1、第五讲第五讲 神秘的无穷与三次数学危机神秘的无穷与三次数学危机1目录一、一、“有无限个房间有无限个房间”的的Hilbert旅馆旅馆二、无限与有限的区别和联系二、无限与有限的区别和联系三、悖论（三、悖论（paradox）四、四、数学中的无限在生活中的反映数学中的无限在生活中的反映五、五、潜无限与实潜无限与实无限无限六哲学中的无限六哲学中的无限七、无穷与数学危机七、无穷与数学危机2 1.“客满客满”后又来后又来1位客人位客人（“客满客满”）1 2 3 4 k 2 3 4 5 k+1 空出了空出了1 1号房间号房间 一、一、“有无限个房间有无限个房间”的的Hilbert旅馆旅馆3 2.客满后又来了一
2、个旅游团，旅游团客满后又来了一个旅游团，旅游团中有无穷个客人中有无穷个客人 1 2 3 4 k 2 4 6 8 2k 空下了奇数号房间空下了奇数号房间 43.客满后又来了一万个旅游团，客满后又来了一万个旅游团，每个团中都有无穷个客人每个团中都有无穷个客人1 2 3 4 k 10001 20002 30003 40004 10001k 给出了一万个、又一万个的空房间给出了一万个、又一万个的空房间 5是否有人想提什么问题？是否有人想提什么问题？64.思思 该旅馆客满后又来了无穷个旅游该旅馆客满后又来了无穷个旅游团，每个团中都有无穷个客人，还能否团，每个团中都有无穷个客人，还能否安排？安排？“无穷大
3、！任何一个其他问题都不曾如此深刻地影响人类的精神；任何一个其他观点都不曾如此有效地激励人类的智力；然而，没有任何概念比无穷大更需要澄清”-Hilbert7 二、无限与有限的区别和联系二、无限与有限的区别和联系 1.区别区别 1 1）在无限集中，在无限集中，“部分可以等于全体部分可以等于全体”（这是无限的本质），而在有限的情况下，（这是无限的本质），而在有限的情况下，部分总是小于全体。部分总是小于全体。8 当初的当初的伽利略悖论伽利略悖论，就是因为没有看到，就是因为没有看到 “无限无限”的这一个特点而产生的。的这一个特点而产生的。1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 1 4 9 1
4、6 25 36 49 64 81 100 121 n2 该两集合：有一一对应，于是推出两集合的该两集合：有一一对应，于是推出两集合的元素个数相等；但由元素个数相等；但由“部分小于全体部分小于全体”，又推，又推出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。出两集合的元素个数不相等。这就形成悖论。9 思思：构造一个构造一个“部分到整体的一部分到整体的一一对应一对应”：从：从0 0，1 1）00，+）。）。10 2.2.）“有限有限”时成立的许多命题，对时成立的许多命题，对“无无限限”不再成立不再成立 （1 1）实数加法的结合律）实数加法的结合律 在在“有限有限”的情况下，加法结合律的情况下，加法结合律
5、成立成立:(a+b)+c=a+(b+c)(a+b)+c=a+(b+c)，a a，b b，c c 11 在在“无限无限”的情况下，加法结合律不的情况下，加法结合律不再成立。如再成立。如1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)1(1)01(1)1(1)1(1)11 12 （2 2）有限级数一定有）有限级数一定有“和和”。是个确定的数是个确定的数 无穷级数一定有无穷级数一定有“和和”。则不是个确定的数。称为该则不是个确定的数。称为该 级数级数“发散发散”。反之称为。反之称为“收敛收敛”。1niia1(1)ii13 2.2.联系联系 在在“有限有限”与与“无限无限”间建立联系的手段，往间建立联系的手段
6、，往往很重要。往很重要。1）数学归纳法）数学归纳法 通过有限的步骤，证明了命通过有限的步骤，证明了命题对无限个自然数均成立。题对无限个自然数均成立。2）极限）极限 通过有限的方法，描写无限的过程。通过有限的方法，描写无限的过程。如：如：；自然数自然数N N，都，都 ，使，使 时，时，。limnna knknaN14 0.99999=1?3）无穷级数）无穷级数 通过有限的步骤，求出无限次运算的结果，如 4）递推公式）递推公式 ,a a1 1=*有一个著名的例子：有一个著名的例子：兔子永远追不上乌龟，箭永远射不上靶子。结果虽然可笑，但在兔子永远追不上乌龟，箭永远射不上靶子。结果虽然可笑，但在逻辑上
7、却耐人寻味，这就是著名的二分法悖论。逻辑上却耐人寻味，这就是著名的二分法悖论。1112ii1nnaad15三、悖论（paradox）悖论（paradox）具体是指：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。1说谎者悖论：最早见新约全书说谎者悖论：最早见新约全书提多书提多书 “我正在说谎”162.“外祖母悖论外祖母悖论”，我会穿梭时空，回到过去，把我自己的外祖母杀了。我外祖母没了，我妈就没了，我也就没了。而我没了，就没有人杀我外祖母，我外祖母就不会死，那我又有了。而有了我，外祖母就没了
8、，我也就没了这就是悖论，自己与自己就有矛盾。173.“说谎者循环”：A说：“下面是句谎话。”B说：“上面是句真话。”18 4、芝诺悖论、芝诺悖论-由无限引出的由无限引出的 芝诺（前490？前430？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看其中的一个悖论。191）两分法向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之
9、一点等等，如此类推，以至无穷。结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动永远不可能开始的。20 2）阿基里斯阿基里斯(Achilles)悖论悖论：阿基里斯追不上乌龟。阿基里斯追不上乌龟。213）飞矢不动悖论）飞矢不动悖论一支飞行的箭是静止的：由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态。224）“操场或游行队伍”A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止的C看来，比如说，A、B都在1小时内移动了2公里；可是，从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。由于B保持等速移动，所以移动2公里的时间应该是移动4公里时间的一半。因而一半的时间等于两倍的时间。23症结：症结：无限段长度的和
10、，可能是有限的；无限段长度的和，可能是有限的；无限段时间的和，也可能是有限的。无限段时间的和，也可能是有限的。芝诺悖论的意义：芝诺悖论的意义：1）促进了严格、求证数学的发展）促进了严格、求证数学的发展 2）较早的）较早的“反证法反证法”及及“无限无限”的思想的思想 3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：）尖锐地提出离散与连续的矛盾：空间和时间有没有最小的单位？空间和时间有没有最小的单位？24 芝诺的前两个悖论是反对芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连空间和时间是连续的续的”，后两个悖论则是反对，后两个悖论则是反对“空间和时间是离空间和时间是离散的散的”；第一、第三反对绝对运动，而第二、第；第一、第
11、三反对绝对运动，而第二、第四，反对相对运动。在芝诺看来，这两种理论都四，反对相对运动。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，有毛病；所以，“运动只是假象，不动不变才是运动只是假象，不动不变才是真实真实”。芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡献。不说是巨大的贡献。25http:/ 马丁加德纳26 四、四、数学中的无限在生活中的反映数学中的无限在生活中的反映 1 1）大烟囱是圆的
12、：每一块砖都是直的）大烟囱是圆的：每一块砖都是直的 （整体看又是圆的）（整体看又是圆的）2 2）锉刀锉一个光滑零件：）锉刀锉一个光滑零件：每一锉锉下去都是直的每一锉锉下去都是直的 （许多刀合在一起的效果又是光滑的）（许多刀合在一起的效果又是光滑的）27 3 3）不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的不规则图形的面积：正方形的面积，长方形的面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。面积三角形的面积，多边形的面积，圆面积。规则图形的面积规则图形的面积不规则图形的面积？不规则图形的面积？法法.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面积越准积越准 28 法法
13、.首先转化成求曲边梯形的面积，（不规首先转化成求曲边梯形的面积，（不规则图形则图形若干个曲边梯形），再设法求曲边梯若干个曲边梯形），再设法求曲边梯形的面积：划分，求和，形的面积：划分，求和，矩形面积之和矩形面积之和 曲边梯形面积；曲边梯形面积；越小，就越精确；再取极越小，就越精确；再取极 限限 ，就得到曲，就得到曲边梯形的面积。边梯形的面积。()iiifx029 五、五、潜无限与实无限潜无限与实无限 1潜无限与实无限简史潜无限与实无限简史 潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，潜无限是指把无限看成一个永无终止的过程，认为无限只存在于人们的思维中，只是说话的一认为无限只存在于人们的思维中，只是
14、说话的一种方式，不是一个实体。种方式，不是一个实体。30从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数从古希腊到康托以前的大多数哲学家和数学家都持潜无限的观点学家都持潜无限的观点他们认为他们认为“正整数集是无限的正整数集是无限的”来自我们不能穷举来自我们不能穷举所有正整数。例如，可以想象一个个正整数写在一所有正整数。例如，可以想象一个个正整数写在一张张小纸条上，从张张小纸条上，从1 1，2 2，3 3，写起，每写一张，写起，每写一张，就把该纸条装进一个大袋子里，那么，这一过程将就把该纸条装进一个大袋子里，那么，这一过程将永无终止。永无终止。因此，把全体正整数的袋子看作一个实体是因此，把全体正整数的袋子看
15、作一个实体是不可能的，它只能存在于人们的思维里。不可能的，它只能存在于人们的思维里。亚里士多德只承认潜无限：不承认直线式由点构成亚里士多德只承认潜无限：不承认直线式由点构成高斯反对实无限：反对把无穷量作为现实的实体，高斯反对实无限：反对把无穷量作为现实的实体，认为无限只不过是一种说话的方式认为无限只不过是一种说话的方式31康托的集合论与实无限康托的集合论与实无限 但康托不同意这一观点，他很愿意把这个装有所有正整数但康托不同意这一观点，他很愿意把这个装有所有正整数的袋子看作一个完整的实体。这就是实无限的观点。的袋子看作一个完整的实体。这就是实无限的观点。康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨大
16、的影响，康托的工作是划时代的，对现代数学产生了巨大的影响，但当时，康托的老师克罗内克尔，却激烈反对康托的观点。所但当时，康托的老师克罗内克尔，却激烈反对康托的观点。所以康托当时的处境和待遇都不太好。以康托当时的处境和待遇都不太好。由于康托尔的无穷学说从根本上否定了由于康托尔的无穷学说从根本上否定了“整体大于部分整体大于部分”的观念，而且他在无限王国走得如此远，以至于同时代的数学的观念，而且他在无限王国走得如此远，以至于同时代的数学家和哲学家都不能理解他的观点，惧怕集合论。有人说，康托家和哲学家都不能理解他的观点，惧怕集合论。有人说，康托尔的集合论是一种尔的集合论是一种“疾病疾病”，康托尔的概念
17、是，康托尔的概念是“雾中之雾雾中之雾”，甚至说康托尔是甚至说康托尔是“疯子疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。神病医院。19181918年年1 1月月6 6日，康托尔在一家精神病院去世。日，康托尔在一家精神病院去世。康托的无穷集合论也导致了第三次数学危机。康托的无穷集合论也导致了第三次数学危机。32康托康托Georg Ferdinand Philip Cantor(18451918)德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今
18、苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）魏尔斯特拉斯。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。33实无限、潜无限只是一个硬币的两个面两种无穷思想经历了此消彼长，两种无限在现代数学中都是有用武之地。微积分采用潜无限，非标准分析采用实无限无穷本身是一个矛盾体，既是一个需无穷逼近的过程，也是一个可供研究的实体Hilbert认为：无穷是一个永恒之谜，无穷是人类心情宁静的最大敌人34 六哲学中的无
19、限六哲学中的无限 1哲学对哲学对“无限无限”的兴趣的兴趣 哲学是研究整个世界的科学。自从提出哲学是研究整个世界的科学。自从提出“无无限限”的概念，就引起了哲学家广泛的关注和研究。的概念，就引起了哲学家广泛的关注和研究。现在我们知道哲学中有下边一些命题：现在我们知道哲学中有下边一些命题：35 物质是无限的；时间与空间是无限的；物质是无限的；时间与空间是无限的；物质的运动形式是无限的。物质的运动形式是无限的。一个人的生命是有限的；一个人对一个人的生命是有限的；一个人对 客观世界的认识是有限的。客观世界的认识是有限的。36无限可分与原子论很多思想家都研究过无穷大。古希腊的哲学家们就一条线段(或者就任
20、何数量而言)，是不是可无限地被分割，或者说是不是可以最终得到一个不可分割的点(即“原子”)等问题，展开了无休止的争论。他们的现代追随者物理学家们今天仍然还在设法解决同一个问题，他们使用巨大的粒子加速器寻找“基本粒子”那些构成整个宇宙的基本砖块。天文学家一直在从另一个极端的无限广阔的尺度上思索着无穷大问题。我们的宇宙真像它所呈现在晴朗的黑夜那样无穷无尽，或是它有一个边界(在这个边界之外什么东西也不存在)吗？有限宇宙的可能性似乎是对我们常识的一种挑战。我们可以在任何方向上一直走下去而永远也到不了“边”，这个事实不是很清楚吗？但是我们将不难看出，当研究无穷大时，“常识”是一个非常差劲的向导！37 2
21、数学对数学对“无限无限”的观点的贡献的观点的贡献 数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提高数学则更严密地研究有限与无限的关系，大大提高了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限的人了人类认识无限的能力。在有限环境中生存的有限的人类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智慧；在类，获得把握无限的能力和技巧，那是人类的智慧；在获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类获得这些成果过程中体现出来的奋斗与热情，那是人类的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共的情感；对无限的认识成果，则是人类智慧与热情的共同结晶。一个人，若把自己的智慧与热情融入数学学习同结晶。一个人，若把自己的智慧
22、与热情融入数学学习和数学研究之中，就会产生一种特别的感受。如果这样，和数学研究之中，就会产生一种特别的感受。如果这样，数学的学习不仅不是难事，而且会充满乐趣。数学的学习不仅不是难事，而且会充满乐趣。38 抢答题抢答题 构造一个无穷多个运动员百构造一个无穷多个运动员百米赛跑，但结果没有第一名的例子。（要米赛跑，但结果没有第一名的例子。（要求表达出每一个运动员的百米成绩，且要求表达出每一个运动员的百米成绩，且要求接近实际：不能跑进求接近实际：不能跑进9 9秒）秒）39解答运动员1234百米成绩10秒9.9秒9.89秒9.889秒另解191 秒192秒193秒194秒40七、无穷与数学危机七、无穷与
23、数学危机 数学史上有过三次数学危机，它们都与数学史上有过三次数学危机，它们都与无穷有关，也与人们对无穷的认识有关。无穷有关，也与人们对无穷的认识有关。我们已经讨论过第一次与第二次数学危机我们已经讨论过第一次与第二次数学危机 第一次数学危机的要害是不认识无理数，第一次数学危机的要害是不认识无理数，而无理数是无限不循环小数而无理数是无限不循环小数41 第二次数学危机的要害，是极限理论的逻第二次数学危机的要害，是极限理论的逻辑基础不完善，而极限正是辑基础不完善，而极限正是“有穷过渡到无有穷过渡到无穷穷”的重要手段。贝克莱的责难，也集中在的重要手段。贝克莱的责难，也集中在“无穷小量无穷小量”上。上。由
24、于无穷与有穷有本质的区别，所以，极由于无穷与有穷有本质的区别，所以，极限的严格定义，极限的存在性，无穷级数的限的严格定义，极限的存在性，无穷级数的收敛性，这样一些理论问题就显得特别重要。收敛性，这样一些理论问题就显得特别重要。42第三次数学危机第三次数学危机 1“数学基础数学基础”的曙光的曙光集合论集合论 到到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻
25、辑基础更理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。43 其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成的图形为对象。同时，用集合论的语言，算术的对的图形为对象。同时，用集合论的语言，算术的对象可说成是象可
26、说成是“以整数、分数等组成的以整数、分数等组成的集合集合”；微积；微积分的对象可说成是分的对象可说成是“以函数等组成的以函数等组成的集合集合”；几何；几何的对象可说成是的对象可说成是“以点、线、面等组成的以点、线、面等组成的集合集合”。这样一来，这样一来，都是以集合为对象都是以集合为对象了。了。集合成了更基本集合成了更基本的概念。的概念。44 于是，集合论似乎给数学家带来了曙光：于是，集合论似乎给数学家带来了曙光：可能可能会一劳永逸地摆脱会一劳永逸地摆脱“数学基础数学基础”的危机。的危机。尽管集合尽管集合论自身的相容性尚未证明，但许多人认为这只是时论自身的相容性尚未证明，但许多人认为这只是时间
27、问题。庞加莱甚至在间问题。庞加莱甚至在1900年巴黎国际数学家大会年巴黎国际数学家大会上宣称：上宣称：“借助集合论概念，我们可以建造借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦整个数学大厦今天，我们可以说绝对的严格性今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了已经达到了”45 2算术的集合论基础算术的集合论基础 1）人们按下列逻辑顺序把全部数学的基）人们按下列逻辑顺序把全部数学的基础归结为算术，即归结为非负整数，即自然数础归结为算术，即归结为非负整数，即自然数集合加上集合加上0现在我国中小学就把这一集合现在我国中小学就把这一集合称为自然数集合。称为自然数集合。（算术）非负整数（算术）非负整数n有理数有理
28、数 实数实数 复数复数 图形图形()nm 取极限11 ba 解析几何46 因此，全部数学似乎都可归结为非负整数了，因此，全部数学似乎都可归结为非负整数了，或者说，或者说，全部数学都可以归结为算术了。全部数学都可以归结为算术了。这样，如果能把算术建立在集合论的基础上，这样，如果能把算术建立在集合论的基础上，就相当于解决了整个就相当于解决了整个“数学基础数学基础”的问题。的问题。法国数学家、数理逻辑先驱法国数学家、数理逻辑先驱弗雷格弗雷格（G.Frege,18481925）就做了这样的工作。他写）就做了这样的工作。他写了一本名叫了一本名叫算术基础算术基础的书。的书。47弗雷格弗雷格算术基础算术基础
29、48 2)弗雷格的算术基础弗雷格的算术基础 为了使算术建立在集合论的基础上，所为了使算术建立在集合论的基础上，所有的非负整数，都需要用集合论的观点和语有的非负整数，都需要用集合论的观点和语言重新定义。言重新定义。首先从首先从0说起。说起。0是什么？是什么？应当先回答应当先回答0是什么，然后才有表示是什么，然后才有表示“0”的符号。的符号。49 为此，先定义为此，先定义“空集空集”。空集是。空集是“不含元不含元素的集合素的集合”。例如，。例如，“方程方程 在实在实数集中的根的集合数集中的根的集合”就是一个空集，再例就是一个空集，再例如如“由最大的正整数组成的集合由最大的正整数组成的集合”也是一个
30、也是一个空集。空集。210 x 50 所有的空集放在一起，作成一个集合的所有的空集放在一起，作成一个集合的集合集合，（为说话简单我们把，（为说话简单我们把“集合的集合集合的集合”称作类），这个类，就可以给它一个符号：称作类），这个类，就可以给它一个符号：0，中国人念中国人念“ling”，英国人念，英国人念“Zero”。空集是空的，但由所有空集组成的类，空集是空的，但由所有空集组成的类，它本身却是一个元素了，即，它本身却是一个元素了，即，0是一个元素了。是一个元素了。由它再作成一个集合由它再作成一个集合0，则不是空集了。，则不是空集了。51 弗雷格再定义两个集合间的弗雷格再定义两个集合间的双射双
31、射：既是满射又是：既是满射又是单射的映射叫作双射，也称单射的映射叫作双射，也称可逆映射可逆映射；通俗地说，；通俗地说，就是存在逆映射的映射。它可以在两个集合间来回就是存在逆映射的映射。它可以在两个集合间来回地映射，所以一般称为地映射，所以一般称为“双射双射”。弗雷格再定义弗雷格再定义两个集合的两个集合的“等价等价”：，能够在其间建立双射的两个集合能够在其间建立双射的两个集合A、B称为称为“等等价价”。AB 可逆映射52 下边可以定义下边可以定义“1”了。把了。把与集合与集合0等价等价的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。这个类，就可以给它一个符号：这个
32、类，就可以给它一个符号：1。再定义再定义“2”。把。把与集合与集合0，1等价的所等价的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。这有集合放在一起，作成一个集合的集合。这个类，就叫：个类，就叫：2。然后，把然后，把与与0，1，2等价的集合作成的等价的集合作成的类，叫：类，叫：3。53 一般地，在有了一般地，在有了0，1，2，n的的定义后，就把所有定义后，就把所有与集合与集合0，1，2，n等价的集合放在一起，作成集合的集等价的集合放在一起，作成集合的集合，这样的类，定义为：合，这样的类，定义为：n+1。这种定义概念的方法，叫作这种定义概念的方法，叫作“归纳定归纳定义义”的方法。的方法。54 这样，弗雷
33、格就这样，弗雷格就从空集出发，而仅仅从空集出发，而仅仅用到用到集合集合及及集合等价集合等价的概念的概念，把全部非负，把全部非负整数定义出来了。于是根据上边说的整数定义出来了。于是根据上边说的“可可以把全部数学归结为非负整数以把全部数学归结为非负整数”，就可以，就可以说，说，全部数学可以建立在集合论的基础上全部数学可以建立在集合论的基础上了。了。55 3 罗素的罗素的“集合论悖论集合论悖论”引发危机引发危机 1）悖论引起震憾和危机悖论引起震憾和危机 正当弗雷格即将出版他的算术基正当弗雷格即将出版他的算术基础一书的时候，罗素的集合论悖论出来础一书的时候，罗素的集合论悖论出来了。这也是庞加莱宣布了。
34、这也是庞加莱宣布“完全严格的数学完全严格的数学已经建立起来！已经建立起来！”之后刚刚两年，即之后刚刚两年，即1902年。年。56 伯特兰伯特兰罗素（罗素（1872-1970）Russell,Bertrand Arthur William(Third Earl Russell)出生年月：1872-1970 国籍：英国学科成就：学科成就：英国著名哲学家、数学家、逻辑学家，分析学的主要创始人，世界和平运动的倡导者和组织者。所获奖项：1950年诺贝尔文学奖。罗素罗素57 集合论中居然有逻辑上的矛盾！集合论中居然有逻辑上的矛盾！倾刻之间，算术的基础动摇了，整个倾刻之间，算术的基础动摇了，整个数学的基础似
35、乎也动摇了。这一动摇所带数学的基础似乎也动摇了。这一动摇所带来的震憾是空前的。许多原先为集合论兴来的震憾是空前的。许多原先为集合论兴高采烈的数学家发出哀叹：我们的数学就高采烈的数学家发出哀叹：我们的数学就是建立在这样的基础上的吗？是建立在这样的基础上的吗？罗素悖论引发的危机，就称为第三次罗素悖论引发的危机，就称为第三次数学危机。数学危机。58 罗素把他发现的悖论写信告诉弗雷罗素把他发现的悖论写信告诉弗雷格。弗雷格在他的算术基础一书的末格。弗雷格在他的算术基础一书的末尾无可奈何地写道：尾无可奈何地写道：“一个科学家遇到的一个科学家遇到的最不愉快的事莫过于，当他的工作完成最不愉快的事莫过于，当他的
36、工作完成时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗时，基础崩塌了。当本书即将印刷时，罗素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境素先生的一封信就使我陷入这样的尴尬境地。地。”59狄德金(Dedekind)原来打算把连续性及无理数第3版付印，这时也把稿件抽了回来。发现拓扑学中“不动点原理”的布劳恩(Brouwer)也认为自己过去做的工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。60 2）罗素悖论罗素悖论 在叙述罗素悖论之前在叙述罗素悖论之前,我们先注意到我们先注意到下边的事实：一个集合或者是它本身的成下边的事实：一个集合或者是它本身的成员员(元素元素),或者不是它本身的成员或者不是它本身的成员(元素元素)，两者必
37、居其一。罗素把前者称为两者必居其一。罗素把前者称为“异常集异常集合合”，把后者称为，把后者称为“正常集合正常集合”。61 例如例如,所有抽象概念的集合，本身还是抽象概念。所有抽象概念的集合，本身还是抽象概念。即，它是这一集合本身的元素，所以是即，它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合异常集合”。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是这一集合但是，所有人的集合，不是人，即，它不是这一集合本身的元素，所以是本身的元素，所以是“正常集合正常集合”。再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即，再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即，它是这一集合本身的元素，所以是它是这一集合本身的元素，所以是“异常集
38、合异常集合”。但。但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是这一集合是，所有星星的集合不是星星，即，它不是这一集合本身的元素，所以是本身的元素，所以是“正常集合正常集合”。62罗素当年的例子罗素当年的例子“异常集合异常集合”1：不多于不多于29个字母表达的句子所构成的集合个字母表达的句子所构成的集合“异常集合异常集合”2：不是麻雀的东西所构成的集合不是麻雀的东西所构成的集合63 罗素悖论是：罗素悖论是：以以 表示表示“是其本身成员的是其本身成员的所有集合的集合所有集合的集合”（所有异常集合的集合），（所有异常集合的集合），而以而以 表示表示“不是它本身成员的所有集合的集不是它本身成员的所有集合的
39、集合合”（所有正常集合的集合），于是任一集合（所有正常集合的集合），于是任一集合或者属于或者属于 ，或者属于，或者属于 ，两者必居其一，且，两者必居其一，且只居其一。然后问：集合只居其一。然后问：集合 是否是它本身的是否是它本身的成员？（集合成员？（集合 是否是异常集合？）是否是异常集合？）MMNNNN64 如果如果 是它本身的成员，则按是它本身的成员，则按 及及 的的定定义，义，是是 的成员，而不是的成员，而不是 的成员，即的成员，即 不不是它本身的成员，这与假设矛盾。即是它本身的成员，这与假设矛盾。即 如果如果 不是它本身的成员，则按不是它本身的成员，则按 及及 的定义，的定义，是是 的成
40、员，而不是的成员，而不是 的成员，即的成员，即 是它本身的成员，这又与假设矛盾。即是它本身的成员，这又与假设矛盾。即 悖论在于：悖论在于：无论哪一种情况，都得出矛盾。无论哪一种情况，都得出矛盾。NMNNMNNNNNMNNNMNNNMN()NNNNNM65 罗素悖论的通俗化罗素悖论的通俗化“理发师悖论理发师悖论”：某村的：某村的一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸一个理发师宣称，他给且只给村里自己不给自己刮脸的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？的人刮脸。问：理发师是否给自己刮脸？如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的如果他给自己刮脸，他就属于自己给自己刮脸的人，按宣称的原则，理发师
41、不应该给他自己刮脸，这人，按宣称的原则，理发师不应该给他自己刮脸，这与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不与假设矛盾。如果他不给自己刮脸，他就属于自己不给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给他自己给自己刮脸的，按宣称的原则，理发师应该给他自己刮脸，这又与假设矛盾。刮脸，这又与假设矛盾。66 4 危机的消除危机的消除 危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学危机出现以后，包括罗素本人在内的许多数学家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选家作了巨大的努力来消除悖论。当时消除悖论的选择有两种，一种是择有两种，一种是抛弃抛弃集合论，再寻找新的理论基集合论，再寻找新的理论基础，另一种是分析
42、悖论产生的原因，础，另一种是分析悖论产生的原因，改造改造集合论，集合论，探讨消除悖论的可能。探讨消除悖论的可能。人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同人们选择了后一条路，希望在消除悖论的同时，尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。时，尽量把原有理论中有价值的东西保留下来。67 这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简这种选择的理由是，原有的康托集合论虽然简明，但并不是建立在明晰的公理基础之上的，这就明，但并不是建立在明晰的公理基础之上的，这就留下了解决问题的余地。留下了解决问题的余地。罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征罗素等人分析后认为，这些悖论的共同特征（悖论的实质）是（悖论的实质）是“
43、自我指谓自我指谓”。即，。即，一个待定义一个待定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义的概念，用了包含该概念在内的一些概念来定义，造成恶性循环。造成恶性循环。例如，悖论中定义例如，悖论中定义“不属于自身的集合不属于自身的集合”时，时，涉及到涉及到“自身自身”这个待定义的对象。这个待定义的对象。（再如（再如“本句话是七本句话是七个字个字”）68 为了消除悖论，数学家们要将康托为了消除悖论，数学家们要将康托“朴素的集合论朴素的集合论”加以公理化；并且规定构加以公理化；并且规定构造集合的原则，例如，不允许出现造集合的原则，例如，不允许出现“所有所有集合的集合集合的集合”、“一切属于自身的集合一
44、切属于自身的集合”这这样的集合。样的集合。危机的解决69“非断言的”定义方式上面的每一个悖论都涉及一个集合S和S的一个成员M(既M是靠S定义的)。这样的一个定义被称作是“非断言的”，而非断言的定义在某种意义上是循环的。例如，考虑罗素的理发师悖论：用M标志理发师，用S标示所有成员的集合，则M被非断言地定义为“S的给并且只给不自己刮胡子人中刮胡子的那个成员”。此定义的循环的性质是显然的理发师的定义涉及所有的成员，并且理发师本身就是这里的成员。因此，不允许有非断言的定义便可能是一种解决集合论的己知悖论的办法。然而，对这种解决办法，有一个严重的责难，即包括非断言定义的那几部分数学是数学家很不愿丢弃的。
45、70 1908年，策梅洛（年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,18711953）提出了由提出了由7条公理组成的集合论体系，称为条公理组成的集合论体系，称为Z-系统。系统。1922年，弗兰克（年，弗兰克（A.A.Fraenkel）又加进一条）又加进一条公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合公理，还把公理用符号逻辑表示出来，形成了集合论的论的ZF-系统。再后来，还有改进的系统。再后来，还有改进的ZFC-系统。系统。这样，大体完成了这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。的发展过程，悖论消除了。71 现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假
46、，可是又不现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加莱在策梅洛但是，新的系统的相容性尚未证明。因此，庞加莱在策梅洛的公理化集合论出来后不久，形象地评论道：的公理化集合论出来后不久，形象地评论道：“为了防狼，羊为了防狼，羊群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼群已经用篱笆圈起来了，但却不知道圈内有没有狼”。数学的确定性在一步一步地丧失。数学的确定性在一步一步地丧失。这就是说，第三次数学这就是说，第三次数学危机的解决，并不是完全令人满意的。危机的解决
47、，并不是完全令人满意的。第三次危机表面上解决了实质上更深刻地以其它形式延续第三次危机表面上解决了实质上更深刻地以其它形式延续 72 5无限集合也有无限集合也有“大小大小”从从“一一对应一一对应”说起说起 实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能实无限的观点让我们知道，同样是无限集合，也可能有不同的有不同的“大小大小”。正整数集合是最正整数集合是最“小小”的无限集合。的无限集合。实数集合比正整数集实数集合比正整数集“大大”。实数集合上全体连续函。实数集合上全体连续函数的集合又比实数集合更大。数的集合又比实数集合更大。不存在最不存在最“大大”的无限集合（即对于任何无限集合，的无限集合（即对于
48、任何无限集合，都能找到更都能找到更“大大”的无限集合）。的无限集合）。73 这需要这需要“一一对应一一对应”的观点。的观点。1 1）“一一对应一一对应”双射（单射双射（单射+满射）满射）2 2）集合的势）集合的势|A|A|集合中元素的多少集合中元素的多少 3 3）|N|=|N|=可数无穷势可数无穷势 ，|Q|=|Q|=4 4）|R|=|R|=不可数无穷（称连续统势不可数无穷（称连续统势 ）,无理数比有理数多得多。无理数比有理数多得多。74 5 5）无穷集合可能有不同的势，其中最小的势）无穷集合可能有不同的势，其中最小的势是是 ；不存在最大的势。；不存在最大的势。6 6）“连续统假设连续统假设”
49、长期未彻底解决长期未彻底解决 “连续统假设连续统假设”：可数无穷：可数无穷 是无限集中最小的是无限集中最小的势，连续统势势，连续统势 是（否？）次小的势。是（否？）次小的势。75 康托康托18821882年曾认为他证明了这一假年曾认为他证明了这一假 设，后来发现证明有错。设，后来发现证明有错。直到现在，这一问题仍吸引着一些数学家直到现在，这一问题仍吸引着一些数学家的兴趣。的兴趣。76HIlbert23个问题中的Number One连续统猜想是著名的Hilbert23个问题的第一个1938年，奥地利数学家、逻辑学家和哲学家哥德尔（Kurt Gdel，19061978），证明标准集合论与连续统假设
50、是一致的、不矛盾。1963年，美国数学家保罗科恩(P.Cohen)证明，若否定连续统假设，也不与集合论矛盾。77非康托集合论1962年之前科恩的主要工作是在调和分析方面，19591960年，他做出杰出的工作，获得美国数学会1964年度Bocher奖。这是美国在分析方面的最高奖，是个了不起的荣誉。可是，这时他已转向另一领域并取得更大的成就：在1963年证明连续统假设的独立性，这时离他转行还不到一年。由于这个成就相当于在数学中建立了非欧几何非康托尔集合论，从而荣誉纷至沓来：除了荣获菲尔兹奖之外，科恩还在1967年被选为美国国家科学院院士，同年荣获总统颁发的国家科学奖章。78 6.第三次数学危机与第
