1、1第四章 因子分析2第一节 因子分析的根本思想3因子分析的根本思想因子分析的根本思想n因子分析是根据相关矩阵内部的依赖关系，把一些具有错综复杂关系的变量综合为数量较少的几个因子。通过不同因子来分析决定某些变量的本质及其分类的一种统计方法。n简单地说，就是根据相关性大小把变量分组，使得同组内的变量之间相关性较高，不同组的变量相关性较低。每组变量代表一个根本构造，这个根本构造称为因子。4例如n某机关对其职员就以下6个方面进展考核，这6个方面是职员的词汇、阅读、写作能力，以及数字、代数、微积分的运算能力。而这6个方面可归结为职员的语文能力和数学能力两个方面。5例如n某公司与48名申请工作的人进展面谈
2、，然后就申请人十五个方面进展打分，这十五个方面分别是：申请书的形式、外貌、学术能力、讨人喜欢的能力、自信心、洞察力、老实、推销能力、经历、工作积极性、抱负、理解能力、潜力、入围公司的强烈程度、适应性。这15个方面可归结为应聘者的外露能力、讨人喜欢的能力、经历、专业能力这4个方面。6因子分析(factor analysis)是一种数据简化的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的根本构造，并用少数几个假想变量来表示其根本的数据构造。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量，而假想变量是不可观测的潜在变量，称为因子。例如，在企业形象或品牌形象的
3、研究中，消费者可以通过一个有24个指标构成的评价体系，评价百货商场的24个方面的优劣。7但消费者主要关心的是三个方面，即商店的环境、商店的效劳和商品的价格。因子分析方法可以通过24个变量，找出反映商店环境、商店效劳水平和商品价格的三个潜在的因子，对商店进展综合评价。而这三个公共因子可以表示为：iiiiiFFFX33221124,1i 称 是不可观测的潜在因子潜在因子。24个变量共享这三个因子，但是每个变量又有自己的个性，不被包含的部分 ，称为特殊因子特殊因子。321FFF、i8注意：注意：n因子分析与回归分析不同，因子分析中的因子是一个比较抽象的概念，而回归因子有非常明确的实际意义。n主成分分
4、析分析与因子分析也有不同，主成分分析仅仅是变量变换，而因子分析需要构造因子模型。n主成分分析：原始变量的线性组合表示新的综合变量，即主成分。n因子分析：潜在的假想变量和随机影响变量的线性组合表示原始变量。9第二节第二节 因子分析模型因子分析模型 一、数学模型一、数学模型)(2211pmFaFaFaXimimiii 设 个变量，如果表示为iX),2,1(pippmpmppmmpFFFaaaaaaaaaXXX212121222211121121 AFX10 称为 公共因子，是不可观测的变量，他们的系数称为因子载荷。是特殊因子，是不能被前m个公共因子包含的部分。并且满足：mFFF,21icov(,)
5、0,F,F即不相关；1 11212 122212()()()()()()cov()()()()()ppppppE FE FE FE FE FE FEE FE FE FF,F011IFD111)(mFFF,21即 互不相关，方差为1。1222221)(pD即互不相关，方差不一定相等，。),0(2iiN13用矩阵的表达方式 AFXIFDFE)(,0)(1）（),()(,0)()2(22221pdiagDE0),cov()3(F14 1 1、因子载荷、因子载荷 aij 的统计意义的统计意义 因子载荷因子载荷 是第是第i i个变量与第个变量与第j j个公共因子的相关系数个公共因子的相关系数 ija模型
6、为模型为 imimiiFaFaX11),cov(),cov(1jikmkikjiFFaFXijFxaji 载荷矩阵中第i行，第j列的元素反映了第i个变量与第j个公共因子的相关性。绝对值越大，相关的密切程度越高。),cov(),cov(1jijkmkikFFFaija 根据公共因子的模型性质，有根据公共因子的模型性质，有 三、三、因子载荷矩阵中的几个统计特征因子载荷矩阵中的几个统计特征15n 因子载荷不是惟一的 AFX*cov()()EF,F 0且满足因子模型的条件*FA)(FTATFTF*设T为一个pp 的正交矩阵，令A*=AT，则模型可以表示为0)()()(*FETFTEFEITFDTFTD
7、FD)()()(*),()(,0)(22221pdiagDE162 2、变量共同度的统计意义、变量共同度的统计意义统计意义统计意义：imimiiFaFaX11两边求方差两边求方差)()()()(2121imimiiVarFVaraFVaraXVarmjiija1221 所有的公共因子和特殊因子对变量所有的公共因子和特殊因子对变量 的贡献为的贡献为1 1。如果。如果 非常非常靠近靠近1 1，非常小，则因子分析的效果好，从原变量空间到公共因非常小，则因子分析的效果好，从原变量空间到公共因子空间的转化性质好。子空间的转化性质好。iXmjija122imjija12定义：变量定义：变量 的共同度是因子
8、载荷矩阵的第的共同度是因子载荷矩阵的第i i行的元行的元素的平方和。记为素的平方和。记为iX。mjijiah12217 3 3、公共因子、公共因子 方差贡献的统计意义方差贡献的统计意义jF因子载荷矩阵中各列元素的平方和 称为所有的 对 的方差贡献和。衡量的相对重要性。piijjag122),1(mjjFiXjF18第三节第三节 因子载荷矩阵的估计方法因子载荷矩阵的估计方法 设随机向量 的均值为，协方差为,为的特征根，为对应的标准化特征向量，那么pxxx,21x021pp21u,u,ul 主成分分析法主成分分析法UUp2119 上式给出的表达式是准确的，然而，它实际上是毫无价值的，因为我们的目的
9、是寻求用少数几个公共因子解释，故略去后面的p-m项的奉献，有21111mmmmmmp1122ppu uu uu uuuu up2uuuuuuppp21122111100p212ppuuuuuu20 12 mmm1122AA+Du uu uu uD1121122 mmp mpmm p2uuuuuDAADu 上式有一个假定，模型中的特殊因子是不重要的，因而从 的分解中忽略了特殊因子的方差。22212(,)pdiagD其中221miiiijjsa21 AFX)()()(DAFADXD),(22221pdiagAA22 例例 假定某地固定资产投资率假定某地固定资产投资率 ，通货膨胀率，通货膨胀率 ，失
10、业，失业率率 ，相关系数矩阵为，相关系数矩阵为试用主成分分析法求因子分析模型。试用主成分分析法求因子分析模型。1x2x3x15/25/15/215/15/15/1123 特征根为：55.11 85.02 6.03 6.0707.085.0331.055.1629.06.0707.085.0331.055.1629.0085.0883.055.1475.0A707.0331.0629.0707.0331.0629.00883.0475.0U548.0305.0783.0548.0305.0783.00814.0569.024 可取前两个因子F1和F2为公共因子，第一公因子F1物价就业因子，对X的
11、奉献率为51.67%。第二公因子F2为投资因子，对X的奉献为28.33%。共同度分别为1，0.706，0.706。211814.0569.0FFx3212548.0305.0783.0FFFx3213548.0305.0783.0FFFx25第四节第四节 因子旋转正交变换因子旋转正交变换 因子分析的数学目的不仅仅要找出公共因子以及对变量进展分组，更重要的要知道每个公共因子的含义，以便进展进一步的分析。如果每个公共因子的含义不清，那么不便于进展实际背景的解释。由于因子载荷阵是不惟一的，所以应该对因子载荷阵进展旋转。目的是使因子载荷阵的构造简化，使载荷矩阵每列或行的元素平方值向0和1两极分化。主要
12、的正交旋转法有方差最大法和四次方最大法。一为什么要旋转因子一为什么要旋转因子26 百米跑成绩 跳远成绩 铅球成绩 跳高成绩 400米跑成绩 百米跨栏 铁饼成绩 撑杆跳远成绩 标枪成绩 1500米跑成绩 1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X奥运会十项全能运开工程奥运会十项全能运开工程得分数据的因子分析得分数据的因子分析 27 因子载荷矩阵可以看出，除第一因子中所有的变量在公共因子上有较大的正载荷，可以称为一般运动因子。其他的3个因子不太容易解释。似乎是跑和投掷的能力比照，似乎是长跑耐力和短跑速度的比照。于是考虑旋转因子，得下表 28变量F1F2F3F4共同度X1X2X3X4X5X6X7X8
13、X9X100.8840.6310.2450.2390.7970.4040.186-0.036-0.0480.0450.1360.1940.8250.1500.0750.1530.8140.1760.735-0.0410.1560.5150.2230.7500.1020.6350.1470.7620.1100.112-0.113-0.006-0.1480.0760.468-0.17-0.0790.2170.1410.9340.840.700.810.650.870.620.720.660.570.8929 通过旋转，因子有了较为明确的含义。通过旋转，因子有了较为明确的含义。百米跑，百米跑，跳远和
14、跳远和 400米跑，需要爆发力的项目在米跑，需要爆发力的项目在 有较大的有较大的载荷，载荷，可以称为短跑速度因子；可以称为短跑速度因子；铅球，铅球，铁饼和铁饼和 标枪在标枪在 上有较大的载荷，可以上有较大的载荷，可以称为爆发性臂力因子；称为爆发性臂力因子；百米跨栏，百米跨栏，撑杆跳远，撑杆跳远，跳远和为跳远和为 跳高在跳高在 上上有较大的载荷，有较大的载荷，爆发腿力因子；爆发腿力因子；为长跑耐力因子。为长跑耐力因子。2X5X1F1F3X7X9X2F6X8X2X4X3F3F4F1X30二旋转方法二旋转方法 1、方差最大法方差最大法2、四次方最大旋转四次方最大旋转31 1、方差最大法 方差最大法从
15、简化因子载荷矩阵的每一列出发，使和每个因子有关的载荷值平方的方差最大。当只有少数几个变量在某个因子上有较高的载荷值时，对因子的解释最简单。方差最大的直观意义是希望通过因子旋转后，使每个因子上的载荷值尽量拉开距离，一局部的载荷趋于1，另一局部趋于0。2122211211ppaaaaaaAppppFaFaXFaFaXFaFaX2211222212121212111132cossinsincosT设旋转矩阵为：cossinsincosAATB则cossinsincoscossinsincos112112111211ppppaaaaaaaa211211ppbbbb332221212211ppbbbb
16、21221222212112211111piipiipiipiibpbpbpbpVmax根据求极值的原理，使根据求极值的原理，使 0V，由此可求出因子轴旋转角度，由此可求出因子轴旋转角度34当公共因子个数m2时，可以将上述m=2的方法用于21mm逐次对每两个公共因子进展旋转。每旋转一次，V值就会增大，即V是单调不减的，并且V是有界的，因为因子载荷的绝对值不大于1。因此，经过假设干次旋转后，V变化相对就不大了，即可停顿旋转。对两因子的旋转，35 2 2、四次方最大旋转、四次方最大旋转 四次方最大旋转是从简化载荷矩阵的行出发，通过旋转初始因子，使每四次方最大旋转是从简化载荷矩阵的行出发，通过旋转初
17、始因子，使每个变量只在一个因子上有较高的载荷，而在其它的因子上尽可能低的载个变量只在一个因子上有较高的载荷，而在其它的因子上尽可能低的载荷。如果每个变量只在一个因子上有非零的载荷，这时的因子解释是最荷。如果每个变量只在一个因子上有非零的载荷，这时的因子解释是最简单的。简单的。四次方最大法通过使因子载荷矩阵中每一行的因子载荷平方的方差到达四次方最大法通过使因子载荷矩阵中每一行的因子载荷平方的方差到达最大。最大。36max)(21122pimjiijmhbQ简化准则为：pimjiijiijpimjiijmhbmhbmhbQ112422421122)2()(pimjpimjiijpimjiijmhb
18、mhb111124211242max114pimjijbQ最终的简化准则为：pimjpiipiiijmhhmb11141442pimjpiiijhmb11144137旋转后因子的共同度旋转后因子的共同度设 正交矩阵，做正交变换正交矩阵，做正交变换 AB)()(1mlljilppijabBmjmjmlljilijiabh111222)()(Bmjmlmjmlmltttjljitilljilaaa1111122)(2111222Aimlmjmlilljilhaa旋转后因子的共同度没有发生变化！旋转后因子的共同度没有发生变化！38旋转后公共因子的方差奉献旋转后公共因子的方差奉献设 正交矩阵，做正交变
19、换正交矩阵，做正交变换 AB)()(1mlljilppijabB pipimlljilijjabS111222)()(Bpimlpimlmltttjljitilljilaaa1111122 pimlmlljjljilSa1112222)(A旋转后公共因子的方差奉献发生了变化！旋转后公共因子的方差奉献发生了变化！39第五节第五节 因子得分因子得分 一因子得分的概念一因子得分的概念 前面我们主要解决了用公共因子的线性组合来表示一组观测变量的有关问题。如果我们要使用这些因子做其他的研究，比方把得到的因子作为自变量来做回归分析，对样本进展分类或评价，这就需要我们对公共因子进展测度，即给出公共因子的值。
20、40 因子分析的数学模型为：pmpmppmmpFFFaaaaaaaaaXXX212121222211121121 因子得分函数：pjpjjXXF11mj,1可见，要求得每个因子的得分，必须求得分函数的系数，而由于pm，所以不能得到准确的得分，只能通过估计。41 2、回归、回归法法 pmpmppmmpFFFaaaaaaaaaXXX212121222211121121pjpjjxbxbF11mj,1pjpjjxxxbbb2121,1)思想xbj jpjjjbbbb21其中其中42),cov(jiFxijFxajipjpjixbxbx11,covipjpijijrbrbrb2211jpjjipiib
21、bbrrr2121pjjjjpjjppppppaaabbbrrrrrrrrr2121212222111211mj,143pjjjjpjjppppppaaabbbrrrrrrrrr2121212222111211mj,1简记为简记为 jjaRb pjjjjaaaa,21其中其中jjaRb1因此因此44mmpmmppbbbbbbbbbbbbB21212222111211xRABxxbxbxbFFFFmm12121mpmppmmaaaaaaaaaaaaA21212222111211而因子载荷阵而因子载荷阵112112111RARaaaamRaRaRBm故故45 人均要素变量因子分析。对我国人均要素变
22、量因子分析。对我国3131个省市自治区的要素状个省市自治区的要素状况作因子分析。指标体系中有如下指标：况作因子分析。指标体系中有如下指标：X1 X1：人口万人：人口万人 X2 X2：面积万平方公里：面积万平方公里X3 X3：GDPGDP亿元亿元 X4 X4：人均水资源立方米：人均水资源立方米/人人X5X5：人均生物量吨：人均生物量吨/人人 X6 X6：万人拥有的大学生数人：万人拥有的大学生数人X7X7：万人拥有科学家、工程师数人：万人拥有科学家、工程师数人 Rotated Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 -0.21522 -0.27397 X
23、2 X3 -0.15791 0.06334 X4 X5 X6 -0.11416 X7 -0.11041 46 高载荷指标因子命名因子1X2；面积（万平方公里）X4:人均水资源（立方米/人）X5:人均生物量（吨/人）自然资源因子因子2X6：万人拥有的大学生数（人）X7：万人拥有的科学家、工程师数（人）人力资源因子 因子3 X1;人口（万人）X3:GDP(亿元)经济发展总量因子 X1=-0.21522F1-0.27397F2+0.89092F3+X2=0.63973F1-0.28739F2-0.28755F3+X3=-0.15791F1+0.06334F2+0.94855F3+X4=0.95898
24、F1-0.01501F2-0.07556F3 X5=0.97224F1-0.06778F2-0.17535F3 X6=-0.11416F1+0.98328F2-0.08300F3 X7=-0.11041F1+0.97851F2-0.07246F3123456747 Standardized Scoring Coefficients FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X2 0.22724 X3 0.14635 X4 0.47920 X5 0.45583 X6 0.05416 X7 0.05790 48REGION FACTOR1FACTOR2FACTOR3beijing-0.081
25、694.23473-0.37983tianjin-0.474221.31789-0.87891hebei-0.22192-0.358020.86263shanxi1-0.48214-0.32643-0.54219neimeng0.54446-0.66668-0.92621liaoning-0.205110.463770.34087jilin-0.214990.10608-0.57431heilongj 0.10839-0.11717-0.02219shanghai-0.200692.38962-0.04259前三个因子得分49国民生活质量的因素分析国民生活质量的因素分析 国家开展的最终目标，是
26、为了全面提高国家开展的最终目标，是为了全面提高全体国民的生活质量，满足广阔国民日益全体国民的生活质量，满足广阔国民日益增长的物质和文化的合理需求。在可持续增长的物质和文化的合理需求。在可持续开展消费的统一理念下，增加社会财富，开展消费的统一理念下，增加社会财富，创自更多的物质文明和精神文明，保持人创自更多的物质文明和精神文明，保持人类的安康延续和生生不息，在人类与自然类的安康延续和生生不息，在人类与自然协同进化的根底上，维系人类与自然的平协同进化的根底上，维系人类与自然的平衡，到达完整的代际公平和区际公平衡，到达完整的代际公平和区际公平(即即时间过程的最大合理性与空间分布的最大时间过程的最大合
27、理性与空间分布的最大合理化合理化)。从从1990年开场，联合国开发方案署年开场，联合国开发方案署(UYNP)首次采用首次采用“人文开展系数指标人文开展系数指标对于国民生活质量进展测度。人文开展系对于国民生活质量进展测度。人文开展系数利用三类内涵丰富的指标组合，即人的数利用三类内涵丰富的指标组合，即人的安康状况安康状况(使用出生时的人均预期寿命表使用出生时的人均预期寿命表达达)、人的智力程度、人的智力程度(使用组合的教育成就使用组合的教育成就表达表达)、人的福利水平、人的福利水平(使用人均国民收入使用人均国民收入或人均或人均GDP表达表达)，并且特别强调三类指，并且特别强调三类指标组合的整体表达
28、内涵，去衡量一个国家标组合的整体表达内涵，去衡量一个国家或地区的社会开展总体状况以及国民生活或地区的社会开展总体状况以及国民生活质量的总水平。质量的总水平。50在这个指标体系中有如下的指标：在这个指标体系中有如下的指标：X1X1预期寿命预期寿命X2X2成人识字率成人识字率X3X3综合入学率综合入学率X4X4人均人均GDPGDP美元美元X5X5预期寿命指数预期寿命指数X6X6教育成就指数教育成就指数X7X7人均人均GDPGDP指数指数51 旋转后的因子构造 Rotated Factor Pattern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 FACTOR1为经济开展因子 FACTOR2为
29、教育成就因子 FACTOR3为安康水平因子52被每个因子解释的方差和共同度 Variance explained by each factor FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 53 Standardized Scoring Coefficients标准化得分系数 FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X6 -0.09230 0.62258 -0.24876*6*5*4*3*2*109230.017918.05399.035462.024109.018875.01xxxxxxf*6*5*4*3*2*162258.031604.0
30、17336.050232.060335.034397.02xxxxxxf*6*5*4*3*2*124876.081490.010335.059895.010234.085077.03xxxxxxf54第六节第六节 因子分析的步骤、展望和建议因子分析的步骤、展望和建议 计算所选原始变量的相关系数矩阵计算所选原始变量的相关系数矩阵 相关系数矩阵描述了原始变量之间的相关关系。可以相关系数矩阵描述了原始变量之间的相关关系。可以帮助判断原始变量之间是否存在相关关系，这对因子分析帮助判断原始变量之间是否存在相关关系，这对因子分析是非常重要的，因为如果所选变量之间无关系，做因子分是非常重要的，因为如果所选变
31、量之间无关系，做因子分析是不恰当的。并且相关系数矩阵是估计因子构造的根底。析是不恰当的。并且相关系数矩阵是估计因子构造的根底。选择分析的变量选择分析的变量 用定性分析和定量分析的方法选择变量，因子分析的前提条件是观测变量间有较强的相关性，因为如果变量之间无相关性或相关性较小的话，他们不会有共享因子,所以原始变量间应该有较强的相关性。一、因子分析通常包括以下五个步骤一、因子分析通常包括以下五个步骤55 提取公共因子提取公共因子 这一步要确定因子求解的方法和因子的个数。这一步要确定因子求解的方法和因子的个数。需要根据研究者的设计方案或有关的经历或知识需要根据研究者的设计方案或有关的经历或知识事先确
32、定。因子个数确实定可以根据因子方差的事先确定。因子个数确实定可以根据因子方差的大小。只取方差大于大小。只取方差大于1(或特征值大于或特征值大于1)的那些因的那些因子，因为方差小于子，因为方差小于1的因子其奉献可能很小；按的因子其奉献可能很小；按照因子的累计方差奉献率来确定，一般认为要到照因子的累计方差奉献率来确定，一般认为要到达达70才能符合要求；才能符合要求；因子旋转因子旋转 通过坐标变换使每个原始变量在尽可能少的因通过坐标变换使每个原始变量在尽可能少的因子之间有密切的关系，这样因子解的实际意义更子之间有密切的关系，这样因子解的实际意义更容易解释容易解释,并为每个潜在因子赋予有实际意义的并为
33、每个潜在因子赋予有实际意义的名字。名字。56 计算因子得分计算因子得分 求出各样本的因子得分，有了因子得分值，求出各样本的因子得分，有了因子得分值，那么可以在许多分析中使用这些因子，例那么可以在许多分析中使用这些因子，例如以因子的得分做聚类分析的变量，做回如以因子的得分做聚类分析的变量，做回归分析中的回归因子。归分析中的回归因子。57通过因子分析，取m 个公共因子 ，以每个公共因子 的方差贡献率为权，构造综合评价函数 按F值的大小对样品进行排序比较或分类。mFFF,21jFpgjj2mmFFFF2211用因子分析方法进展综合评价用因子分析方法进展综合评价58 因子分析是十分主观的，在许多出版的
34、资料中，因子分析模型都用少数可阐述因子提供了合理解释。实际上，绝大多数因子分析并没有产生如此明确的结果。不幸的是，评价因子分析质量的法那么尚未很好量化，质量问题只好依赖一个“哇！准那么 如果在仔细检查因子分析的时候，研究人员如果在仔细检查因子分析的时候，研究人员能够喊出能够喊出“哇，我明白这些因子的时候，就可哇，我明白这些因子的时候，就可看着是成功运用了因子分析方法。看着是成功运用了因子分析方法。59作业：作业：n阐述因子分析的根本思想n因子模型与回归模型相比较之异同n因子分析与主成分分析之比较 proc factor data=文件名 r=v n=？out=文件名文件名1 outstat=文
35、文件名件名2;run;SAS 程序程序data=文件名 r=vn=说明说明指定公共因子的个数指定用于分析的数据文件指定旋转的方法，是rotate=varimax 的缩写，也可以用rotate=quartimax(r=q)out=outstat=文件名自己取，保存原始数据和因子得分文件名自己取，保存因子分析过程中的统计量特别注意，分号表示一个语句的结束，不能遗漏。特别注意，分号表示一个语句的结束，不能遗漏。主成份分析和因子分析的异同n降维、简化数据构造n基于变量之间的内部依赖关系Rn可以用于综合评价n可以用于图解样品n和回归分析结合n因子载荷的统计含义一样之处一样之处主成份分析和因子分析的异同n数学模型不同n主成份是原变量的线性组合，是综合的过程；因子分析实际上是对原变量进展分组n因子载荷矩阵n综合评价函数的构造方法主成份分析：取第一主成份，因子分析：n和回归分析结合时，主成份、公共因子的作用是不同的不同之处不同之处
