1、返回二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 第二节一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法 四、小结四、小结返回一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义:，中中各各项项均均有有如如果果级级数数01 nnnuu这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:由极限存在准则：单调有界数列的极限必存在。由极限存在准则：单调有界数列的极限必存在。.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns nsss21必必为为单单增增数数列列正正项项级
2、级数数的的部部分分和和数数列列ns即即因此，正项级数收敛有如下的因此，正项级数收敛有如下的定理定理返回设设1nnu及及1nnv为两个正项级数，为两个正项级数，(1)如果级数如果级数1nnv收敛且收敛且nnvu),2,1(n则级数则级数1nnu也收敛。也收敛。(2)如果级数如果级数1nnv发散且发散且nnvu),2,1(n则级数则级数1nnu也发散。也发散。3.比较审敛法比较审敛法证明证明nnuuus 21且且 1)1(nnv设设,nnvu ,即部分和数列有界即部分和数列有界.1收敛收敛 nnunvvv 21返回nns 则则)()2(nsn设设,nnvu 且且 不是有界数列不是有界数列.1发散发
3、散 nnv推推论论:若若 1nnu收收敛敛(发发散散)且且)(nnnnvkuNnkuv ,则则 1nnv收收敛敛(发发散散).定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便之处是必须有一个敛散性已比较审敛法的不便之处是必须有一个敛散性已知的级数作为参考级数知的级数作为参考级数.返回注注1对给出的级数进行适当的放大与缩小，与已知敛散性对给出的级数进行适当的放大与缩小，与已知敛散性的等比级数、调和级数、的等比级数、调和级数、p-级数进行比较，通过比较：级数进行比较，通过比较：“大者收敛则小者也收敛，小者发散则大者也发散。大者收敛则小者也收敛，小者发散则大者也发散。”(1)调和级数调和级数0nnaq发散。发散。
4、(2)等比级数等比级数0nnaq11,1qqqa发散，11nn11npn当当1p时，时，级数发散。级数发散。当当1p时，时，级数收敛。级数收敛。(3)p-级数级数注注2比较判别法并非一定要从第一项起进行比较，可从某一项起。比较判别法并非一定要从第一项起进行比较，可从某一项起。返回例例 1 1 讨讨论论 P P-级级数数 ppppn14131211的的收收敛敛性性.)0(p解解,1 p设设,11nnp.级数发散级数发散则则 P,1 p设设oyx)1(1 pxyp1234由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211)11,11,1(ppnxnxnxn
5、 返回 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.级级数数收收敛敛则则 P 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数:几何级数（等比级数）几何级数（等比级数）,P-级级数数,调和级数（调和级数（实际上就是实际上就是P=1的的P-级数）级数）.如如 nnn131211111 p发散发散 222121312111nnn2 p收敛收敛返回返回返回证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发发散散而而级级数数.)1(11 nnn发散发散级数级数2)1()1(nnn返回Ex 判断级数判断级数1)12)(12(1nnn的敛散性的敛散性.14
6、12nun241nn21因为因为121nn发散，发散，所以所以1)12)(12(1nnn发散发散.返回4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 1nnv发散发散,则则 1nnu发散发散;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu其中其中1nnv是敛散性已知的用作比较的参考级数是敛散性已知的用作比较的参考级数返回证明证明lvunnn lim)1(由由,02 l 对于对
7、于,N,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.返回由)2(nlim由)3(nlim有时当总存在任取可知,0,NnNMvunnnnnnvMuMvu即,也收敛收敛时当11,nnnnuv11,nnnnuv也发散发散时当,0,1,0时当一定存在如取那末NnNvunnnnnnnnvuvuvu,1即必有nnMvu 返回例例 3 3 判判定定下下列列级级数数的的敛敛散散性性:(1)11sinnn;(2)131nnn;解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim ,1 原级数发散原级数发散.)2(nnn1sinlim
8、 nnn311lim ,1,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.已已用到用到罗必得法则罗必得法则返回Ex 判断级数判断级数 22nntg 的收敛性的收敛性.nnntg22lim1nn22收敛收敛22nntg收敛收敛返回用比较审敛法判别下列级数的收敛性：用比较审敛法判别下列级数的收敛性：nn21121)1(1121111)2(22nnnnnn21)4)(1(1)3(nnnnlim（4 4）122sinnn1)0(11)5(nnaa收敛,111,1nnaaa,10 anlim发散,0111na,1anan发散,02111lim返回比较审敛法和极限形式的比较审敛法，有如下特点：比较审敛法和
9、极限形式的比较审敛法，有如下特点：1。只适用于判定正项级数的收敛性；。只适用于判定正项级数的收敛性；2。必须有一个已知收敛性的用于比较的正项级数；。必须有一个已知收敛性的用于比较的正项级数；常用的是等比级数和常用的是等比级数和P级数。级数。3。技巧性较强。技巧性较强。返回则则1 时时级级数数收收敛敛;1 时时级级数数发发散散;1 时时失失效效.证明证明,为有限数时为有限数时当当,0 对对,N,时时当当Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即返回,1时时当当 ,1时时当当 ,1 取取,1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收敛收
10、敛而级数而级数,11收敛收敛 NnummNuu收敛收敛,1 取取,1 r使使,时时当当Nn ,1nnnuruu .0lim nnu发散发散返回比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.两点注意两点注意:1 1.当当1 时时比比值值审审敛敛法法失失效效;,11发散发散级数级数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn)1(返回,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不存在nnnnnauu 2 2.条条件件是是充充分分的的
11、,而而非非必必要要.返回例例 4 4 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性:(1)1!1nn;(2)110!nnn;(3)12)12(1nnn.解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn),(n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发散发散故级数故级数 nnn返回)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn,1 比值审敛法失效比值审敛法失效,改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn ,112收敛收敛级数级数 nn.)12(211收敛收敛故级数故级数 nnn例例 4 4 判判别
12、别下下列列级级数数的的收收敛敛性性:(1)1!1nn;(2)110!nnn;(3)12)12(1nnn.返回设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果 nnnulim)(为为数数或或,则则1 时时级级数数收收敛敛;,1 ,1 nnn设级数设级数例如例如nnnnnu1 n1)(0 n级数收敛级数收敛.1 时级数发散时级数发散;1 时失效时失效.返回二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法定义定义:正、负项相间的级数称为交错级数正、负项相间的级数称为交错级数.nnnnnnuu 111)1()1(或或)0(nu其中其中返回证明证明nnnnuuuuuus212223212)()(又又)()()(
13、21243212nnnuuuuuus 1u,01 nnuu.lim12ussnn ,0lim12 nnu,2是单调增加的是单调增加的数列数列ns,2是有界的是有界的数列数列ns)(limlim12212 nnnnnuss,s 返回)(limlim12212 nnnnnuss,s.,1uss 且且级级数数收收敛敛于于和和),(21 nnnuur余项余项,21 nnnuur满足收敛的两个条件满足收敛的两个条件,.1 nnur定理证毕定理证毕.返回例例 5 5 判判别别级级数数 21)1(nnnn的的收收敛敛性性.解解2)1(2)1()1(xxxxx)2(0 x,1单调递减单调递减故函数故函数 xx
14、,1 nnuu1limlim nnunnn又又.0 原级数收敛原级数收敛.返回Ex 判断级数判断级数111)1(nnn(t为参数为参数)的敛散性的敛散性(1)nun1111nun(2)nnulimnn1lim0),3,2,1(n级数收敛，且其和级数收敛，且其和.1s返回三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛返回三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛返回三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛定理定理 若若 1nnu收敛收敛,则则 1nnu收敛收敛.证明证明),2,1()(21 nuuvnnn令令,0 nv显然显然,nnuv 且且,1收敛收敛 nnv),2(11 nnnnnuvu
15、又又 1nnu收敛收敛.返回上定理的作用：上定理的作用：任意项级数任意项级数正项级数正项级数定定义义:若若 1nnu收收敛敛,则则称称 1nnu为为绝绝对对收收敛敛;若若 1nnu发发散散,而而 1nnu收收敛敛,则则称称 1nnu为为条条件件收收敛敛.返回例例 6 6 判判别别级级数数 12sinnnn的的收收敛敛性性.解解,1sin22nnn,112收敛收敛而而 nn,sin12 nnn收敛收敛故由定理知原级数绝对收敛故由定理知原级数绝对收敛.返回注注每个绝对收敛的级数是收敛的，每个绝对收敛的级数是收敛的，但并不是每个收敛但并不是每个收敛级数都是绝对收敛的级数都是绝对收敛的如如nn1)1(
16、312111收敛收敛交错级数交错级数莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法取绝对值取绝对值n131211发散发散返回四、小结四、小结正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数审审敛敛法法1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;,则级数收敛则级数收敛若若SSn;,0,则级数发散则级数发散当当 nun返回(1)调和级数调和级数0nnaq发散发散(2)等比级数等比级数11,1qqqa发散，11nn11npn当当1p时，时，级数发散级数发散当当1p时，时，级数收敛级数收敛(3)p-级
17、数级数工具工具返回级数收敛的判定级数收敛的判定必要条件：必要条件：.0limnnu如果级数如果级数1nnu收敛，则收敛，则如果如果,0limnnu则则1nnu发散发散充分条件：充分条件：正项级数正项级数(1)比较审敛法比较审敛法(2)比值审敛法比值审敛法大者收敛则小者也收敛大者收敛则小者也收敛小者发散则大者也发散小者发散则大者也发散nnnuu1lim交错级数交错级数 莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法任意项级数任意项级数绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛返回无穷级数敛散性的判别程序无穷级数敛散性的判别程序已知级数已知级数1nnu（*）0limnnu否否（*）发散）发散(*)是正项级数否？是正项级数
18、否？否否是是(*)交错级交错级数否？数否？否否(*)绝对级绝对级数否？数否？是是分析特点，确定方法分析特点，确定方法是是比值法比值法是是比较法比较法是是nnSlim存在否？存在否？其它方法其它方法是是莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法返回思考题思考题 设设正正项项级级数数 1nnu收收敛敛,能能否否推推得得 12nnu收收敛敛?反反之之是是否否成成立立?返回思考题解答思考题解答由由正正项项级级数数 1nnu收收敛敛，可可以以推推得得 12nnu收收敛敛,nnnuu2lim nnu lim0 由比较审敛法知由比较审敛法知 收敛收敛.12nnu反之不成立反之不成立.例如：例如：121nn收敛收敛,11nn发散发散.
