1、25.2 用列举法求概率教学设计 授课教师：授课教师： 北京市第四中学 范兴亚 教教 材：材： 人教版义务教育课程标准实验教科书 数学 九年级 上册 第二十五章概率初步 第二节 第一课时 一、一、 教学内容的说明教学内容的说明 1. 教学内容分析 本节课是列举法求概率的第一节课， 通过列举所有等可能的结果来计算随机 事件发生的概率. 在教学过程中要尽量鼓励和引导学生主动探究和构建知识结构. 利用分类 的方法有序地列举，亲身经历简单枚举、列表和画树状图等方法的形成过程， 并在应用中逐渐加深理解. 2. 学生认知基础 这节课的教学对象是义务教育阶段的初中三年级学生， 授课班级是数学分层 教学的 A
2、 班.该班同学学习能力较强,思维活跃，对于课堂教学所用到的背景问题 扫雷游戏规则熟悉并有一定的游戏实战经验. 二、二、 教学目标的确定教学目标的确定 根据教学的内容和学生的情况我确定了如下教学目标： 1在具体情境中进一步理解随机事件的特征，初步学会利用列举法（简单枚举、 列表、画树状图）估计随机事件发生的概率. 2利用分类方法合理列举随机事件所有可能发生的结果，提高化繁为简的能力， 发展思维的条理性. 3.解决复杂问题时,经历猜测、 探索、 计算、 验证等数学活动的过程.培养发现问题、 提出问题、分析问题、解决问题的能力. 4在利用概率解决某些实际问题的过程中增强应用意识,培养主动探究、建构知
3、 识结构及勇于探索的学习精神； 教学重点：教学重点：运用列举法（简单枚举、列表、画树状图）计算随机事件发生的概率. 教学难点：教学难点：进一步明确随机事件的具体特征,利用有序分类的方法合理列举随机事 件所有可能发生的结果. 三、三、 教学方法和手段教学方法和手段 教学方法：启发式和探究式. 教学手段：多媒体. 四、四、 教学过程的设计教学过程的设计 五、五、 教学过程教学过程 1. 1. 设置情境设置情境 引入新课引入新课 调查学生对扫雷游戏的了解情况，并让学生在 99 且藏有 10 颗地雷的棋盘 上演示一局扫雷游戏的操作过程.让学生边进行游戏边讲解游戏的规则以及游戏 中进行决策的思考过程.适
4、时引导学生观察上述过程， 并提出问题： 刚才在扫雷游 戏中,多数时候决策都是确定性的,而有时的操作是需要带有随机性的.在一个 9 9 个方格的正方形雷区中， 随机埋藏着 10 颗雷， 每个方格内最多只能藏 1 颗雷. 在游戏开始时随机地点击一个方格， 点击后出现了如图所示的情况.例如： 在下一 步点击时要尽可能地避开雷，那么应点击红框内的区域，还是红框外的区域？ 设置情境设置情境 引入新课引入新课； 经历过程经历过程 形成方法形成方法； 探索探索应用应用 发展认知；发展认知； 课堂小结课堂小结 布置作业布置作业 小结： 从生活中挖掘数学问题， 用数学的眼光重新看待以前没有关注、 思考的问题，
5、数学让认识过程更加深入.进行扫雷游戏,每一步都是确定性的逻辑判断，可以看 出扫雷游戏蕴含着确定性数学的模型，同时，有时决策又带有随机性，因此扫雷 游戏也蕴含着或然性数学的模型.对存在的不确定的情况进行决策， 需要借助研究 随机现象的数学工具-概率.因此,我们今天来研究用列举法求概率. 【设计意图】 本环节主要是创设情境，在实际问题中让学生感受研究概率的必要性帮 助人们进行决策，自然引入课题用列举法求概率. 选择扫雷游戏作为本节课讨论问题的背景，理由如下： 1. 现实性.问题来源于学生的生活,确实是学生实际生活中所接触到的问题. 2. 挑战性.扫雷游戏中的缜密的推理对于学生思维是一种挑战. 3.
6、 趣味性.游戏学生多次玩过，并且有一定的思维含量，同时对学生而言有一定 的挑战，因此，学生会感觉比较有趣味. 4. 普适性.几个班级的试讲发现多数同学是玩过扫雷游戏的并且熟悉游戏的规则. 在刚才引例中，计算上述随机事件的概率比较简单的原因在于随机事件的结果是 有限等可能的， 并且产生结果只需要一个步骤.这时， 我们只需要简单的枚举就可 以确定可能发生的结果总数以及随机事件中所包含的结果数, 从而也就可以求得 它的概率. 那么，对于那些两步或两步以上才能产生结果的随机试验，要去计算 其概率又该如何进行呢？比如，在上述的情况下，考虑后面两步都没有击中雷的 概率有多大？ 2. 2. 经历过程经历过程
7、 形成方法形成方法 为了提供一个类似于抛硬币的简单模型， 课前让学生编制一个新型扫雷游戏， 22 的方格表，每个格子独立，产生或不产生雷的可能性都是 1 2 .如果开局点击 到雷时，游戏结束；如果点击不到雷时，方格出现数字是周围的雷的数量.在课上 由游戏设计者说明新版“扫雷”游戏的规则. 【设计意图】 同学重新设计新型“扫雷游戏”目的在于提供一个类似于“两次抛硬币”的 模型，这种设计如果是用原来扫雷游戏是无法实现的.同时，在课前让学生自己动 手设计程序，体现学生在学习中的主体地位，素材来源于同学，更为喜闻乐见， 并且对于其他同学也是一种激励作用.学生详细介绍编制的程序，体现以学生为主 体的数学
8、活动，更为重要的是这个程序对于后续例题的设计是关键. 例例 1 1. . 在新版扫雷的规则下.求下列事件的概率： （1）连续两局开局都点击到雷； 【设计意图】 进一步让学生理解随机事件的特征,理解随机实验中的所有结果(即基本事件 集)以及随机事件中包含的结果(即随机事件中包含的基本事件集).从方法的角度 开放的让学生去想不重不漏的列举的方法.在这个过程中，体会要不重不漏的列举 最关键的是要有好的分类标准. 学生列举方法预设： 1.简单枚举 有有，有无，无有，无无 2.列表法 3.树状图 4.分步计数原理 直接计算出随机事件中包含的基本事件有 22=4 个，而每个基本事件是 等可能的， 而满足连
9、续两局开局都点击到雷这一条件的基本事件有 1 个， 因此 直接计算出概率为 1 4 . 5. 条件概率 直接考虑第一局点击到雷的概率是 1 2 ，而第二局点击到雷的概率也是 1 2 ，那么，连续两局开局都点击到雷的概率就是 111 224 . 学生用的简单枚举、列表、树状图等方法是重在操作，列表法和树状图更为直 观一些，其目的在于不重不漏的找到所有可能情况.而渗透用分步计数原理计数的 方法，则体现了从方法操作到理性思考的飞跃. 第 2 局 第 1 局 有 无 有 （有，有） （有，无） 无 （无，有） （无，无） 无 有 有 无 有 无 第一局 第二局 小结： 简单枚举、列表、树状图等方法帮助
10、我们不重不漏的找到所有可能情况，其 中列表、树状图呈现结果更为直观.同时肯定分步计数原理或条件概率的做法.我 们发现树状图从上向下看， 列举的是所有可能的情况.而横向看第一层表示第一局 的结果有两种，第二层则表示在第一局的两种结果的基础上，第二局又会各有两 种不同的情况，因此,总共的结果有四种.也可以看成分步计数原理的一种直观表 示. 教师继续追问: 一局开局点击到雷, 一局开局点击不到雷的概率是多少？ 【设计意图】 进一步落实上述各种方法.就问题设计的难度而言，比起例题 1 第（1）问， 此随机事件中包含了两种结果(即两个基本事件)计算此随机事件的概率也更为 复杂一些. （3）连续三局开局有
11、两局点击到雷有一局点击不到雷. 【设计意图】 在这里引发学生认知冲突，体会列表法的适用范围只能是两步得到结果的随 机试验，而树状图可以化解这个矛盾. 树状图每层是实验的步骤，可以有顺序的 有步骤的列举.从上至下每条路径，都是一种可能的结果. 如果是三步，或者三步 以上的才能得到结果的随机实验，难以用列表法，但树状图可以画多层，可以看 出树状图的适用范围更广.之所以没有设计求连续三局都是有雷这种随机事件的 概率，是由于这种随机事件包含的结果只有一种，有学生只画一部分树形图也可 以求出结果，板书时不具有示范性.这个问题，又可以后续环节生生互问中解决. 学生列举方法预设： 1.简单枚举法 2.树状图
12、 3.列表法联表 第 1，2 局 第 3 局 有 无 （有，有） （有，有，有） （有，有，无） （无，有） （无，有，有） （无，有，无） （有，无） （有，无，有） （有，无，无） （无，无） （无，无，有） （无，无，无） 4.分步计数原理 第 2 局 第 1 局 有 无 有 （有，有） （有，无） 无 （无，有） （无，无） 无 有 有 无 有 无 有 有 无 无 有 有 无 无 计算出随机事件中包含的基本事件有 222=8 个， 而考虑点击不到雷的 可能是第一局，第二局，第三局，因此有 3 种情况. 所以，计算其概率为 3 8 . 教师追问：连续三局开局，我们还可以求哪些随机事件的概
13、率呢？ 学生提问并回答. 【设计意图】培养学生发现问题，提出问题、分析问题、解决问题的能力. 小结: 进一步理解随机事件的特征,总结列举法求概率的一般步骤. 列举（简单枚举、列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个 结果发生的可能性是否都相等. 如果都相等，再确定所有可能出现的结果数 n 和其中出现所求事件的结果的 个数 m.用公式计算所求事件的概率( ) n P A m . 说明简单列表法的适用范围是两步得到结果的随机试验. 如果是列举三步， 或者三步以上的得到结果的随机实验的结果时，难以用列表法，此时可以采用画 树状图或其他可行的列举方法例如列联表的方法. 用树状图列举时，其适用
14、范围 更广. 【设计意图】 在学生亲身经历用各种方法的进行列举的基础上，小结含有两个、三个步骤 随机试验中随机事件的概率的求法. 在应用过程中，主动建立和完善对列表法和 画树状图法的认知，体会分类思想在有序列举过程中的作用，初步掌握列举法计 算简单事件发生的概率. 学生如果对于每次的开局结果为什么不分成有雷，出现 数字 0，1，2，3 这 5 种情况提出质疑，可以强调在计算古典概型的概率时，必须 等可能才能用上述方法进行计算. 3. 3.探索探索应用应用 发展认知发展认知 例例 2 2. .在开局时点击的是左上角的 A 方格， (1)方格中可能出现哪些数字？ (2)在出现数字的前提下,哪些数字
15、出现的概率更大一些,分别 是多少？ 学生通过分组操作、 汇报点击出现数字次数， 出现雷的次数， 出现数字 0,1,2,3 的次数，可以直观感受各个数字出现的可能性大小.但是由于每组学生实验次数的 限制，得到的结论可能是不准确的.然后，通过计算机模拟大量实验，让学生进一 步猜测上述问题的结论.进而提出问题，如何计算出现这些数字的概率. 预案 1.学生按照 A 方格中出现的数字来分析 B、C、D 方格可能出现的情况，直接 枚举，确定出所有可能产生的结果. 预案 2.学生把 B、C、D 方格是否有雷，各自作为获得试验结果的一个步骤，然后 用树状图去列举出所有可能的结果. 小结： 从这个题目我们可以看
16、到，对于更为复杂的问题，对于列举的方法还要灵活 的使用，才能不重不漏的列举出所有可能产生的结果，但是无论用何种方法，明 确不重不漏的分类讨论的标准都是最核心的. 【设计意图】 在学生活动方面，首先，通过学生的探索、猜测，学生直观感受到出现数字 的可能性的大小.其次，在本例中学生可以根据数字 0，1，2，3 直接枚举确定方 格 B、C、D 中雷的情况，也可以灵活使用树状图列举所有可能结果，体现了正向 、逆向两种不同的思维过程. 4. 4. 课堂小结课堂小结 布置作业布置作业 课堂小结: 从扫雷这样一个小游戏中我们会发现概率在现实生活中有着广泛的应用，我 们应该尝试利用概率的知识来解决身边的一些问
17、题. 表示一个事件发生的可能性大小的数值称为这个事件的概率.正确计算随机 事件发生的概率关键是理解好随机事件的特征,不重不漏地列举所有可能出现的 结果.列举时可以采用列表、 画树状图或其他分类列举的方法， 如果事件是三步或 三步以上试验时画树状图法较为简便. 不管哪一种列举方法， 列举过程都是分类讨论思想方法的应用.我们常借助分 类的方法把复杂问题转化为简单问题来解决. 肯定同学在课前的程序制作以及列联表的方法中体现的创新精神，以及积极 参与猜想，探索，计算，验证等数学活动的意识. 作业：必做： 课本 P137：习题 25.2 第 1，2，3 题 选做： 课本 P137：习题 25.2 第 4
18、 题 【设计意图】 从知识方法、数学思考、情感态度等方面小结本节课的重点和难点，分层次 作业满足不同层次学生需求. 六、 教学特色说明： 1. 扫雷是同学们非常熟悉的一个情境， 选择这样一个背景， 作为列举法求概率这 节课的起点，可以激发学生兴趣.让学生体会到概率在决策中的重要作用，这 也是学习概率的重要意义之一. 2. 学生活动丰富，形式多样.既有课前准备，单个同学示范.也有生生互相提问. 还有学生活动，大量采集数据，获得可能性大小的体验.我们通过同学们创造 性地设计程序，为设计例题服务，资源完全来源于学生，也调动了同学们的积 极性. 3. 问题的设置兼顾了梯度和难度， 引例具有复习功能， 强调一步出结果的随机事 件的概率的计算方法.例题 1（1）(2)突出列表法和树状图在不重不漏的列举 所有等可能的结果时的重要作用.例题 1（3）目的突出看到对于三步或三步以 上才能得到结果的随机试验， 列举其结果的时候列表法的局限性， 同时看到树 状图应用的广泛性.例题 2 是对列举方法的灵活使用，其中不同的思维产生不 同分类标准是有序列举的核心.
