1、2010-10-71五、拉氏变换和拉氏反变换拉氏变换设函数f(t)(t0)在任一有限区间上分段连续，且存在一正常数，使得 则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：式中：s=+j(,均为实数)2010-10-72拉氏反变换 L-1为拉氏反变换的符号。称为拉普拉氏积分；F(s)称为函数f(t)拉普拉氏变换或象函数，它是一个复变函数；f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的变换符号。几种典型函数的拉氏变换单位阶跃函数1（t）2010-10-74指数函数f(t)=e-at (a为常数)2010-10-75正弦函数和余弦函数由欧拉公式，有：2010-10-76从而2010-10-77单位脉冲函数
2、（t）由洛必达法则：2010-10-78单位速度函数2010-10-79单位加速度函数函数的拉氏变换及反变换通常可以由拉氏变换表直接或通过一定的转换得到。2010-10-710拉氏变换的主要定理 在某些情况下，函数f(t)在t=0处有一个脉冲函数。这时必须确定拉氏变换的积分下限是0还是0，并记为：2010-10-711叠加定理 齐次性：Lf(t)=Lf(t),为常数 叠加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bf2(t)a,b为常数；显然，拉氏变换为线性变换。2010-10-712实微分定理证明：由于2010-10-713所以：同样有：式中，f(0),f”(0),为f(t)的各阶导
3、数在t=0时的值2010-10-714 当f(t)及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时（零初始条件）：2010-10-715复微分定理若Lf(t)=F(s),则除了F(s)的极点之外，有：2010-10-716积分定理当初始条件为零时：2010-10-717证明：2010-10-718同样当初始条件为零时2010-10-719延迟定理设当t0时，f(t)=0，则对任意0，有：2010-10-720位移定理2010-10-721初值定理 初值定理建立了函数f(t)在t=0+处的初值与函数sF(s)在s趋于无穷远处的终值间的关系。2010-10-722终值定理若sF(s)的所有极点位于左半s平面，
4、即：Limtf(t)存在。则：2010-10-723又由于 终值定理说明f(t)稳定值与sF(s)在s=0时的初值相同2010-10-724卷积定理 其中，f(t)*g(t)表示f(t)和g(t)的卷积。若tp=1-12 0 25 126p=1-12 0 25 1262010-10-749 用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式,即：num=bo b1bm den=a0 a1 an MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开，其句法为：r,p,k=residue(num,den)其中，r，p分别为展开后的留数及极点构成的列向量、k为余项多项式行向量。2010-10-75
5、0若无重极点，MATLAB展开后的一般形式为：若存在q重极点p(j)，展开式将包括下列各项2010-10-7512010-10-7522010-10-753应用拉氏变换解线性微分方程 求解步骤 将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程；解代数方程，得到有关变量的拉氏变化表达式；应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。2010-10-7542010-10-755实例1设系统微分方程为：若xi(t)=1(t),初始条件分为xo(0)，xo(0),试求xo(t)解：对微分方程左边进行拉氏变换：2010-10-7562010-10-757对方程右边进行拉氏变换：从而2010-10-7582010-10-7
6、59所以：查拉氏反变换表得：当初始条件为零时：2010-10-760实例22010-10-7612010-10-7622010-10-763P27 例2142010-10-764由上述实例可见：应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动包含在微分方程得拉氏变换式中，因此，不需要根据初始条件求积分常数的值就可以得到微分方程的全解。如果所有的初始条件为零，微分方程的拉氏变换可以简单地用sn代替dn/dtn得到。系统响应可以分为两部分：零状态响应和零输入响应2010-10-765四、传递函数传递函数的概念和定义传递函数 在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换
7、之比。零初始条件：在t0时，输入量及其各阶导数均为零；输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t0时，输出量及其各阶导数也为零。2010-10-766传递函数的求解实例：质量弹簧阻尼系统的传递函数 所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：按照定义，系统的传递函数为：2010-10-767R-L-C无源电网络的传递函数 所有初始条件均为零时，其拉氏变换为：2010-10-768几点结论：传递函数是复数s域中的系统数学模型，其 参数仅取决于系统本身的结构及其参数，与系统的输入形式无关。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s)决定，即传递函数表征了系统内在的国有动态特性。传递函数通过系统
8、输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。即以系统外部输入输出特性来描述系统的内部特性。2010-10-769传递函数的一般形式考虑线性定常系统当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：2010-10-770特征方程、零点和极点N(s)=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定着系统的动态特性。N(s)中s的最高次等于系统的阶次。2010-10-771当s=0时：G(0)=bm/an=K式中，K称为系统的放大系数或增益。从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。因此K反应了系统处于静态时，输出与输入的比值。2010-10-772零点和极点 将
9、G(s)写成下面的形式：式中，分子M(s)=0的根s=zi(i=1、2、m)，称为传递函数的零点；分母N(s)=0的根s=pj(i=1、2、3、n)，称为传递函数的极点。系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。2010-10-773零、极点分布图将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形称为传递函数的零、极点分布图。图中，零点用“O”表示，极点用“”表示。2010-10-774传递函数的几点说明传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输入量于输出量之间的关系式；传递函数的概念通常只适用于定常线性系统传递函数是s的复变函数。传递函数中的各项系数和相应微分方程
10、中各项系数对应相等，完全取决于系统的结构参数；2010-10-775传递函数是零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡点处于相对静止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况；一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，只适合于单输入单输出系统。2010-10-776脉冲响应函数 初始条件为0时，系统在单位脉冲输入作用下的输出响应的拉氏变换为：g(t)称为系统的脉冲响应函数（权函数）。系统的脉冲响应函数与传递函数包含关于系统动态特征的相同信息。2010-10-777 注意到复数域相乘等同于时域内卷积，因此，由：Y(s)=G(s)X(s)知线性系统在任意输入作用下，其时域输出：式中，当t0时，g(t)=x(t)=0。2010-10-778补充习题
