1、 二次函数二次函数khxay+)-(= 2 的图象和性质（的图象和性质（第第 2 2 课时课时） 人教版义务教育教科书数学人教版义务教育教科书数学 （九年级上册第二十二章（九年级上册第二十二章 22.1.322.1.3） 授课教师：授课教师： 郝郝 鹏鹏 天津市小东庄中学天津市小东庄中学 指导教师：指导教师： 贯忠喜贯忠喜 天津市东丽区教师进修学校天津市东丽区教师进修学校 杨爱莉杨爱莉 天津市小东庄中学天津市小东庄中学 申申 铁铁 天津市中小学教育教学研究室天津市中小学教育教学研究室 2015 年 10 月 中国教育学会第九届初中青中国教育学会第九届初中青 年数学教师优秀课展示活动年数学教师优
2、秀课展示活动 教学设计教学设计 一、内容和内容解析一、内容和内容解析 1.1.内容内容 二次函数 2 = ( - ) +ya x hk的图象和性质及其应用. 2.2.内容解析内容解析 二次函数是最基本的初等函数之一，是学习后续各类函数的基础.二次函数的核心内容 是二次函数的概念、图象和性质.二次函数的图象和性质的核心，是图象“特征” 、函数“特 征”以及它们之间相互转化关系，这也是二次函数的本质属性所在.二次函数图象和性质， 本身就是“数”与“形”的统一体.通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质， 体现了数形结合的思想方法. 本节课内容属于义务教育数学课程标准（2011 年版） 中的“
3、数与代数”领域，是在 已经学习了二次函数 2 =yax、 2 =+yaxk和 2 = ( - )ya x h的图象和性质的基础上,通过数 形结合的方法引导学生进一步探究二次函数 2 = ( - ) +ya x hk的图象和性质, 并用此函数 模型解决与其相关的实际问题.在具体的探究过程中，从特殊的例子出发，学生同学画图研 究 抛 物 线1-) 1( 2 1 - 2 xy是 由 抛 物 线 2 2 1 -=xy怎 样 平 移 得 到 的 ， 以及 抛 物 线 3)2( 2 1 2 xy是由抛物线 2 2 1 xy怎样平移得到的，再由特殊到一般归纳出抛物线 2 = ( - ) +ya x hk是由
4、抛物线 2 =yax经过怎样的平移变换得到.通过观察二次函数 1-) 1( 2 1 - 2 xy和3)2( 2 1 2 xy的图象，归纳其图象特征与性质，再由特殊到一般 归纳二次函数 2 = ( - ) +ya x hk的图象特征与性质.通过体验函数图象的平移过程,形成良 好的思维方法，通过二次函数图象了解其性质，进一步渗透数形结合的思想.在解决实际问 题的过程中， 体会运用二次函数解决实际问题的作用， 初步体验建立函数模型的过程和方法. 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：观察二次函数 2 = ( - ) +ya x hk的图象，数 形结合地得出它的图象特征和性质. 二、二、目标和目标解析
5、目标和目标解析 1.1.目标目标 （1）理解如何由抛物线 2 =yax通过平移变换得到抛物线 2 = ( - ) +ya x hk，体会由特 殊到一般的研究数学问题的基本方法. （2）通过图象了解二次函数 2 = ( - ) +ya x hk的性质，进一步体会数形结合思想. （3）能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及其性质解决实际问题， 发展学生的应用意识. 2.2.目标解析目标解析 达成目标（1）的标志是：学生能够由特殊到一般概括总结出抛物线 2 =yax通过平移 变换得到抛物线 2 = ( - ) +ya x hk的方法，并能利用此方法解决抛物线之间的平移问题. 达成目标（
6、2）的标志是：经历通过观察二次函数图象得出二次函数 2 = ( - ) +ya x hk性 质的研究过程，进一步体会数形结合思想. 达成目标（3）的标志是：学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程， 进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，并能利用其解决实际问题,发展学生的 应用意识. 三、三、教学问题诊断分析教学问题诊断分析 在本节课之前，学生已经会画二次函数kaxy+= 2 和二次函数 2 )-(=hxay的图象， 并能说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.学生能够指出二次函数 2 = axy与 kaxy+= 2 以及二次函数 2 = axy与 2 )-(=hxay图象间的
7、平移规律.本节课，学生将进一 步研究二次函数 2 = axy与 2 = ( - ) +ya x hk图象间的平移规律，并由此得到二次函数 2 )-(=hxay的性质， 由于学生在对函数图象进行平移时不能有效结合解析式中常量的变化 而变化，容易混淆平移规律. 基于以上分析，本节课的教学难点是：理解如何由抛物线 2 =yax通过平移变换得到抛物 线 2 = ( - ) +ya x hk. 四四、教学、教学支持条件分析支持条件分析 根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术 工具， 以几何画板软件为平台， 绘制二次函数图象， 通过动态的演示， 观察相关数值的变化，
8、研究图象的平移规律. 五五、教学过程设计教学过程设计 1.1.课前准备课前准备 学生课前完成二次函数学生课前完成二次函数 2 2 1 xy 和和 2 ) 1( 2 1 xy的图象的图象. . 学生课前完成二次函数学生课前完成二次函数 2 2 1 xy 和和 2 )2( 2 1 xy的图象的图象. . x -4 -3 -2 -1 0 1 2 2 2 1 xy 2 ) 1( 2 1 xy 1) 1( 2 2 1 xy x -2 -1 0 1 2 3 4 2 2 1 xy 2 )2( 2 1 xy 3)2( 2 2 1 xy 问题问题 1 1 抛物线 2 ) 1+( 2 1 -=xy与抛物线 2 2
9、 1 -=xy有什么关系？ 师生活动师生活动：基于上节课已经研究的问题，学生根据抛物线 2 )(hxay与 2 axy 的 平移规律可回答此题，学生在黑板上进行平移演示. 教师追问教师追问 1 1：抛物线1- 2 1 -= 2 xy与抛物线 2 2 1 -=xy有什么关系？ 师生活动：师生活动：学生根据抛物线 2 axy 与kaxy 2 的平移规律可回答此题，学生在黑 板上进行平移演示. 设计意图：设计意图：通过课前准备，使学生进一步理清抛物线左（右）平移和上（下）平移的规律， 进行必要的知识储备，同时，学生提前完成二次函数 2 2 1 xy和 2 ) 1( 2 1 xy的图象 也为本节课的进
10、一步研究奠定基础. 2.2.合作探究（一）合作探究（一） 猜想猜想验证验证归纳归纳应用应用 问题问题 2 2 根据前面的课前准备， 类比猜想： 抛物线1) 1( 2 2 1 xy 是由抛物线 2 2 1 ) 1( xy 怎样平移得到的? 师生活动：师生活动：教师提出问题后，学生猜想并尝试回答问题.学生根据已有知识经验可猜想 得出抛物线1-) 1+( 2 1 -= 2 xy是由抛物线 2 ) 1( 2 1 -xy向下平移 1 个单位得到的. 教师追问教师追问 1 1： 同学们同意她的猜想吗？猜想是否正确呢？下面我们来画图验证. 师生活动：师生活动：学生带着疑问进入探究环节. 在坐标系中画出二次函
11、数1) 1( 2 2 1 xy 的图象，观察函数 2 ) 1( 2 1 -xy与1-) 1+( 2 1 -= 2 xy的图象验证猜想.小组内交流.学生到 前面展示函数图象，并说明通过点的坐标的变换（自变量不变的情况下函数值减小）验证猜 想. 教师追问教师追问 2 2：（学生展示图象时）（学生展示图象时） 抛物线1) 1( 2 2 1 xy 是由抛物线 2 2 1 xy 怎 样平移得到的？ 师生活动：师生活动：学生观察图象，并得出结论.并在黑板上进行平移示范. 教师追问教师追问 3 3：除此之外，还可以怎样平移？ 师生活动：师生活动：学生再次观察图象，并得出结论. 教师追问教师追问 4 4：观察
12、抛物线1-) 1+( 2 1 -= 2 xy有哪些特点？ 师生活动：师生活动：学生观察抛物线，依据已有知识经验即可说出抛物线1-) 1+( 2 1 -= 2 xy的特 点. 教师追问教师追问 5 5：抛物线3)2( 2 1 2 xy是由抛物线 2 2 1 xy怎样平移得到的？ 师生活动：师生活动：学生根据经验，得出结论.学生再次画抛物线3)2( 2 1 2 xy，将抛物 线 2 2 1 xy、 2 )2( 2 1 xy以及3)2( 2 1 2 xy进行比较验证. 教师追问教师追问 6 6：抛物线3)2( 2 1 2 xy有哪些特点？ 师生活动：师生活动： 学生观察图象并回答. 教师再用几何画板
13、进行演示， 进一步肯定学生的结论， 并总结平移规律. 设计意图：设计意图：教师提出问题，学生带着问题进行探究，在活动中，让学生自己去观察、发 现、总结，实现学生主动参与，探究新知的目的 问题问题 3 3 归纳总结抛物线khxay+)-(= 2 与抛物线 2 = axy的关系；二次函数 khxay+)-(= 2 的图象特征及性质. 师生活动：师生活动：学生先独立完成学案上相关的内容后再小组内交流，并汇报成果.（教师板 书，学生到黑板填空） 学生总结归纳：一般地，抛物线khxay+)-(= 2 与 2 = axy形状相同，位置不同.把抛 物线 2 = axy向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线
14、 2 = ( - ) +ya x hk.平移的方向、 距离要根据h，k的值来决定. 抛物线khxay+)-(= 2 有如下特点： （1）当a0 时，开 口向上；当a0 时，开口向下.（2）对称轴是hx=.（3）顶点是)(kh，.从二次函数 khxay+)-(= 2 的图象可以看出：如果a0，当xh时，y随x的增大而减小，当x h时，y随x的增大而增大；如果a0，当xh时，y随x的增大而增大，当xh时， y随x的增大而减小. 设计意图：设计意图：结合二次函数khxay+)-(= 2 的图象与二次函数 2 = axy的图象只是“位 置”的不同，通过比较共同点与不同点，得到二次函数khxay+)-(
15、= 2 的性质，这与之前 （如教材 31 页的“思考”栏目）的研究思路是一致的，而且更加体现出从“特殊”到“一 般”的过程中， “特殊情况”下所具有的性质，在“一般情况”下具有广泛的迁移性. 问题问题 4 4 抛物线8)5(2 2 xy是由抛物线 2 2xy 经过怎样的平移得到的（ ） A.先向上平移 8 个单位长度，再向左平移 5 个单位长度 B.先向上平移 8 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度 C.先向下平移 8 个单位长度，再向左平移 5 个单位长度 D.先向下平移 8 个单位长度，再向右平移 5 个单位长度 师生活师生活动：动：学生进行辨析练习. 设计意图：设计意图：通过学生进行
16、辨析练习，进一步反馈学生是否已掌握抛物线的平移规律. 问问题题 5 5 抛物线4) 3(2 2 xy开口向 ，对称轴是 ，顶点是 ； 函数4) 3(2 2 xy，当x 时，y随x的增大而减小，当x 时，y随x的增大 而增大. 师生活动：师生活动：学生进行针对性练习. 设计意图：设计意图：考查学生对抛物线 2 axy 与khxay 2 )(的关系及平移规律的掌握情 况. 考查学生对二次函数khxay+)-(= 2 的图象特征的掌握情况以及对二次函数 khxay+)-(= 2 性质的掌握情况. 3.3.合作探究（二）解决实际问题合作探究（二）解决实际问题 问题问题 6 6 例题：要修建一个圆形喷水
17、池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安 一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1m 处达到最高，高度为 3m， 水柱落地处离池中心 3m，水管应多长？ 教师追问教师追问 1 1： （学生读题后，学生读题后，教师将实物图抽象出教师将实物图抽象出数学图形数学图形）解决此题，看到抛物线， 我们需要做什么？ 师生活动：师生活动：教师提问后，学生回答：需要求抛物线解析式. 教师追问教师追问 2 2：要要求抛物线的解析式，我们需要做什么？ 师生活动：师生活动：学生回答：缺少点的坐标，需要建立平面直角坐标系. 教师追问教师追问 3 3：那怎样建立平面直角坐标系呢？下面进行小组讨论.
18、师生活动：师生活动：教师提出问题，学生进行小组讨论后，介绍建平面直角坐标系的方法.明确 建立平面直角坐标系的方法后进行求解.教师展示学生的解题过程. 师生活动：师生活动：例如：以水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水 管所在直线为y轴，建立直角坐标系.点（1,3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛 物线对应的函数 解析式是) 30( 3) 1( 2 xxay.由这段抛物线经过点（3,0） ， 可得3) 13(0 2 a，解得 4 3 a.因此)30(3) 1( 4 3 2 xxy. .当0x时，25. 2y，也就是说，水管应 2.25m 长. B A C 0 . 设计意
19、图：设计意图：教师通过追问，学生明确怎样解决此问题，通过小组合作探究，拓展学生思 维.本题运用了函数模型及数形结合思想解决实际问题，进一步加深学生对二次函数的图象 和性质的认识，体会数学与现实生活的联系，实现知识向能力的转化 4 4. .总结反思总结反思 问题问题 7 7 教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： （1） 本节课研究的主要内容是什么？ （2） 我们是怎么研究的（过程和方法是什么？） 设计意图设计意图：教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对二次函数 khxay 2 )(的图象和性质有一个较为整体、全面认识，同时，使学生养成良好的学 习习惯 5 5
20、. .布置作业布置作业 （1）基础达标：教科书 41 页习题 22.1，第 5 题（2） （3） ，第 7 题（1） （2）反思提升： 如图，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平 距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米若该运动员身高 1.8 米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25 米处出手，问：球出 手时，他跳离地面的高度是多少？ 设计意图：设计意图：考查学生利用本节课所学内容解决实际问题的能力. 六、目标检测设计六、目标检测设计 1.1.抛物线 3)7(3 2 xy可由抛物线 2 3xy
21、先向 平移 个单位，再向 平 移 个单位得到. 设计意图：设计意图：考查学生对二次函数解析式中h、k的理解以及抛物线平移的掌握情况. 教学设计说明教学设计说明 一、一、本课数学内容的本质、地位、作用分析本课数学内容的本质、地位、作用分析 本节课内容属于义务教育数学课程标准（2011 年版） 中的“数与代数”领域，是在 已经学习了平面直角坐标系、一次函数、二次函数 2 =yax的基础上，进一步研究二次函数 2 = ( - ) +ya x hk的图象，并通过图象的研究和分析，来确定二次函数 2 = ( - ) +ya x hk的 性质. 二次函数是最基本的初等函数之一，是学习后续各类函数的基础.二
22、次函数的核心内容 是二次函数的概念、图象和性质.二次函数的图象和性质的核心，是图象“特征” 、函数“特 征”以及它们之间相互转化关系，这也是二次函数的本质属性所在.二次函数图象和性质， 本身就是“数”与“形”的统一体。通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质， 体现了数形结合的思想方法.通过由抛物线 2 =yax平移变换到抛物线 2 = ( - ) +ya x hk， 体 验函数图象的平移过程,形成良好的思维方法，通过图象了解二次函数 2 = ( - ) +ya x hk的 性质，进一步体会数形结合思想. 二、教学目标分析二、教学目标分析 （1）理解如何由抛物线 2 =yax通过平移变换
23、得到抛物线 2 = ( - ) +ya x hk，体会由特 殊到一般的研究数学问题的基本方法. （2）通过图象了解二次函数 2 = ( - ) +ya x hk的性质，进一步体会数形结合思想. （3）能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及其性质解决实际问题， 发展学生的应用意识. 三、教学问题诊断三、教学问题诊断 在本节课之前，学生已经会画二次函数kaxy+= 2 和二次函数 2 )-(=hxay的图象， 并能说出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.学生能够指出二次函数 2 = axy与 kaxy+= 2 以及二次函数 2 = axy与 2 )-(=hxay图象间的平移规律.本节课
24、，学生将进一 步研究二次函数 2 = axy与 2 = ( - ) +ya x hk图象间的平移规律，并由此得到二次函数 2 )-(=hxay的性质， 由于学生在对函数图象进行平移时不能有效结合解析式中常量的变化 而变化，容易混淆平移规律. 基于以上分析，本节课的教学难点是：理解如何由抛物线 2 =yax通过平移变换得到抛 物线 2 = ( - ) +ya x hk. 四、教法、学法特点四、教法、学法特点分析分析 1.找准切入点 本节课， 以类比的方法， 引出本节课新内容， 激发了学生的学习兴趣， 明确了学习任务， 渗透探究二次函数图象和性质的方法. 2.抓住关键点（学生提前准备） 准确做出二
25、次函数的图象是探究性质的前提， 因此， 学生在作图时应注意以下几个问题： （1） 列表时应选取恰当的点，同时增加描点的准确性. （2） 连线时防止要用平滑的曲线，防止学生将曲线连成折线. 3.围绕两个探究，以问题为主线 本节课，围绕两个探究，问题一直贯穿其中，以问题为主线，层层推进.学生自主探究 与小组讨论相结合，把教学重心转移到引导学生探索知识的产生、发展与形成过程上来. 4.突破重难点 根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术 工具，学生的实际操作以及几何画板软件，绘制二次函数图象，通过动态的演示，观察相关 数值的变化，研究图象的平移规律. 5.注重思想
26、方法的培养 本节课内容属于义务教育数学课程标准（2011 年版） 中的“数与代数”领域，是在 已经学习了二次函数 2 =yax、 2 =+yaxk和 2 = ( - )ya x h的图象和性质的基础上,通过数 形结合的方法引导学生进一步探究二次函数 2 = ( - ) +ya x hk的图象和性质, 并用此函数 模型解决与其相关的实际问题.在具体的探究过程中，从特殊的例子出发，学生同学画图研 究 抛 物 线1-) 1( 2 1 - 2 xy是 由 抛 物 线 2 2 1 -=xy怎 样 平 移 得 到 的 ， 以及 抛 物 线 3)2( 2 1 2 xy是由抛物线 2 2 1 xy怎样平移得到
27、的，再由特殊到一般归纳出抛物线 2 = ( - ) +ya x hk是由抛物线 2 =yax经过怎样的平移变换得到.通过观察二次函数 1-) 1( 2 1 - 2 xy和3)2( 2 1 2 xy的图象，归纳其图象特征与性质，再由特殊到一般 归纳二次函数 2 = ( - ) +ya x hk的图象特征与性质.通过体验函数图象的平移过程,形成良 好的思维方法，通过二次函数图象了解其性质，进一步渗透数形结合的思想.在解决实际问 题的过程中， 体会运用二次函数解决实际问题的作用， 初步体验建立函数模型的过程和方法. 6注重学法指导 对于二次函数图象及性质的研究与学习， 尽管还处于函数学习的初级阶段， 但它所体现 的函数学习的一般规律和方法，是继一次函数学习之后的再一次强化教材中呈现的“函数 概念函数的图象和性质函数的实际应用” 的结构， 是学习初等函数时不可或缺的 使 学生理解这样的“同构现象” ，对于明确学习任务，建立完善的认知结构也将是非常有意义 的利用图象“特征”确定函数“特性” ，也是初中阶段研究函数性质的常用方法
