长点呈 现练习题： 用配方法解上述两方程， 既激活了学生头脑中与新知识密切相关的已有知识经验， 3x3( 0x (2) 31x1 2 2 2 ） ）（ )0(0 2 acbxax 又巩固了配方法。 使学生认识到每一个数字系数的一元二次方程都可用配方法来求解， 并且 用配方法解具体一元二次方程的思路及步骤都相同， 同时体验到配方法的局限性， 即形如 （1） 的一元二次方程，一次项系数不
9、是 2 的倍数或数字较大时配方运算较繁琐、用起来不方便。 方程（2）配方后完全平方式为负数，原方程无实数根却花费时间配方，由此产生疑难和困 惑，感悟到具体的配方法已经不够用了。 （二）交流对话，探索新知 1.公式的推导与发现 问题 3.能否有更简便和更一般的方法求一元二次方程的根？ 问题 4.对一般形式的一元二次方程如何配方？你打算如何思考？能否类比前面的研究 方法？请用配方法自主探索一元二次方程的求根公式。 师生活动：学生自主探究，尝试推导。两名学生板演，教师巡视。 设计意图设计意图 1.在使学生体验到一般形式配方必要性的基础上，类比数字系数的一元二次方程的配 方法，引导学生对一般形式进行配
10、方； 2.在学生未考虑判别式的符号直创设教学情境，引发数学命题学习的需求得到求根公 式时，教师运用启发性提示语给予暗示，从而形成恰当程度的认知冲突，使学生产生了新的 疑难和困惑，引发其深层思维和探索兴趣，并认识到对 b2- 4ac 需要进行分类讨论。同时使 求根公式由潜在发展水平转化为学生的现有发展水平， 又为一元二次方程根的判别式与根的 关系这一新的潜在发展水平做了铺垫，使学生进入新的最近发展区。 2.公式的理解 问题 5.观察公式你有哪些发现，从数学的角度谈一谈？对今后解一元二次方程有什么 帮助? 师生活动：学生讨论交流，教师适时点拨。 设计意图设计意图 通过讨论加深对求根公式的理解，一元
11、二次方程 )0(0 2 acbxax 的根由方程的系 数 a，b，c 确定，同时让学生进一步感受到数学公式、方法的简洁美和统一美。理解一元 二次方程求根公式中各字母代表的意义及条件， 把握公式的结构特征， 突出数学问题的本质。 （三）应用新知，体验公式 1.试一试 用求根公式解前面的方程：6x 2- 7x+1=0. 设计意图设计意图 回到情境中的练习，运用求根公式解方程 6x2- 7x+1=0，使学生体会到求根公式的优越 性，感悟科学的研究方法是发现问题、提出问题和解决问题。 2.解一解 （1）6y 2+13y+6=0 （2）5x+2=3x 2 （3）x(x- 2)=5- 8x 思考： 由以上
12、解方程的过程，你能总结一下使用公式法解方程的步骤吗？ 设计意图设计意图 1.使学生进一步体味求根公式的实质，并归纳用求根公式解一元二次方程的基本思路， 即先化简为一元二次方程的标准形式再运用求根公式。 2.概括出在用求根公式解一元二次方程时可先确定判别式的值再代入求根公式，从而丰 富和优化学生的认知结构。. （四）梳理小结，盘点收获 （1）回顾公式的探究推导过程，我们经历了怎样的思考过程？ （2）公式法的优点是什么？ （3）使用这个公式的步骤有哪些？ 建立开平方法、 配方法与求根公式法的内在联系， 使学生感悟化归思想和分类讨论思想。 求根公式法 配方法 开平方法 用公式时先考虑判别式的符号 化
13、归的目标为降次 设计意图设计意图 引导学生建立知识之间的内在联系，概括本节课的核心知识及运用的数学思 想和研究方法，旨在使学生生成组织良好的数学认知结构网络。 （五）延伸思考，提升层次 编一编 请每组尝试编出一两个一元二次方程， 并探讨它的解法， 然后大家评价一下看谁编出的 题更具有数学味道，具有数学思维价值。 （六）推荐作业，巩固拓展 （1）基本作业：从课本习题中自选取6道题求解。 （2）开放作业：选取一种方法练习推导求根公式。 六、目标检测设计 本节课我设计了两个层次的进行目标检测， 第一层次：解方程（1）6y 2+13y+6=0（2）5x+2=3x2 （3）x(x- 2)=5- 8x 设
14、计意图设计意图 强化学生运用公式法解一元二次方程。 提示学生方程的未知数不一定都是 x,这里的未知 数就变成了 y.同时运用公式法就要知道 a,b,c 的值，对于不是一般形式的一元二次方程要转 化成一般形式的一元二次方程，从而确定 a,b,c 的值。同时强化学生运用公式进行计算的能 力，并注意书写的规范性。 本组三道题是通过小组竞赛的方式进行的， 这样的设计既激发了学生的学习兴趣， 又巩 固当堂所学，课堂效果很好。 第二层次：编一编 请每组尝试编出一两个一元二次方程， 并探讨它的解法， 然后大家评价一下看谁编出的 题更具有数学味道，具有数学思维价值。 设计意图设计意图 师生共同编题，使用了有效的激励手段，有的题目可以用多种方法来解，本活动具有归 纳总结、承上启下的作用。
