1、1Ch10.2 Ch10.2 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法一、一、正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 二、交错级数二、交错级数三、绝对收敛、条件收敛三、绝对收敛、条件收敛2一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法 1.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件(1).(1).定义定义:，中各项均有中各项均有如果级数如果级数01 nnnuu这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.(2).(2).正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:定理定理.有有界界部部分分和和所所成成的的数数列列正正项项级级数数收收敛敛ns部分和数列部分和数列 sn 为单调增加数列为单调增加数列.为正
2、项级数，则为正项级数，则如果级数如果级数 1nnu3且且),2,1(nvunn,若若 1nnv收敛收敛,则则 1nnu收敛；收敛；反之，若反之，若 1nnu发散，则发散，则 1nnv发散发散.证明证明nnuuus 21且且 1)1(nnv 设设,nnvu ,即部分和数列有界即部分和数列有界.1收敛收敛 nnu均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvu2.比较审敛法比较审敛法nvvv 21用反证法用反证法)2(4推推论论:若若 1nnu收收敛敛(发发散散)且且)(nnnnvkuNnkuv ,则则 1nnv收收敛敛(发发散散).比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数
3、.例例 1 1 讨讨论论 P P-级级数数 ppppn14131211的的收收敛敛性性.)0(p解解,1 p设设,11nnp.级数发散级数发散则则 P,1 p设设由图可知由图可知oyx)1(1 pxyp12345oyx)1(1 pxyp1234 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.级数收敛级数收敛则则 P 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,11:1ppnPnp重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-,P-级数级数,调和级数调和级数.6例例 2 2 证明级数证明级数 1
4、)1(1nnn是发散的是发散的.证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发散发散而级数而级数.)1(11 nnn发散发散级数级数收敛。收敛。所以所以 2211nn221(1)(2)nnn 由由于于22111(1)nunn 故故221(1)nn 而收敛，而收敛，2211nn对对于于例例373.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 1nnv发散发散,则则 1nnu发散发散;,liml
5、vunnn l00 l l 1nnv 1nnu8证明证明lvunnn lim)1(由由,02 l 对于对于,N,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.(2)(3)的证法相同。的证法相同。9例例4 收敛。收敛。所以所以 12)11ln(nn11)11ln(lim22 nnn收敛，收敛，而而 121nn 12)11ln()1(nn 131)2(nnnnnnn3131lim nnn311lim ,1,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.10例例5 111sinlim nnn由于由于 11sinnn所以原级数所
6、以原级数 发散。发散。注注2：比较法中常用的比较法中常用的“标准标准”：p-级数、级数、调和级调和级数、等比级数数、等比级数1116ln(),1nnnn 例例 所给级数收敛。所给级数收敛。11)11ln(11lim2/3 nnnn解：解：收敛，故收敛，故而而 12/31nn.1,1级数做比较级数做比较选择选择较易观察出来，则一般较易观察出来，则一般的阶的阶关于无穷小关于无穷小时，时，若当若当对于正项级数对于正项级数 pnununnn注注1：11设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时时级级数数收收敛敛;1 时时级级数数发发散散;1 时时失失效效.证
7、明证明,为有限数时为有限数时当当,0 对对,N,时时当当Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即4.比值审敛法（达朗贝尔比值审敛法（达朗贝尔DAlembert判别法）判别法）12,1时时当当 ,1时时当当 ,取适当小的取适当小的,1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收敛收敛而级数而级数,11收敛收敛 NnnmmNuu故原级数收敛故原级数收敛,1 r使使,时时当当Nn ,1nnnuruu .0lim nnu原级数发散原级数发散,取适当小的取适当小的13比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.两点注意两点
8、注意:1 1.当当1 时时比比值值审审敛敛法法失失效效;,11发散发散级数级数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn)1(14,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不存在nnnnnauu 2 2.条条件件是是充充分分的的,而而非非必必要要.15例例6 判断下列各级数的敛散性判断下列各级数的敛散性,2)1(13 nnn,!)2(1 nnne,ln)4(22 nnn 1)0(!)3(nnann解：（解：（1）22)1(limlim3131
9、nnuunnnnnn 21)11(21lim3 nn收收敛敛。所所以以 132nnn16（2）!)!1(limlim11nnnnnnenneuu 01lim nen收敛。收敛。所以所以 1!nnne!)1()!1(limlim)3(11nnnnuunnnnnn 11)11(1lim)1(lim ennnnnnnn则级数收敛。则级数收敛。10.!lim !1nnnnnnnn收敛，则收敛，则因为因为：注注17注注2：用比值法失效，一般用比较法。：用比值法失效，一般用比较法。比值法失效。比值法失效。1ln)1()1ln(limlim)4(221 nnnnuunnnn 12/311nnnnv取取2/1
10、2/1lnlimlnlimlimxxnnvuxnnnn 则则02lim211lim2/1 xxxxx所以原级数收敛。所以原级数收敛。185.根值审敛法（柯西判别法）根值审敛法（柯西判别法）定理定理 对于正项级数对于正项级数,1 nnu，若若 nnnulim证明：证明：(i)当当1时，取一适当小的正数时，取一适当小的正数，使，使+=r 1。1 runn ,nnru 即有即有 收收敛敛，而而 1nnr收收敛敛。1nnu(ii)略略(iii)=1时，仍以时，仍以p-级数为例级数为例 则当则当1时级数发散，时级数发散，=1失效。失效。由极限定义，存在由极限定义，存在m，当，当nm时时19例例7 判别下
11、列级数的敛散性判别下列级数的敛散性 1)(ln1)1(nnn解：解：，该级数收敛。，该级数收敛。0ln1limlim)1(nunnnn该级数发散。该级数发散。,1282lim82lim)2(lnln nnnnnnn 1ln82)2(nnn20的阶，用比较判别法。的阶，用比较判别法。若能求出若能求出总结：总结：n11时，用根值判别法。时，用根值判别法。含有含有当当nnnnau,2时，用比值判别法。时，用比值判别法。含有含有当当!,3nnaunnn例例8 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性 13)1(23nnnnn用用比比值值，收收敛敛。,123)1(2333nnnnnnn 注意：两种方法结
12、合使用。注意：两种方法结合使用。21二、交错级数二、交错级数 1 定义：定义：交错级数：交错级数：u1u2+u3+(1)n-1 un+2 莱布尼兹定理莱布尼兹定理：如果交错级数如果交错级数nnnu 11)1(11 ,nnurus证明：证明：)()()(21243212nnnuuuuuuS )()(54321uuuuu nnnuuu21222)(其中其中uk0(k=1，2，)。或或u1+u2u3+(1)n un+un 0(n)，则级数收敛，且其和则级数收敛，且其和满足条件满足条件1)(nnuui)(ii22由前一式知由前一式知S2n单调增加，由后一式知单调增加，由后一式知S2n u1。.,lim
13、12uSSSnn 则则存存在在，记记为为由数列判敛的单调有界准则知由数列判敛的单调有界准则知:)(limlim12212 nnnnnuSSSuSnnnn 122limlim。所所以以SSnn lim它也满足收敛的两个条件，它也满足收敛的两个条件，1 nnur于是有于是有 右端也是一交错级数，右端也是一交错级数，.)(21 nnnuur.|21 nnnuur23说明：说明：单调减少不是交错级数单调减少不是交错级数)0()1(11 nnnnuu例例 交错级数交错级数 nn 1)1(4131211收敛收敛 时收敛。时收敛。当当数数更一般的结论：交错级更一般的结论：交错级0)1(2 Pnnpn收敛的必
14、要条件。收敛的必要条件。24例例1 考察级数考察级数解：这是一个交错级数解：这是一个交错级数)(01 nnnun显显然然的的敛敛散散性性。11)1(nnnn而而22212)1(21 nnnnuunn0)1(13)1()2()1(2222223 nnnnnnnnn所以单调减少。依莱布尼兹定理知所以单调减少。依莱布尼兹定理知 级数收敛级数收敛 25un单调减的判断，也可利用导数，具体做法如下：单调减的判断，也可利用导数，具体做法如下：令令 ),1(1)(xxxxf0)1(2212)1(222 xxxxxxx所以所以f(x)在在1,+上单调减少，所以上单调减少，所以un=f(n)单调减少。单调减少。
15、2112)(xxxxxf 则则 注：注：26三、条件收敛与绝对收敛三、条件收敛与绝对收敛 下面讨论一般项级数下面讨论一般项级数 u1+u2+u3+un+其中其中un为任意实数。为任意实数。1、定理、定理 对于级数对于级数 收敛，收敛，若级数若级数 1|nnu,1 nnu证明：令证明：令 ),(21nnnuuv 另一方面，另一方面，un=2 vn|un|，于是于是)2(11 nnnnnuvu 112nnnnuv也收敛。也收敛。依正项级数的比较审敛法，依正项级数的比较审敛法，收敛，收敛，12nnv进而知进而知 收敛，收敛，知知 1nnv也收敛。也收敛。则级数则级数 1nnu显然有显然有0vn|un
16、|。27例例2 121)1(nnn绝对收敛；绝对收敛；条件收敛；条件收敛；1)1(nnn绝绝对对收收敛敛。1nnu级数级数收敛时，我们称任意项收敛时，我们称任意项当当 1|nnu发散，发散，而而 1|nnu收收敛敛，如如果果 1nnu为为条条件件收收敛敛。称称 1nnu28例例3 判别级数判别级数 12sinnnn 解：解：221sinnnn 绝绝对对收收敛敛。所所以以 12sinnnn 一一定定发发散散。则则 1nnu注：注：1nnu发散，发散，1|nnu确定确定发散时，我们一般不能发散时，我们一般不能当当 1|nnu也发散也发散但是，如果我们是用比值法或根值法判定但是，如果我们是用比值法或根值法判定的收敛性。的收敛性。29例例4 判别判别2)11(21)1(1nnnnn 解：这是一个交错级数，解：这是一个交错级数，12 ),(2)11(21|enenunnn0lim nnu所以所以例例5 判断判断 1)11ln()1(nnn解：解：)(1)11ln(nnnun所以原级数不绝对收敛。所以原级数不绝对收敛。的收敛性。的收敛性。的敛散性。的敛散性。该级数发散。该级数发散。,0)11ln(lim nn但但单调递减，单调递减，且且)11ln(n 所以原级数条件收敛。所以原级数条件收敛。
