1、第第 2 章随机过程章随机过程 通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络）后，输出过程将是什么样的过程？这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即2.4 随机过程通过线性系统随机过程通过线性系统d)()()()()(0thvthtvtvii（2.4-1）第第 2 章随机过程章随机过程或若 )()
2、(00Vtv，)()(iiVtv，)()(Hth，则有)()()(0iVHV（2.4-2）若线性系统是物理可实现的，则 d)()()(0thvtvti00d)()()(tvhtvi（2.4-3）（2.4-4）第第 2 章随机过程章随机过程 如果把vi(t)看作是输入随机过程的一个样本，则v0(t)可看作是输出随机过程的一个样本。显然，输入过程i(t)的每个样本与输出过程0(t)的相应样本之间都满足式（2.4-4）的关系。这样，就整个过程而言，便有00)d()()(thti(2.4-5)假定输入i(t)是平稳随机过程，现在来分析系统的输出过程0(t)的统计特性。我们先确定输出过程的数学期望、自相
3、关函数及功率谱密度，然后讨论输出过程的概率分布问题。第第 2 章随机过程章随机过程1.输出过程输出过程o(t)的数学期望的数学期望 对式（2.4-5）两边取统计平均，有 式中利用了平稳性假设Ei(t-)=Ei(t)=a(常数)。又因为0000)()()()()()(dhadtEhdthEtEii0tjde)()(tthH第第 2 章随机过程章随机过程求得所以 由此可见,输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数H(0)的乘积，且Eo(t)与t无关。0d)()0(tthH)0()(0HatE（2.4-6）第第 2 章随机过程章随机过程根据平稳性 2.输出过程输出过程o(t)的自相关函
4、数的自相关函数 ddttEhhdthdthEttEttRiiii)()()()()()()()()()(),(110010101010110)()()(11iiiRttE有)()()()(),(000110RddRhhttRi（2.4-7）第第 2 章随机过程章随机过程 可见，的自相关函数只依赖时间间隔 ，而与时间起点t0 无关。由以上输出过程的数学期望和自相关函数证明：若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平稳的。也是平稳的。ot ot ot第第 2 章随机过程章随机过程 3.输出过程输出过程0(t)的功率谱密度的功率谱密度 对式（2.4-7
5、）进行傅里叶变换,有令则有即 0 000)()()()()(deddRhhdeRPjij000)()()()(deRdehdehPjijj)()()()()()(20iiPHPHHP（2.4-8）第第 2 章随机过程章随机过程 可见，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pi()与系统功率传输函数|H()|2的乘积。这是十分有用的一个重要公式。当我们想得到输出过程的自相关函数Ro()时，比较简单的方法是先计算出功率谱密度Po()，然后求其反变换，这比直接计算Ro()要简便得多。第第 2 章随机过程章随机过程 【例例2-2】带限白噪声带限白噪声。试求功率谱密度为n0/2的白噪声通过理想矩形的低通滤波
6、器后的功率谱密度、自相关函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为其他0)(0HtjeKH第第 2 章随机过程章随机过程解解由上式得|H()|2=K20，|H。输出功率谱密度为 HinKPHP2)()()(02020可见，输出噪声的功率谱密度在|H内是均匀的，在此范围外则为零，如图2-5（a）所示，通常把这样的噪声称为带限白噪声。其自相关函数为 0022001()()22HHjfjffRPednKedf 200sinHHHK n f 第第 2 章随机过程章随机过程图2-5 带限白噪声的功率谱和自相关函数第第 2 章随机过程章随机过程 式中，H=2fH。由此可见，带限白噪声只有在=k/2fH(k=
7、1,2,3,)上得到的随机变量才不相关。它告诉我们，如果对带限白噪声按抽样定理抽样的话，则各抽样值是互不相关的随机变量。这是一个很重要的概念。如图 2-5（b）所示，带限白噪声的自相关函数Ro()在=0 处有最大值，这就是带限白噪声的平均功率:HfnKR0200)0(第第 2 章随机过程章随机过程d)()(00thi 总可以确定输出过程的分布。其中一个十分有用的情形是：如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。高斯型的。因为从积分原理来看，上式可表示为一个和式的极限，即kkkkrhttk)()(lim)(0100 4.输出过程输出过程0(t)的概率分布的概率分布 从原理上看，在已知输入过程分布的情况下，通过式（2.4-5），即第第 2 章随机过程章随机过程 由于i(t)已假设是高斯型的，所以，在任一时刻的每项i(t-k)h(k)k都是一个高斯随机变量。因此，输出过程在任一时刻得到的每一随机变量，都是无限多个高斯随机变量之和。由概率论得知，这个“和”的随机变量也是高斯随机变量。这就证明，高斯过程经过线性系统后其输出过程 仍为高斯过程。更一般地说，高斯过程经线性变换后的过程仍为高斯过程。但要注意，由于线性系统的介入，与输入高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了。
