1、第一章第一章时间序列计量经济学模型的理论与方法时间序列计量经济学模型的理论与方法第一节第一节 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验第二节第二节 随机时间序列模型的识别和估计随机时间序列模型的识别和估计第三节第三节 协整分析与误差修正模型协整分析与误差修正模型1.1 1.1 时间序列的平稳性及其检验时间序列的平稳性及其检验一、问题的引出：非平稳变量与经典回归一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型模型二、时间序列数据的平稳性二、时间序列数据的平稳性三、平稳性的图示判断三、平稳性的图示判断四、平稳性的单位根检验四、平稳性的单位根检验五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程五、单整、趋势平稳
2、与差分平稳随机过程一、问题的引出：非平稳变量与经典一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型回归模型常见的数据类型常见的数据类型到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有：时间序列数据时间序列数据（time-series data)；截面数据截面数据(cross-sectional data)平行平行/面板数据面板数据（panel data/time-series cross-section data)时间时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据序列数据是最常见，也是最常用到的数据。经典回归模型与数据的平稳性经典回归模型与数据的平稳性 经典回归分析经典
3、回归分析暗含暗含着一个重要着一个重要假设假设：数据是平稳的。数据是平稳的。数据非平稳数据非平稳，大样本下的统计推断基础，大样本下的统计推断基础“一致一致性性”要求要求被破怀。被破怀。经典回归分析的假设之一：解释变量经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变是非随机变量量 放宽该假设：放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求：是随机变量，则需进一步要求：(1)X与随机扰动项与随机扰动项 不相关不相关 Cov(X,)=0nXXi/)(2QnXXPin)/)(2lim依概率收敛：依概率收敛：(2)第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致性”特性：)(limnPnxnuxxuxiiiiii/2
4、2QnxPnuxPPiiin0/lim/limlim2第（1）条是OLS估计的需要如果如果X是非平稳数据是非平稳数据（如表现出向上的趋势），（如表现出向上的趋势），则（则（2）不成立，回归估计量不满足）不成立，回归估计量不满足“一致性一致性”，基，基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。于大样本的统计推断也就遇到麻烦。因此：注意：注意：在双变量模型中：在双变量模型中：表现在表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性有很高的相关性（有较高的R2)：例如：例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归
5、也可表现出较高的可决系数。在现实经济生活中在现实经济生活中：情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的实际的时间序列数据是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。数据非平稳，往往导致出现数据非平稳，往往导致出现“虚假回归虚假回归”问题问题 时间序列分析时间序列分析模型方法模型方法就是在这样的情况下，以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发以通过揭示时间序列自身的变化规律为主线而发展起来的全新的计量经济学方法论展起来的全新的计量经济学方
6、法论。时间序列分析时间序列分析已组成现代计量经济学的重要内容，并广泛应用于经济分析与预测当中。二、时间序列数据的平稳性二、时间序列数据的平稳性 时间序列分析中首先遇到的问题首先遇到的问题是关于时间序列数据的平稳性平稳性问题。假定某个时间序列是由某一假定某个时间序列是由某一随机过程随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列生成的，即假定时间序列Xt（t=1,2,）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：满足下列条件：1）均值）均值E(XE(Xt t)=)=是是与时间与时间t 无关的常数；无关的常数；2）
7、方差）方差Var(XVar(Xt t)=)=2 2是是与时间与时间t 无关的常数；无关的常数；3）协方差）协方差Cov(XCov(Xt t,X,Xt+kt+k)=)=k k 是是只与时期间隔只与时期间隔k有关，有关，与时间与时间t 无关的常数；无关的常数；则称该随机时间序列是则称该随机时间序列是平稳的平稳的（stationary)，而该而该随机过程是一随机过程是一平稳随机过程平稳随机过程（stationary stochastic process）。）。例例1.1.1一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：Xt=t ，tN(0,2)例例1.1.2另一个简单的随机时间列序被称
8、为随机随机游走（游走（random walk），该序列由如下随机过程生成：Xt=Xt-1+t这里，t是一个白噪声。该序列常被称为是一个白噪声白噪声（white noise）。由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零,由定义,一个白噪声序列是平稳的一个白噪声序列是平稳的。为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的初值为X0，则易知 X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 X Xt t=X=X0 0+1+2+t 由于X0为常数，t是一个白噪声，因此Var(Xt)=t2 即即Xt的方差与时间的方差与时间t t有关而非常数，它是一非平稳序有关而非常数，它是一非平稳序列。列。容易知道该序列有
9、相同的均值均值：E(Xt)=E(Xt-1)然而，对X取一阶差分一阶差分（first difference）:Xt=Xt-Xt-1=t由于t是一个白噪声，则序列Xt是平稳的。后面将会看到后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的，如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。事实上，事实上，随机游走过程随机游走过程是下面我们称之为是下面我们称之为1 1阶自回阶自回归归AR(1)AR(1)过程过程的特例的特例 X Xt t=X Xt-1t-1+t 不难验证不难验证:1)|1|1时，该随机过程生成的时间序列是时，该随机过程生成的时间序列是发散
10、的，表现为持续上升发散的，表现为持续上升(1)1)或持续下降或持续下降(-1)-1)，因此是非平稳的；因此是非平稳的；第二节中将证明第二节中将证明:只有当只有当-1-1 10，样本自相关系数近似地服从以样本自相关系数近似地服从以0为均值，为均值，1/n 为方差的正态分布，其中为方差的正态分布，其中n为样本数。为样本数。也可检验对所有也可检验对所有k0k0，自相关系数都为自相关系数都为0 0的联合的联合假设，这可通过如下假设，这可通过如下Q QLBLB统计量进行：统计量进行：该统计量近似地服从自由度为m的2分布（m为滞后长度）。因此:如果计算的如果计算的Q Q值大于显著性水平值大于显著性水平为为
11、 的临界值，则有的临界值，则有1-1-的把握拒绝所有的把握拒绝所有 k k(k0)(k0)同时为同时为0 0的假设。的假设。例例1.1.3:1.1.3:表表1.1.11.1.1序列序列Random1Random1是通过是通过一随机过程（随机函数）生成的有一随机过程（随机函数）生成的有1919个样个样本的随机时间序列。本的随机时间序列。mkkLBknrnnQ12)2(表表 9 9.1 1.1 1 一一个个纯纯随随机机序序列列与与随随机机游游走走序序列列的的检检验验 序号 Random1 自相关系数 kr(k=0,1,17)LBQ Random2 自相关系数 kr(k=0,1,17)LBQ 1-0
12、.031 K=0,1.000 -0.031 1.000 2 0.188 K=1,-0.051 0.059 0.157 0.480 5.116 3 0.108 K=2,-0.393 3.679 0.264 0.018 5.123 4-0.455 K=3,-0.147 4.216-0.191-0.069 5.241 5-0.426 K=4,0.280 6.300-0.616 0.028 5.261 6 0.387 K=5,0.187 7.297-0.229-0.016 5.269 7-0.156 K=6,-0.363 11.332-0.385-0.219 6.745 8 0.204 K=7,-0.
13、148 12.058-0.181-0.063 6.876 9-0.340 K=8,0.315 15.646-0.521 0.126 7.454 10 0.157 K=9,0.194 17.153-0.364 0.024 7.477 11 0.228 K=10,-0.139 18.010-0.136-0.249 10.229 12-0.315 K=11,-0.297 22.414-0.451-0.404 18.389 13-0.377 K=12,0.034 22.481-0.828-0.284 22.994 14-0.056 K=13,0.165 24.288-0.884-0.088 23.51
14、4 15 0.478 K=14,-0.105 25.162-0.406-0.066 23.866 16 0.244 K=15,-0.094 26.036-0.162 0.037 24.004 17-0.215 K=16,0.039 26.240-0.377 0.105 25.483 18 0.141 K=17,0.027 26.381-0.236 0.093 27.198 19 0.236 0.000 容易验证：该样本序列的均值为该样本序列的均值为0 0，方差为，方差为0.07890.0789。（a）（b）-0.6-0.4-0.20.00.20.40.624681012141618RANDOM
15、1-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM1AC 从图形看：它在其样本均值它在其样本均值0 0附近上下波动，且样本自相关附近上下波动，且样本自相关系数迅速下降到系数迅速下降到0 0，随后在，随后在0 0附近波动且逐渐收敛于附近波动且逐渐收敛于0 0。由于该序列由一随机过程生成，可以认为不存在序列相关性，因此该序列为一白噪声。该序列为一白噪声。根据Bartlett的理论：kN(0,1/19)因此任一rk(k0)的95%的置信区间都将是 可以看出可以看出:k0k0时，时，r rk k的值确实落在了该区间内，的值确实落在了该区间内，因此可以接受因此可以接受 k
16、 k(k0)k0)为为0 0的假设的假设。同样地，从从Q QLBLB统计量的计算值看，滞后统计量的计算值看，滞后1717期期的计算值为的计算值为26.3826.38，未超过，未超过5%5%显著性水平的临界值显著性水平的临界值27.5827.58，因此，因此,可以接受所有的自相关系数可以接受所有的自相关系数 k k(k0)k0)都为都为0 0的假设。的假设。因此，该随机过程是一个平稳过程。该随机过程是一个平稳过程。4497.0,4497.019/196.1,19/196.1,025.0025.0ZZ 序列Random2是由一随机游走过程 Xt=Xt-1+t 生成的一随机游走时间序列样本。其中，第
17、0项取值为0，t是由Random1表示的白噪声。（a）（b）-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.424681012141618RANDOM2-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM2AC 样本自相关系数显示样本自相关系数显示：r1=0.48，落在了区间-0.4497,0.4497之外，因此在5%的显著性水平上拒绝1的真值为0的假设。该随机游走序列是非平稳的。该随机游走序列是非平稳的。图形表示出：图形表示出：该序列具有相同的均值，但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到0，但随着时间的推移，则在0附近波动且呈发散趋势。例例 9.1.
18、9.1.4 4 检验中国支出法 GDP 时间序列的平稳性。表表 9.1.2 9.1.2 1978200019782000 年中国支出法年中国支出法 GDPGDP（单位：亿元）（单位：亿元）年份GDP年份GDP年份GDP19783605.6198610132.8199446690.719794073.9198711784199558510.519804551.3198814704199668330.419814901.4198916466199774894.219825489.2199018319.5199879003.319836076.3199121280.4199982673.119847
19、164.4199225863.6200089112.519858792.1199334500.6 图形：表现出了一个持续上升的过程图形：表现出了一个持续上升的过程，可，可初步判断初步判断是非平稳是非平稳的。的。样本自相关系数：缓慢下降样本自相关系数：缓慢下降，再次表明它，再次表明它的的非平稳非平稳性。性。图图 9 9.1 1.5 5 1 19 97 78 82 20 00 00 0 年年中中国国 G GD DP P 时时间间序序列列及及其其样样本本自自相相关关图图 -0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.2246810121416182022GDPACF020000400006
20、000080000100000788082848688909294969800GDP 拒绝：拒绝：该时间序列的自相关系数在滞后1期之后的值全部为0的假设。结论结论:19782000年间中国GDP时间序列是非平稳序列。从滞后从滞后18期的期的QLB统计量看：统计量看：QLB(18)=57.1828.86=20.05 例例1.1.51.1.5 检验2.10中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。图图 9.1.6 19811996中中国国居居民民人人均均消消费费与与人人均均 GDP 时时间间序序列列及及其其样样本本自自相相关关图图 0100020003000400050006000
21、8284868890929496GDPPCCPC-0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.212345678910 11 12 13 14 15GDPPCCPC 原图 样本自相关图 从图形上看：从图形上看：人均居民消费（CPC）与人均国内生产总值（GDPPC）是非平稳的是非平稳的。从滞后从滞后1414期的期的QLB统计量看：统计量看：CPC与GDPPC序列的统计量计算值均为57.18，超过了显著性水平为5%时的临界值23.68。再次表明它们的非平稳性。表明它们的非平稳性。就此来说，运用传统的回归方法建立它们的就此来说，运用传统的回归方法建立它们的回归方程是无实际意义的。回归方程是
22、无实际意义的。不过，第三节中将看到，如果两个非平稳时不过，第三节中将看到，如果两个非平稳时间序列是间序列是协整协整的，则传统的回归结果却是有意义的，则传统的回归结果却是有意义的，而这两时间序列恰是的，而这两时间序列恰是协整协整的。的。四、平稳性的单位根检验四、平稳性的单位根检验 对时间序列的平稳性除了通过图形直观判断外，运用统计量进行统计检验则是更为准确与重要的。单位根检验（单位根检验（unit root test）是统计检验中普遍应用的一种检验方法。1 1、DFDF检验检验我们已知道，随机游走序列 Xt=Xt-1+t是非平稳的，其中t是白噪声。而该序列可看成是随机模型 Xt=Xt-1+t中参
23、数=1时的情形。也就是说，我们对式 Xt=Xt-1+t （*）做回归，如果确实发现=1，就说随机变量Xt有一个单位根单位根。（*）式可变形式成差分形式：Xt=(1-)Xt-1+t =Xt-1+t (*)检验（*）式是否存在单位根=1，也可通过（*）式判断是否有=0。一般地一般地:检验一个时间序列检验一个时间序列XtXt的平稳性，可通过检验的平稳性，可通过检验带有截距项的一阶自回归模型带有截距项的一阶自回归模型 X Xt t=+X Xt-1t-1+t t （*）中的参数中的参数 是否小于是否小于1 1。或者：或者：检验其等价变形式检验其等价变形式 X Xt t=+X Xt-1t-1+t t （*
24、）中的参数中的参数 是否小于是否小于0 0。在第二节中将证明，（*）式中的参数 11或或=1=1时，时，时间序列是非平稳的时间序列是非平稳的;对应于（*）式，则是 00或或 =0。因此，针对式 X Xt t=+X Xt-1t-1+t t 我们关心的检验为：零假设零假设 H0：=0。备择假设备择假设 H1：0 上述检验可通过上述检验可通过OLS法下的法下的t检验完成。检验完成。然而，在零假设（序列非平稳）下，即使在大样本下t统计量也是有偏误的（向下偏倚），通常的t 检验无法使用。Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量服从的分布（这时的t统计量称为 统计量统计量），即DF分布
25、分布（见表1.1.3）。由于t统计量的向下偏倚性，它呈现围绕小于零值的偏态分布。因此，可通过OLS法估计 X Xt t=+X Xt-1t-1+t t 并计算t统计量的值，与DF分布表中给定显著性水平下的临界值比较：如果：如果：t临界值，则拒绝零假设临界值，则拒绝零假设H0：=0，认为时间序列不存在单位根，是平稳的。认为时间序列不存在单位根，是平稳的。表表 9.1.3 DF 分分布布临临界界值值表表 样 本 容 量 显著性水平 25 50 100 500 t分布临界值（n=）0.01-3.75-3.58-3.51-3.44-3.43-2.33 0.05-3.00-2.93-2.89-2.87-2
26、.86-1.65 0.10-2.63-2.60-2.58-2.57-2.57-1.28 注意：在不同的教科书上有不同的描述，但是注意：在不同的教科书上有不同的描述，但是结果是相同的。结果是相同的。例如：例如：“如果计算得到的如果计算得到的t统计量的绝对值大于统计量的绝对值大于临界值的绝对值，则拒绝临界值的绝对值，则拒绝=0”的假设，原序的假设，原序列不存在单位根，为平稳序列。列不存在单位根，为平稳序列。进一步的问题进一步的问题：在上述使用 X Xt t=+X Xt-1t-1+t t对时间序列进行平稳性检验中，实际上实际上假定了时间序列是由假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程具
27、有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的生成的。但在实际检验中但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS法进行法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关估计均会表现出随机误差项出现自相关（autocorrelation），导致DF检验无效。另外另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自相关随自相关随机误差项问题机误差项问题。为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，形成
28、了ADF（Augment Dickey-Fuller）检验检验。2 2、ADFADF检验检验ADF检验是通过下面三个模型完成的：检验是通过下面三个模型完成的：模型模型3 中的中的t是时间变量是时间变量，代表了时间序列随时间变化的某种趋势（如果有的话）。检验的假设都是：针对检验的假设都是：针对H1:500-2.58-2.23-1.95-1.6125-3.75-3.33-3.00-2.6250-3.58-3.22-2.93-2.60100-3.51-3.17-2.89-2.58250-3.46-3.14-2.88-2.57500-3.44-3.13-2.87-2.57500-3.43-3.12-2
29、.86-2.57253.412.972.612.20503.282.892.562.181003.222.862.542.172503.192.842.532.165003.182.832.522.1625003.182.832.522.1625-4.38-3.95-3.60-3.2450-4.15-3.80-3.50-3.18100-4.04-3.73-3.45-3.15250-3.99-3.69-3.43-3.13500-3.98-3.68-3.42-3.13500-3.96-3.66-3.41-3.12254.053.593.202.77503.873.473.142.751003.78
30、3.423.112.732503.743.393.092.735003.723.383.082.725003.713.383.082.72253.743.252.852.39503.603.182.812.381003.533.142.792.382503.493.122.792.385003.483.112.782.3835003.463.112.782.38同时估计出上述三个模型的适当形式，然后通过ADF临界值表检验零假设H0：=0。1）只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设，就可以认为时间序列是平稳的；就可以认为时间序列是平稳的；2）当三个模型
31、的检验结果都不能拒绝零假设时，则）当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时，则认为时间序列是非平稳的。认为时间序列是非平稳的。这里所谓模型适当的形式模型适当的形式就是在每个模型中选取适当的滞后差分项，以使模型的残差项是一个白噪声（主要保证不存在自相关）。一个简单的检验过程：一个简单的检验过程：例例1.1.6 检验19782000年间中国支出法GDP时间序列的平稳性。21101.150.10093.027.22933.1011ttttGDPGDPGDPTGDP （-1.26）(1.91)(0.31)(8.94)(-4.95)1）经过偿试，模型3取了2阶滞后：通过拉格朗日乘数检验拉格朗日乘数检验（L
32、agrange multiplier test）对随机误差项的自相关性进行检验：LM（1）=0.92，LM（2）=4.16，小于5%显著性水平下自由度分别为1与2的2分布的临界值，可见不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。从从 的系数看，的系数看，t临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。时间T的t统计量小于ADF分布表中的临界值，因此不能拒绝不能拒绝不存在趋势项的零假设不存在趋势项的零假设。需进一步检验模型需进一步检验模型2。2）经试验，模型2中滞后项取2阶：21115.165.1057.045.357ttttGDPGDPGDPGDP （-0.90）(3.
33、38)(10.40)(-5.63)LM（1）=0.57 LM（2）=2.85 LM检验表明模型残差不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设不能拒绝存在单位根的零假设。常数项的t统计量小于AFD分布表中的临界值，不能拒不能拒绝不存常数项的零假设。绝不存常数项的零假设。需进一步检验模型1。3)经试验，模型1中滞后项取2阶：LM检验表明模型残差项不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。从GDPt-1的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。不能拒绝存在单位根的零假设。可断定中国支出法可断定
34、中国支出法GDP时间序列是非平稳的。时间序列是非平稳的。211194.1701.1063.0ttttGDPGDPGDPGDP （4.15）(11.46)(-6.05)LM（1）=0.17 LM（2）=2.67 例例1.1.7 检验2.10中关于人均居民消费与人均国内生产总值这两时间序列的平稳性。1)对中国人均国内生产总值中国人均国内生产总值GDPPC来说，经过偿试，三个模型的适当形式分别为模型 2：211425.1040.0652.002.192ttttGDPPCGDPPCGDPPCGDPPC （-1.78）(3.26)(0.08)(-2.96)43403.1412.0ttGDPPCGDPPC
35、 (-0.67)(-2.20)LM（1）=1.67 LM（2）=1.71 LM(3)=6.28 LM（4）=10.92 模型 3：1103.115.036.4508.75tttGDPPCGDPPCtGDPPC （-0.75）(1.93)(-1.04)(2.31)LM（1）=2.88 LM（2）=1.86 三个模型中参数的估计值的t统计量均大于各自的临界值，因此不能拒绝存在单位根的零假设不能拒绝存在单位根的零假设。结论：人均国内生产总值（人均国内生产总值（GDPPC）是非平稳是非平稳的。的。模型 1：211975.0875.0196.0ttttGDPPCGDPPCGDPPCGDPPC （2.63
36、）(2.61)(-2.72)LM（1）=0.20 LM（2）=3.53 2）对于人均居民消费CPC时间序列来说，三个模型的适当形式为 模型 3：114627.13646.098.3423.26tttCPCCPCtCPC (-0.477)(2.175)(-1.478)(2.318)LM(1)=1.577 LM(2)=1.834 模型 2：3211027.0655.1508.0545.088.79tttttCPCCPCCPCCPCCPC (-1.37)(3.37)(1.16)(-3.44)(-0.05)4824.1tCPC (-3.03)LM(1)=3.57 LM(2)=4.10 LM(3)=4.
37、89 LM(4)=10.99 三个模型中参数CPCt-1的t统计量的值均比ADF临界值表中各自的临界值大，不能拒绝该时间不能拒绝该时间序列存在单位根的假设序列存在单位根的假设，因此,可判断人均居民消费序列可判断人均居民消费序列CPC是非平稳是非平稳的。的。模型 1：4321171.108.048.188.037.0ttttttCPCCPCCPCCPCCPCCPC (3.60)(2.37)(-2.97)(0.12)(-2.68)LM(1)=1.83 LM(2)=1.84 LM(3)=2.00 LM(4)=2.33 五、单整、趋势平稳与差分平稳随机五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程过程 随机游走
38、序列 Xt=Xt-1+t经差分后等价地变形为 Xt=t 由于t是一个白噪声，因此差分后的序列差分后的序列 Xt是平稳的。是平稳的。单整单整 一般地，如果一个时间序列经过一般地，如果一个时间序列经过d次差分后变成平稳序列，次差分后变成平稳序列，则称原序列是则称原序列是d 阶单整阶单整（integrated of d）序列序列，记为，记为I(d)。显然，I(0)代表一平稳时间序列。代表一平稳时间序列。现实经济生活中现实经济生活中:1)只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的，如利率等如利率等;2)大多数指标的时间序列是非平稳的，大多数指标的时间序列是非平稳的，
39、如一些价格指数常常如一些价格指数常常是是2阶单整的，以不变价格表示的消费额、收入等常表现为阶单整的，以不变价格表示的消费额、收入等常表现为1阶单整。阶单整。大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式变为平稳的。变为平稳的。但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，都不能变为平但也有一些时间序列，无论经过多少次差分，都不能变为平稳的。这种序列被称为稳的。这种序列被称为非单整的（非单整的（non-integrated）。如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的，就称原序列是序列是一阶单整一阶单整
40、（integrated of 1）序列序列，记为，记为I(1)。例例1.1.8 中国支出法GDP的单整性。经过试算，发现中国支出法中国支出法GDP是是1阶单整的阶单整的，适当的检验模型为 1212966.0495.025.26108.1174tttGDPGDPtGDP (-1.99)(4.23)（-5.18）(6.42)2R=0.7501 LM(1)=0.40 LM(2)=1.29 例例1.1.9 中国人均居民消费与人均国内生产总值的单整性。经过试算，发现中国人均国内生产总值中国人均国内生产总值GDPPC是是2阶单阶单整的整的，适当的检验模型为 12360.0ttGDPPCGDPPC （-2.
41、17）2R=0.2778，LM(1)=0.31 LM(2)=0.54 同样地，CPC也是也是2阶单整的阶单整的，适当的检验模型为 12367.0ttCPCCPC （-2.08）2R=0.2515 LM(1)=1.99 LM(2)=2.36 趋势平稳与差分平稳随机过程趋势平稳与差分平稳随机过程 前文已指出，一些非平稳的经济时间序列往往表现出共同的变化趋势，而这些序列间本身不一定有直接的关联关系，这时对这些数据进行回归，尽管有较高的R2，但其结果是没有任何实际意义的。这种现象我们称之为虚假回归虚假回归或或伪回归伪回归（spurious regression）。如：用中国的劳动力时间序列数据与美国G
42、DP时间序列作回归，会得到较高的R2，但不能认为两者有直接的关联关系，而只不过它们有共同的趋势罢了，这种回归结果我们认为是虚假的。为了避免这种虚假回归的产生，通常的做法是引入作为趋势变量的时间，这样包含有时间趋势变量的回归，可以消除这种趋势性的影响。然而这种做法，只有当趋势性变量是确定性的确定性的（deterministic）而非随机性的（随机性的（stochastic），才会是有效的。换言之，如果一个包含有某种确定性趋势的非如果一个包含有某种确定性趋势的非平稳时间序列，可以通过引入表示这一确定性趋平稳时间序列，可以通过引入表示这一确定性趋势的趋势变量，而将确定性趋势分离出来。势的趋势变量，而
43、将确定性趋势分离出来。1)如果=1，=0，则（*）式成为一带位移的随机一带位移的随机游走过程游走过程：Xt=+Xt-1+t （*）根据的正负，Xt表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为随机性趋势（随机性趋势（stochastic trend）。2)如果=0，0，则（*）式成为一带时间趋势的随机变化过程：Xt=+t+t （*）根据的正负，Xt表现出明显的上升或下降趋势。这种趋势称为确定性趋势（确定性趋势（deterministic trend）。考虑如下的含有一阶自回归的随机过程：Xt=+t+Xt-1+t （*）其中:t是一白噪声，t为一时间趋势。3)如果=1，0，则Xt包含有确定性与随机性确
44、定性与随机性两种趋势。两种趋势。判断一个非平稳的时间序列，它的趋势是随机性的还是确定性的，可通过ADF检验中所用的第3个模型进行。该模型中已引入了表示确定性趋势的时间变量t，即分离出了确定性趋势的影响。因此，(1)如果检验结果表明所给时间序列有单位如果检验结果表明所给时间序列有单位根，且时间变量前的参数显著为零，则该序列显根，且时间变量前的参数显著为零，则该序列显示出随机性趋势示出随机性趋势;(2)如果没有单位根，且时间变量前的参数如果没有单位根，且时间变量前的参数显著地异于零，则该序列显示出确定性趋势。显著地异于零，则该序列显示出确定性趋势。随机性趋势可通过差分的方法消除随机性趋势可通过差分
45、的方法消除 如：对式Xt=+Xt-1+t 可通过差分变换为 Xt=+t 该时间序列称为差分平稳过程（差分平稳过程（difference stationary process）；确定性趋势无法通过差分的方法消除，而只能确定性趋势无法通过差分的方法消除，而只能通过除去趋势项消除，通过除去趋势项消除，如：对式Xt=+t+t可通过除去t变换为Xt-t=+t该时间序列是平稳的，因此称为趋势平稳过程趋势平稳过程（trend stationary process）。）。最后需要说明的是，最后需要说明的是，趋势平稳过程代表了一趋势平稳过程代表了一个时间序列长期稳定的变化过程，因而用于进行个时间序列长期稳定的变化过程，因而用于进行长期预测则是更为可靠的。长期预测则是更为可靠的。
