1、随机前沿生产函数随机前沿生产函数一、引言一、引言 生产率和效率的度量涉及到生产函数。生产率和效率的度量涉及到生产函数。DEA方方法的特点是将有效的生产单位连接起来，用分段法的特点是将有效的生产单位连接起来，用分段超平面的组合也就是生产前沿面来紧紧包络全部超平面的组合也就是生产前沿面来紧紧包络全部观测点，是一种确定性前沿方法，没有考虑随机观测点，是一种确定性前沿方法，没有考虑随机因素对生产率和效率的影响。随机前沿生产函数因素对生产率和效率的影响。随机前沿生产函数则解决了这个问题。则解决了这个问题。前沿生产函数(Frontier Prodution Function)反映了在具体的技术条件和给定生
2、产要素的组合下,企业各投入组合与最大产出量之间的函数关系。通过比较各企业实际产出与理想最优产出之间的差距可以反映出企业的综合效率。传统的生产函数只反映样本各投入因素与平均产出之间的关系,称之为平均生产函数。但是1957 年,Farrell 在研究生产有效性问题时开创性地提出了前沿生产函数(Frontier Prodution Function)的概念。对既定的投入因素进行最佳组合,计算所能达到的最优产出,类似于经济学中所说的“帕累托最优”,我们称之为前沿面。前沿面是一个理想的状态,现实中企业很难达到这一状态。前沿生产函数的研究方法有:参数方法和非参方法。两者都可以用来测量效率水平。参数方法沿袭
3、了传统生产函数的估计思想,主要运用最小二乘法或极大似然估计法进行计算。参数方法首先确定或自行构造一个具体的函数形式,然后基于该函数形式对函数中各参数进行计算;而非参数方法首先根据投入和产出,构造出一个包含所有生产方式的最小生产可能性集合,其中非参数方法的有效性是指以一定的投入生产出最大产出,或以最小的投入生产出一定的产出。这里所说的非参数方法是结合DEA(Data 数据包络分析)来进计算的。但非参数方法存在的最大局限是:该方法主要运用线性规划方法进行计算,而不像参数方法有统计检验数作为样本拟合度和统计性质的参考;另外,非参数方法对观测数有一定的限制,有时不得不舍弃一些样本值,这样就影响了观测结
4、果的稳定性。因此,我们在这里选择参数方法进行前沿生产函数的计算。在参数型前沿生产函数的研究中,围绕误差项的确立,又分为随机性和确定性两种方法。首先,确定性前沿生产函数不考虑随机因素的影响,直接 直接采用线性规划方法计算前沿面,确定性前沿生产函数把影响最优产出和平均产出的全部误差统归入单侧的一个误差项中,并将其称为生产非效率;随机前沿生产函数(Stochastic Frontier ProductionFunction)在确定性生产函数的基础上提出了具有复合扰动项的随机边界模型。其主要思想为随机扰动项应由v 和u 组成,其中v 是随机误差项,是企业不能控制的影响因素,具有随机性,用以计算系统非效
5、率;u是技术损失误差项,是企业可以控制的影响因素,可用来计算技术非效率。很明显,参数型随机前沿生产函数体现了样本的统计特性,也反映了样本计算的真实性二、确定性前沿生产函数二、确定性前沿生产函数 测算全要素生产率的传统方法是索洛余值法(SRA),其关键是假定所有生产者都能实现最优的生产效率,从而将产出增长中要素投入贡献以外的部分全部归结为技术进步(technologicalprogress)的结果,这部分索洛剩余后来被称为全要素生产率(李京文等1998)。然而,SRA 法的理论假设不完全符合现实,因为现实经济中大部分生产者不能达到投入产出关系的技术边界(Farrell,1957)。基于这一思想,
6、Aigner 和Chu(1968)提出了前沿生产函数模型,将生产者效率分解为技术前(technological frontier)和技术效(technical efficiency)两个部分,前者刻画所有生产者投入产出函数的边界(frontier of the production function);后者描述个别生产者实际技术与技术前沿的差距。确定性前沿生产函数模型如下：Y()e x p()fXu 其中其中u大于等于大于等于0，因而，因而exp(-u)介于介于0和之间，和之间，反映了生产函数的非效率程度，也就是实际产出与反映了生产函数的非效率程度，也就是实际产出与最大产出的距离。在确定了生产
7、函数的具体形式后，最大产出的距离。在确定了生产函数的具体形式后，可以计算或估计其参数，如下所述。可以计算或估计其参数，如下所述。假如假如N个公司，每个公司使用个公司，每个公司使用K种投入组成的种投入组成的投入向量投入向量 来生产出单一产出来生产出单一产出 ，生产函数，生产函数采用采用C-D形式：形式：（1）ixiy,()iiLn yxu1,2,iN (1)式中 是产出的自然对数；是K+1维行向量，其中一个元素是1，其余K个元素K种投入数量的自然对数.是待估计的K+1维列向量；是非负的随机变量，用来度量技术的有效性：（2）()iLn y01(,)K iuexp()exp()exp()exp()i
8、iiiiiiTEyxxuxuix 是一种产出导向的效率度量，其值介于是一种产出导向的效率度量，其值介于0和和1之间，它是观察到的产出之间，它是观察到的产出 与使用同样投入并与使用同样投入并且由技术有效的公司生产的且由技术有效的公司生产的 之比，参之比，参数数 由下述方程得出。由下述方程得出。1.目标规划方法目标规划方法 （3）iTEiyexp()ix11minmin()NNiiiiiuxLny 它等价于：（4）st0iiiuxLny1,2,iN11min()min()NNiiiixxstiixLny1,2,iN 参数 也可以由下列二次规划问题计算得出：（5）上述目标规划的主要缺点是其参数是计算
9、的而不是估计的，无统计解释。如果假设 服从指数分布，2211minmin()NNiiiiiuxLnyst0iiiuxLny1,2,iNiu则线性规划“估计”就是最大似然估计：1()exp(),iiuuuf u111()()exp(),NiNNiiiuuuLf u11lnln,NuiiuLNu 1m axm iniNiLiffu 如果假设 服从正态分布，则二次规划“估计”就是最大似然估计：其中C代表常数iu222()exp(),22iiuuuf u 1(),NiiLf u2211ln,2NiiuLCu21maxminNiiLiffu 上述“解释”给予目标规划方法一个清晰的统计基础，但这些计算的参
10、数 仍然像估计的参数那样有标准差。2.修正最小二乘法（COLS）它分为两步：第一步，先用OLS估计（1）式：,()iiLn yxu1,2,iN 得到 一致和无偏的 斜率参数 ，以及一致和有偏的截面参数 。第二步，有偏的截距参数 被向上修正以保证估计的前沿是所有数据的上界：1,k00*00max,iiu*maxiiiuuu*exp()iiTEu COLS估计的生产前沿平行于OLS回归（以自然对数形式），意味着最好的生产技术的结构与中心（平均）趋势的生产结构一致，这是COLS的缺陷，应当允许处于生产前沿上的有效率的公司的生产结构不同于位于平均位置的公司的生产结构。三、随机前沿生产函数 由于确定性前
11、沿生产函数没有考虑到产活动中存在的随机现象，Aigner，ovell，Schmidt(ALS)和Meeusen,van den Broeck(MB)同时于1977年引进了随机前沿生产函数 （1）()exp()Yf Xvu 其中v代表影响生产活动的随机因素，一般假设它是独立同分布（i.i.d)的正态随机变量，具有0均值和不变方差；代表随机前沿生产函数；u(非负)代表着生产效率或管理效率，一般假设它是独立同分布的半正态随机变量或指数随机变量独立于 。假设生产函数取C-D形式：（2）在上述v和u的假设下，可以使用最大似然法（ML）或调整最小二乘法（MOLS）估计参数 和误差项 ，进而得到技术效率 ，
12、如下所述。()exp()f Xv0v0lninniiinLnyXvu1,2,.iIiivuexp()iiTEu 1.正态半正态模型的ML估计 假设：（1）（2）（3）和 的分布相互独立，且与解释变量相互独立。u,v的密度函数以及u 和v的联合密度函数，u和 的联合密度函数分别是:2(0,)ivviidN2(0,)iuuiidNiviuv u 222()exp()22uuuf u 221()exp()22vvvfv 22222(,)exp()222uvuvuvf u v 22222()(,)exp()222uvuvuuf u 2202()(,)()exp()22ff udu 是标准正态分布函数
13、（3）于是可给出参数 、的ML估 计，从而得到 、以及技术效率的估计：(.)1222(),uv,uvuv(exp():iiTEEu1()IiiLF221121lnlnlnln()22IIiiiiILI,uvML (,)(|)()fufuf*2*2*1()exp1(),22u22*,u 2222*,uv(exp|)iiiTEEu2*1()1exp,1()2iii 2.正态指数模型的ML估计 假设：（1）（2）指数分布 （3）和 的密度函数以及u和v的联合密 度函数、和 的联合密度函数分别是：2(0,)ivvNiuiidiviuuv u 1()exp(),uuuf u221()exp(),22vv
14、vf v 于是可给出参数 、的ML估计以及技术效率的估计：222(,)exp(),22uvuvuvf u v 222()(,)exp(),22uvuvuf u 2201()(,)()exp(),(5)2vvuuvuuff uduuv(exp():iiTEEu1()IiiLF22111lnln()ln(),2IIviiiiuuLIIA,uvM L(,)(|)()fufuf221()exp,22()vvu iivA 2(),iivu 3.正态半正态模型的矩估计（MOLS）此时的假设与正态半正态模型的ML估计 的假设一样，模型是：（7）首先，模型（7）具有0均值和不变的方差，因而可用OLS得到参数
15、的一直估计，的OLS估计不是一致的。(exp|)iiiT EEu2*1()1exp,(6)1()2iii 0ln()ln()iinniiiinYE uXvuE un0()iE u 其次，用矩方法得到 和 的方差估计：是常数，iviu()2,iuE u2()(2),iuV u 33()2(14),uuE u()iE u()()iiiiiE uvuE u222(2)()vuiiEE 22()()iiiiEE uEE um332(14)()uiiEE 33()(),iiiiEE uEE um 再次，用 的方差估计量来对OLS截距估计进行调整（MOLS）：最后用（6）式得到技术效率 的点估计。关于这两
16、种估计方法的比较，Olson,Schmidt,Waldman基于蒙特卡罗试验的基础上指出：选择哪种估计反复取决于 值和样本大小。当容量 400且 3.16时，矩估计优于ML估计，当 较大时，ML估计优于矩估计，并且随着样本容量2233(),2(14)um2222(1)vumiu002()iuE uiTE 的增加，这种优势也增加。但是，由于MOLS估计的第一步没有使用分布假设，所以其第一步估计对 和 的分布是稳健的。下面利用随机前沿生产函数估计利润效率。假设生产前沿为：这里 是产出数量，代表可变投入向量，代表固定投入向量，代表着产出导向的 iviu(,)*exp(),yf x zu12(,),N
17、xxxx12(,)Qzzzzyxzu 技术无效率，利润最大化的一阶条件是：其中 度量配置效率，0 ,pyc0(,)exp(),nnnpfx zuwx(,)ex p(),nnfxzuwp1,2,nN12(,)Nww ww(,)exp()exp(),nnnwfx zup 分别代表着可变投入的不足和过度。考虑CD生产函数及其一阶条件：假设：（1）（2）（3）0lnlnlnnnqqnqyxzvu0lnlnlnlnlnnnnkkqqnkqwxxzup 1,2,nN2(0,)ivviid N2(0,)iuuiidN12(,)(0,)NiidN （4），是相互独立的 则密度函数、联合密度函数和似然函数分别是
18、：iivnu()()ffvu22222222()exp()2()2()uvuvuvuv 1 2121()exp(),2(2)|nf222lntanlnlnln|ln2222vuIIIILconst 1ln()ln(1)22iiiiIr这里：2212212()()()iiviiivibbIb 1222111uvII2221()iiviIbiiiuviiibIu(1,1,1).I 极大化该似然函数，得到所有技术参数和效率参数，然后用下式估计技术效率：配置效率的估计可通过在一阶条件的残差中减去技术效率来得到。()(|,)()iiiiiiE ub 四、对生产率和效率变化的度量 生产率的增长是由三部分组
19、成，一个是技术进步（如新技术的采用和新产品的发现），二是技术效率（如管理效率的提高和生产经验的积累），三是规模效率（组建和管理大企业乃至大国经济的能力）。在实践中，这一新的生产率概念主要应用生产函数进行拆分，而前沿生产函数的估测又较多依赖于面板数据的采用。对生产率进行拆分的前沿生产函数模型主要分两种，一种为随机性的参数型模型，另一种为确定性的非参数型模型。前者通常先估计一个生产函数，考虑到该生产函数中误差项目的复合结构及其分布形式，并根据误差项的分布假设不同，采用相应的技术方法来估计生产函数中的各个参数。其最大优点是通过估计生产函数对个体的生产过程进行了描述，从而使对技术效率的估计得到了控制；
20、缺点是对效率的偏倚方向设定及效率和技术进步参数之间的识别尚无法提供灵活、可行的解决方案。后者则首先根据样本中所有个体的投入和产出构造一个能包容所有个体生产方式的最小的可能性集合：即所有要素和产出的有效组合。1、设 以上代表所采用的生产技术：():,(,)min:()()P xy xdo x yyP x可以生产y0.50000(,)(,)(,)(,)stttttststssssd y xd y xTFPd y xd y x0.5000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)tssttttsssstssttssd y xd y xd y xd y xd y xd y x （1）（2）00(,)(
21、,)tttstSssdyxT Edyx0.50000(,)(,)(,)(,)ssttssstttttssdyxdyxTCdyxdyxstststTFPTETCln()ln()ln()stststTFPTETC 其中TE代表技术效率的变化，TC代表技术进步，二者均以S期为基期，即假定基期数值为1，求出比较期的数值，他们均可能大于1，若以对数形式表示，其含义是相对于基期的增长率，因而（2）式更符合平常的生产率核算要求。2、SF 方法 假设SF生产函数如下：(3)ln(,)itititityf x tvu1,2,iN1,2,tT 这里f(.)是合适的生产函数形式，如超越对数函数；t是时间趋势，代表技
22、术进步（TC），其他符号如前。在估计了参数后，可得到；0(,)(exp()|),tititititititititd x yTEEueevu0(,)(exp()|),sisisisisisisisisd x yTEEueevuitisTECTE TE 3、对生产率变化（TFPC）的分解 设生产函数为 则技术进步（准确的说叫技术变化，TC）用 度量，TC为正、为0、为负分别对应着技术变化使得生产前沿向上移动、不动、向下移动；技术效率变化（TEC）用0.5(,)(,)(1)(1)isitf xsf xtTCst(,)exp(),yf x tuln(,)fx tTCt 度量，TEC为正、为0、为负分
23、别对应着技术效率的下降、不变、上升。技术效率变化可以被解释为生产者远离生产前沿、保持相对距离、向生产前沿移动，当然在此过程中生产前沿也随时间移动，全要素生产率变化(TFPC)采用Divisia指数（特氏数量指数）来度量，用sn表示基期（或现期）投入要素加之份额，字母上边加一点表示其变化率：uT E Ct (,)e x p(),yfx tulnln(,),1dyyfx tuyydxlnln(,)ln()nnnxdyf x tfudtxttt ln(,)1(,)nnnnnxxf x tTE TECf x txxtnnxTCTEC ()n nnnnnnTFPCy XYS xTCS xTEC (1)(
24、)()nnnnnnnTCxSxTECnnnEwxnnnSw xE(,)(,)nnnxfx tfx tnn 因此，生产率变化（TFPC）分解为四部分第一部分为技术进步TC;第二部分为规模报酬，如果采用规模报酬不变，假设（），则该项为0，在可变的规模报酬假设下，规模也可对生产率变化有正的贡献：且投入扩张或 且投入收缩；第三部分为配置效率，它由两部分组成：由判断投入配置是否有效率，或在投入配置有效率的情况下由 判断投入规模是否有效率，如果配置有效：111(,)(,)nknkfx tfx tww(,)exp()nnpfx tuw(,)ex p()nnp fx tuwnnnniiniiinnnnnnw
25、xw xx fsw xw xf(,)exp()(exp()nniiinnnpfx tu xxwupw xf(,)(,)nniinniiiinnnnnnfx txx wfx txx ww xffw x(,)nnnfx txf 则该项为0；第四部分为技术效率的变化TEC 如果没有价格信息，就不能计算配置效率，这是通常假设不存在配置无效率，此时：因此，只有当规模报酬不变、不存在配置无效率、技术效率无变化时，全要素生产率的变化才与技术进步一致。nnS(1)()nnnTFPCTCxTEC(1)nnnTCS xTEC五、比较分析 下面对三种方法做以比较 生产率和效率的度量一般使用DEA和SF方法（指数方法
26、一般需要价格数据，其度量结果不仅与生产经营有关，还与外部市场环境有关）。对度量结果，还需分析原始数据误差、环境因素、管理决策效率、长期最优化、以利企业找出差距，增强其核心竞争力。方法性质指数方法DEASF是否为参数方法非参数方法非参数方法参数方法是否考虑随机影响否否是关于公司效率假设不存在无效率存在无效率存在无效率行为假设成本最小收益最大无（考虑配置效率时除外）无可计算哪些方面TFP的变化技术效率、规模效率、配置效率技术效率、规模效率、配置效率、技术进步、TFP的变化所需要变量投入产出的数量和价格投入产出的数量投入产出的数量所需要数据时间序列、截面数据、面板数据截面数据面板数据截面数据面板数据六、案例
