1、等差数列的前n项和公式（2）问题1 你能说出推导等差数列前 n 项和公式的方法，并准确写出这两个公式吗？等差数列an的前 n 项和公式1().2nnn aaS(1)1(1).2nn nSnad(2)问题2某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位.问第1排应安排多少个座位？实际问题数学问题追问1：用数学方法解决实际问题的一般步骤是什么？数学问题的解实际问题的解实际问题数学问题“从第2排起后一排都比前一排多两个座位.”设第n排有an个座位1*2(2)，nnaannN分析：实际问题数学问题“从第2排起后一排都比前一排多两个座位.”“报告厅共
2、有20排座位”n20“容纳800个座位”S20800“第1排应安排多少个座位？”a1?分析：等差数列an d2设第n排有an个座位追问2：已知等差数列的d，n，S20，如何求 a1？解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列an，其前n项和为Sn.根据题意，数列an是一个公差为 2 的等差数列，且 S20800.根据公式 ，得1(1)2nn nSnad20120(20 1)202800.2Sa解得 a121.因此，第1排应安排21个座位.建模思想问题3已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a110，公差d2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最
3、大值时n的值；若不存在，请说明理由.分析：a110，a28，a36，a44，S110，S2108=18，S3186=24，S4244=28，从S1到S4是递增的，为什么会递增呢？追问1：答：SnSn1an，分析：a110，a28，a36，a44，S110，S2108=18，S3186=24，S4244=28，答：SnSn1an，因为 a2到 a4都是正数，所以 SnSn1.Sn会不会一直递增呢？追问2：不会，因为公差d0，数列an是递减数列，当an减小到不大于0时，Sn就不再增大了.答：从S1到S4是递增的，为什么会递增呢？追问1：分析：a110，a28，a36，a44，S110，S2108=
4、18，S3186=24，S4244=28，这说明哪些项的和是 Sn的最大值呢？追问3：答：所有正数项的和就是 Sn的最大值.哪些项是正数呢？追问4：利用通项公式求解.答：等差数列an的前n项和公式不会，因为公差d0，数列an是递减数列，由a110，d2，怎样的性质？“第1排应安排多少个座位？”不会，因为公差d0，数列an是递减数列，所以,S1S2S5S6 S7Sn会不会一直递增呢？当n2时，anSnSn1；某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；
5、S4244=28，由a110，d2，追问1：根据上述试验数据，你会得出怎样的猜想呢？已知等差数列an的前n项和为Sn，若解：由d2，得an1an20，所以 an1an.所以an是递减数列.由a110，d2，得an10(n1)(2)2n12.令an0，解得n6.当n6时，an0；当n6时，an0；当n6时，an0.所以,解：所以,S1S2S5S6 S7所以，当n5或6时，Sn最大.因为 ，55(51)5 10(2)302S 所以Sn的最大值为30.事实上，当 n2 时，由于 anSnSn1，所以 an就是由 Sn1到 Sn的变化量，an的正负体现了 Sn的增减，增减明确了，最大（小）值就找到了.
6、追问5：找到最大（小）值的关键是分析Sn的增减，你还有其他方法研究Sn的增减情况吗？答：将Sn看作关于n的函数，考察函数的单调性.解法2：由a110，d2，(1)10(2)2nn nSn 211nn 211121().24n *()n N所以，当n取与 最接近的整数，112即5或6时，Sn最大，最大值为30.问题4 对于一般的等差数列，前 n 项和公式是 否都具有关于 n 的二次函数的形式呢？1(1)2nn nSnad(2)21()22nddSnan (3)当 d0 时，Sn具有关于 n 的二次函数的形式.(3)追问：公式 3 还有哪些特点？21()22nddSnan 常数项为0；具有 的结构
7、；二次项系数的2倍等于公差；二次项系数与一次项系数之和等于首项.2nSAnBn 等差数列an满足S10310，S201220，求 Sn.问题5解：设SnAn2Bn，A，BR.由S10310，S201220，得10010310400201220ABAB，.31.，AB 解得所以，Sn3n2n.问题6 如果数列an的前 n 项和 SnAn2BnC，其中 A，B，C 为常数，那么这个数列具有 怎样的性质？追问1：根据上述试验数据，你会得出怎样的猜想呢？猜想：当C0时，数列an是等差数列；当C0时，数列an从第二项起的后续各项 组成一个等差数列.追问2：这个猜想是否正确？你能证明这个猜想吗？如果数列a
8、n的前n 项和 Sn An2BnC，那么证明数列an是等差数列等差数列的定义an1and(nN*)数列an的通项公式数列an的前n项和公式当n1时，a1S1；当n2时，anSnSn1；结论.证明：当n1时，a1S1ABC；当n2时，anSnSn122(1)(1)AnBnCA nB nC (21).nAB 所以，,1,(21),2.nABCnanABn 所以，,1,(21),2.nABCnanABn 当n2时，an1an (2n1)AB(2n1)AB2A.第二项起的后续各项组成等差数列.而a2 a1(3AB)(ABC)2AC.所以，,1,(21),2.nABCnanABn 当n2时，an1an
9、(2n1)AB(2n1)AB2A.而a2 a1(3AB)(ABC)所以，当C0时，数列an是等差数列；当C0时，数列an从第二项起的后续 各项组成一个等差数列.2AC.等差数列前 n 项和的最大值问题课堂小结1(1).naand21().22nddSnan 等差数列an的前 n 项和公式1(1).2nn nSnad(2)(3)21().22nddSnan 课堂小结按项数 n 的降幂排列函数思想等差数列an的通项公式1().nadadn等差数列an的前 n 项和公式21().22nddanSn 课堂小结课后作业1.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第二天为110元，以后逐天增加10元.你认为哪种领奖方式收益更多？2.已知等差数列4.2，3.7，3.2，的前n项和为Sn，Sn是否存在最大（小）值？如果 存在，求出取得最值时n 的值
