1、2022-11-261第第 5 章章2022-11-2625-1 应用虚力原理求刚体体系的位移应用虚力原理求刚体体系的位移一、推导位移计算一般公式的基本思路一、推导位移计算一般公式的基本思路1）讨论）讨论静定结构由于支座移动而引起的位移计算问题静定结构由于支座移动而引起的位移计算问题。刚体体系的位移刚体体系的位移问题，将应用刚体体系虚力原理导出其位移计算公式。问题，将应用刚体体系虚力原理导出其位移计算公式。2）讨论讨论静定结构由于局部变形静定结构由于局部变形（例如结构中某个微段产生拉伸、剪切、（例如结构中某个微段产生拉伸、剪切、弯曲变形，而结构其它部分没有变形，仍为刚体）弯曲变形，而结构其它部
2、分没有变形，仍为刚体）而引起的位移而引起的位移。仍是刚仍是刚体体系的位移问题，仍由刚体体系虚力原理导出其位移计算公式。体体系的位移问题，仍由刚体体系虚力原理导出其位移计算公式。3）讨论讨论静定结构由于整体变形静定结构由于整体变形（结构杆件中各个微段都产生变形）（结构杆件中各个微段都产生变形）而引而引起的位移起的位移。应用第二步导出的关于局部变形引起的位移计算公式，再应用。应用第二步导出的关于局部变形引起的位移计算公式，再应用叠加原理，即可得到关于整体变形引起的位移计算公式。叠加原理，即可得到关于整体变形引起的位移计算公式。基本思路是基本思路是“化整为零和积零为整化整为零和积零为整”：把：把结构
3、的整体变形分解为局部变形结构的整体变形分解为局部变形，先应用刚体体系的虚力原理导出局部变形的位移公式，然后应用先应用刚体体系的虚力原理导出局部变形的位移公式，然后应用叠加原理，叠加原理，导出整体变形时的位移公式导出整体变形时的位移公式。推导位移计算公式的两种途径推导位移计算公式的两种途径由变形体虚功原理来推导；由变形体虚功原理来推导；由刚体虚功原理来推导由刚体虚功原理来推导局部到整体局部到整体。2022-11-263二、结构位移计算概述二、结构位移计算概述计算位移的目的计算位移的目的：（：（1）刚度验算，（）刚度验算，（2）超静定结构分析的基础）超静定结构分析的基础产生位移的原因产生位移的原因
4、:(1)荷载荷载cc1t12tt （2）温度变化、材料胀缩）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差）支座沉降、制造误差AVBV以上都是绝对位移以上都是绝对位移以上都是相对位移以上都是相对位移广义位移广义位移位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便2022-11-264结构各点产生位移时，结构内部是否也同时产生应变？结构各点产生位移时，结构内部是否也同时产生应变？1）支座位移：刚体位移，应变为支座位移：刚体位移，应变为 0；2）荷载作用在静定结构：各点产生线位移（挠度）；同时，梁内由荷载作用在静定结构：各点产生线位移（挠度）；同时，梁内由于
5、承受弯矩而产生曲率和应变（一侧纤维受拉，一侧纤维受压）。于承受弯矩而产生曲率和应变（一侧纤维受拉，一侧纤维受压）。2022-11-265abABC1c?P=1ABCab1R三、虚力原理三、虚力原理已知已知1c求求虚功方程虚功方程虚设力系状态，虚设力系状态，平衡条件求反力平衡条件求反力 abR0bPaR111110R c 1 11bRcca 小结：小结：（1）形式是虚功方程，实质是几何方程；）形式是虚功方程，实质是几何方程；（2）在拟求位移方向虚设单位荷载，利用平衡条件求出与已知位移相）在拟求位移方向虚设单位荷载，利用平衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。应的支座反力。构造一个平衡力系构造一个
6、平衡力系；（3）特点是用静力平衡方法解决几何问题。）特点是用静力平衡方法解决几何问题。单位荷载法单位荷载法 单位位移法单位位移法单位荷载做的虚功正好等于拟求位移。单位荷载做的虚功正好等于拟求位移。虚设力系求刚体体系位移虚设力系求刚体体系位移2022-11-266四、支座位移时静定结构的位移计算四、支座位移时静定结构的位移计算（1）C点的竖向位移点的竖向位移c（2）杆）杆CD的转角的转角l3l 23lABCDABCD13132ABCD1l 21l2l 23已知位移已知位移Ac求求:cAc 11103cAc Acc31 02112AclAcl 21 所得正号表明位移方所得正号表明位移方向与假设的单
7、位力方向向与假设的单位力方向一致。一致。求解步求解步骤骤（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；（3）解方程得）解方程得kkcR 定出方向。定出方向。（2）建立虚功方程）建立虚功方程01kkcR2022-11-2675-2 5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式 变形体的位移计算，虚功法，变形体的位移计算，虚功法，步骤：局部变形时的位移公式，叠加原理，整体变形时的位移步骤：局部变形时的位移公式，叠加原理，整体变形时的位移一、局部变形时静定结构的位移计算举例一、局部变形时静定结构的位移计算举例设静定结构中设静定结构中某个微段出现局部变形某个微
8、段出现局部变形（由于制造误差或其（由于制造误差或其他原因造成微段的拉伸、剪切、弯曲变形），微段两端相他原因造成微段的拉伸、剪切、弯曲变形），微段两端相邻截面出现相对位移，而邻截面出现相对位移，而结构的其它部分没有变形、仍旧结构的其它部分没有变形、仍旧是刚体是刚体。刚体中局部变形刚体中局部变形当当某个微段有局部变形时静定结构的位移计算问题可以归某个微段有局部变形时静定结构的位移计算问题可以归结为当该处相邻截面有相对位移时刚体体系的位移计算结为当该处相邻截面有相对位移时刚体体系的位移计算问问题。题。虚力原理：求何施加单位力，虚力方程解位移虚力原理：求何施加单位力，虚力方程解位移2022-11-26
9、8dBAaamaaBAdm1aaABMiiaMsin1虚功方程：虚功方程：01dMmdMmBAiiBAQdQ1AQsin1Q01dQQdQQ 例例1、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面B处由于某种原因处由于某种原因产生相对转角产生相对转角d，试求，试求A点在点在ii方向的方向的位移位移 。m 例例2、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面B处由于某种原因处由于某种原因产生相对剪位移产生相对剪位移d，试求试求A点在点在ii方向方向的位移的位移 。Q2022-11-269 例例3、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移处由于某种原因产生轴向位移d 试求试求A点在点在方向的位移方向的位移 。NBABAi
10、i NNBA 1NN由平衡条件：由平衡条件：cos1N虚功方程：虚功方程：01dNNdNN 当截面当截面B同时产生三种相对位移时，在同时产生三种相对位移时，在ii方向所产生的位移方向所产生的位移，即是三者的叠加，有：即是三者的叠加，有：dNdQdMNQMd2022-11-26105-2 5-2 结构位移计算的一般公式结构位移计算的一般公式二、局部变形时的位移计算公式二、局部变形时的位移计算公式基本思路：基本思路：dsdddRii ddsddsddRdsR1（1）三种变形：）三种变形：在刚性杆中，取微段在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形设为变形体，分析局部变形所引起的位移。所引起的位
11、移。2022-11-2611dsRdsddsddsddsdddRiiddsddsddRds 1Q,N,M（2）微段两端相对位移：）微段两端相对位移：,0ds 设设 微段的变形以截面微段的变形以截面B左右两端的相对位移的形左右两端的相对位移的形式出现，式出现，即刚体位移即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。，于是可以利用刚体虚功原理求位移。（3）应用刚体虚功原理求位移）应用刚体虚功原理求位移d 即前例的结论。即前例的结论。dQdNdMdQNM或或ds)QNM(d2022-11-2612三、结构位移计算的一般公式三、结构位移计算的一般公式iids)QNM(d一根杆件各个微段变形引起的位移总和
12、：一根杆件各个微段变形引起的位移总和：ds)QNM(d如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：ds)QNM(若结构的支座还有位移，则总的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：kkcRds)QNM(2022-11-2613kkcRds)QNM(单位荷载法适用范围与特点单位荷载法适用范围与特点：2）形式上是虚功方程，实质是几何方程。形式上是虚功方程，实质是几何方程。公式普遍性的讨论：公式普遍性的讨论：（1）变形类型：拉伸变形、剪切变形、弯曲变形。）变形类型：拉伸变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载因素。
13、）变形原因：荷载与非荷载因素。（3）结构类型：静定、超静定结构，刚架、桁架、拱。）结构类型：静定、超静定结构，刚架、桁架、拱。（4）材料种类：弹性、非弹性材料。）材料种类：弹性、非弹性材料。1）适于小变形，可用叠加原理。适于小变形，可用叠加原理。“求何施加单位力，虚力方程解位移。求何施加单位力，虚力方程解位移。”2022-11-2614位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。kkcRds)QNM(1c2cdsds1t2tKK 11R2RdsddsdddsdsdsMdsNdsQ外虚功：外虚功：kkecR1W内虚功：内虚功：dsQNMWi变形体虚功原
14、理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi，等于荷载在位等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We。即：即：dsQNMcRkk12022-11-2615四、位移计算的一般步骤四、位移计算的一般步骤:1c2c1t2tKK 11R2R实际变形状态虚力状态kkcRds)QNM(1)建立虚力状态：在待求位移方向上虚设单位荷载；建立虚力状态：在待求位移方向上虚设单位荷载；(2)求虚力状态下的内力及反力求虚力状态下的内力及反力kR.Q.N.M表达式表达式;(3)用位移公式计算所求位移，注意正负号
15、问题。用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。kR.Q.N.M2022-11-2616 五、广义荷载与广义位移五、广义荷载与广义位移 作功的两方面因素：荷载、位移作功的两方面因素：荷载、位移。与力有关的因素，称为广义荷载。与力有关的因素，称为广义荷载F。与。与位移有关的因素，称为广义位移位移有关的因素，称为广义位移。广义荷载与广义位移的关系广义荷载与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：是：它们的乘积是虚功。即：T=F1）广义荷载是单个力广义荷载是单个力，则，则广义位移广义位移是该力作用点的位移在力作用方向上的分量是该力作用点的位移在力作用方向上的分量Pm2）广义荷载是）广义荷载是一个力偶一
16、个力偶，则，则广义位移是它所作用的截面的转角广义位移是它所作用的截面的转角。3）若广义荷载是等值、反向的）若广义荷载是等值、反向的一对力一对力PPPttABBA这里这里是与广义荷载相应的广义位移。是与广义荷载相应的广义位移。表示表示AB两点间距的改变，即两点间距的改变，即AB两点的相对位移两点的相对位移。4）若广义荷载是一对）若广义荷载是一对等值、反向的力偶等值、反向的力偶 mABmm A B这里这里是与广义荷载相应的广义位移。是与广义荷载相应的广义位移。表示表示AB两截面的相对转角两截面的相对转角。共轭力、共轭力、共轭位移共轭位移BAPPT)(BAP PBAmmT)(BAm m2022-11
17、-26175-3 5-3 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算研究对象：静定结构、线性弹性材料。研究对象：静定结构、线性弹性材料。ds)QNM(重点在于解决荷载作用下应变重点在于解决荷载作用下应变 的表达式。的表达式。、一、计算步骤一、计算步骤（1）在荷载作用下建立）在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载的方程，可经由荷载内力内力应力应力应变应变 过程推导应变表达式。过程推导应变表达式。PPPQ.N.M（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知GAQkEANEIMPPPk-为截面形状系数为截面形状系数1.29101AA(3)荷载作用下的位移计
18、算公式荷载作用下的位移计算公式dsGAQQkdsEANNdsEIMMPPP2022-11-2618二、各类结构的位移计算公式二、各类结构的位移计算公式（1 1）梁与刚架）梁与刚架dsEIMMP（2 2）桁架）桁架EAlNNdsEANNdsEANNPPP（3 3）拱、组合结构）拱、组合结构dsEANNdsEIMMPP2022-11-26195-4 荷载作用下的位移计算举例荷载作用下的位移计算举例(积分法积分法)2022-11-2620q2l2lACBAV(a)实际变形状态实际变形状态xP=1ACB2l2l(b)虚设力系状态虚设力系状态AC段段2lx00NP0MP0QP0NxM1QCB段段lx2l
19、0NP2P2lx2qM2lxqQP0N xM1Qx例例1.试计算悬臂梁试计算悬臂梁A点的竖向位移点的竖向位移CEI,AV。1）列出两种状态）列出两种状态的内力方程：的内力方程：2022-11-2621AC段段2lx00NP0MP0QP0N xM1QCB段段lx2l0NP2P2lx2qM2lxqQP0N xM1Q2)将上面各式代入位移公式分段积分计算将上面各式代入位移公式分段积分计算AVAC段段2lx0在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。CB段段lx2lllPP2l2ldxGAQQkdxEIMMl2lPM2l2lEIdx2lx2qxdxEIMM EI3
20、84ql7192l7EI2q442022-11-2622CB段段lx2l0NP2P2lx2qM2lxqQP0N xM1Ql2lPM2l2lEIdx2lx2qxdxEIMM EI384ql7192l7EI2q44 l2lPQ2l2lGA20ql3GAdx2lxq12.1dxGAQQkGA20ql3EI384ql724QM设为矩形截面设为矩形截面 k=1.22022-11-26233）讨论）讨论比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。GAqlEIqlQM20338472424223.83847203GAlEIEIqlGAqlMQ设材料的泊松比设材料的泊松比 ,由材料
21、力学公式由材料力学公式 。313812GE设矩形截面的宽度为设矩形截面的宽度为b、高度为、高度为h，则有，则有,12bhI,bhA3代入上式代入上式22283.11213823.823.8lhlhGAlEIMQ11,1.83%;,7.32%105QQMMhhll当时当时2022-11-26242P2PPm/NqP4qlP 1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.0PN10.50.5-1.58-1.58001.51.5N2P2P例例2 计算屋架顶点的竖向位移。计算屋架顶点的竖向位移。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGB2022-11-26251111.5
22、1.5-4.74-4.42-0.954.51.53.0PN10.50.5-1.58-1.58001.51.5NEAlNNPCADDCDE材料杆件PNNlAEAlNNPEAlNNP钢筋砼钢CEAEEGccAEPl97.1ccAEPl81.3ssAEPl63.0ssAEPl13.1ssccCEAEAPl13.181.32ABCDEFGP74.458.1l263.0P42.458.1l263.0cAcAccAEPl84.1P95.00l088.0cA75.00P50.10l278.0sA0P50.450.1l278.0sA3P00.350.1l222.0sA2ssAEPl50.02022-11-26
23、26PP=1例例3：求图示曲杆（：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移圆弧）顶点的竖向位移。解：解：1）虚设单位荷载）虚设单位荷载虚设荷载虚设荷载3）位移公式为）位移公式为ds=Rddds钢筋混凝土结构钢筋混凝土结构G0.4E矩形截面矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001MN4001MQ2=MNARI2412=MQRhGAREIk 可见剪切变形和轴向变形可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略引起的位移不可忽略.2）实际荷载）实际荷载h101R如如2
24、121RhsinPRMPcosPQPsinPNPsinRMsinN cosQdsGAQkQdsEANNdsEIMMPPP2022023cossindGAkPRdEAPREIPRGAkPREAPREIPR4443QNM2022-11-2627Pl/2l/2EIABx1x2例例4：求图示等截面梁：求图示等截面梁B端转角。端转角。解：解：1）虚设单位荷载）虚设单位荷载m=1 AB相对转角？相对转角？积分常可用图形相乘来代替2）MP 须分段写须分段写)20(2)(lxPxxMP)2(2)()(lxlxlPxMP)0()(lxlxxMlPBdxEIMM0llldxEIlxxlPdxEIlxPx2201)(2)(1)(2EIPl1622022-11-2628作业：作业：5-8，9，10
