1、3.2.1几个常用几个常用函数的导数函数的导数高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用1一、复习一、复习1.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是:(1)()();yf xxf x 求函数的增量(2):()();yf xxf xxx 求函数的增量与自变量的增量的比值0(3)()lim.xyyfxx 求极限，得导函数说明说明:上面的方上面的方法中把法中把x换成换成x0即为求函数在即为求函数在点点x0处的处的 导数导数.22.函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x0处的函数值处的函数值,即即 .这也是求函数在点这也是求函数在
2、点x0 处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。)(0 xf)(xf 0|)()(0 xxxfxf 3.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲线就是曲线y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.4.求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（2）求出函数在点）求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。0()fx（3）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即000()()().y f xf x x x（1 1）找切点）找切点3二、
3、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.0()CC 公式一：为常数:(),yf xC解1)函数函数y=f(x)=c的导数的导数.()()0,yf xxf xCC 0,yx0()lim0.xyf xCx 4二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数1x 公式二：:(),yf xx解2)函数函数y=f(x)=x的导数的导数.()()(),yf xxf xxxxx 1,yx0()lim1.xyf xxx 5二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数22xx公式三：（）2:(),yf xx解3)函数函数y=f
4、(x)=x2的导数的导数.222()()()2,yf xxf xxxxxxx 222,yxxxxxxx 220002()()limlimlim(2)2.xxxyxxxf xxxxxxx 6二、几种常见函数的导数二、几种常见函数的导数211xx 公式三：（）1:(),yf xx解4)函数函数y=f(x)=1/x的导数的导数.11()()()xyf xxf xxxxxx x 1,()yxxx x200111()()limlim.()xxyf xxxxx xx 721)()2)(),3)(),14)(),yf xCyf xxyf xxyf xx1y 21 yx 2yx表示表示y=x图象上每一点处的切
5、线图象上每一点处的切线斜率都为斜率都为1这又说明什么这又说明什么?0y 表示表示y=C图象上每一点处的切线图象上每一点处的切线斜率都为斜率都为0这又说明什么这又说明什么?探究：探究：画出函数画出函数y=1/x的图像。根据图像，的图像。根据图像，描述它的变化情况。并求出曲线在描述它的变化情况。并求出曲线在点（点（1,1）处的切线方程。）处的切线方程。x+y-2=083.2.2基本初等函数基本初等函数的导数公式及导数的导数公式及导数的运算法则的运算法则高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用9可以直接使用的基本初等函数的导数公式可以直接使用的基本初等函数的导数公式1
6、1.(),()0;2.(),();3.()sin,()cos;4.()cos,()sin;5.(),()ln(0);6.(),();17.()log,()(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln,();fxxfxx则101求下列函数的导数：求下列函数的导数：31)1(xy 3)2(xy xyxy215log)6(log)5(32)8(2)7(6 xyxy练习练习:xyy3)4(xcos)3(xyeyxln)10()9(注意注意:关
7、于关于 是两个不同的函数是两个不同的函数,例如例如:axxa 和)3)(1(x)(2(3xxxyy3log)2(4)1(111 1、求下列函数的导数、求下列函数的导数xyyyx2.0log)3(2)2(xsin2)1(xyeyyxyxln)10(3)9(2)8(5)7(521)6(3)5(xcos)4(xyxyy课堂练习课堂练习120001205%()(1 5%).0110.0tpp tpptp例：假设某国家在年期间的通货膨胀率为。物价（单位:元）与时间t（单位：年）有如下关系:其中 为时的物价。假定某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？（精确到0 1）0()1.05
8、ln1.05tp tp解：由导数公式：10(10)1.05 ln1.05p0.08(元/年）10.0答:在第个年头,这种商品的价格约以0 8元/年的速度上涨。0510p 思考：若某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？0()1.05ln1.05,tp tp(10)5 0.080.4p 13导数的运算法则导数的运算法则:)u(vw(vw)uuvw法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的和等于这两个函数的导数的和(差差),即即:()()()()f xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导
9、数乘第二个函数等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数,即即:()()()()()()f xg xfx g xf x g x由由法则法则2:()()()()C f xC f xC fxC fxwuvwvuvwu 轮流求导轮流求导,再相加再相加14法则法则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于第一个函的等于第一个函的 导数乘第二个函数导数乘第二个函数,减去减去第一个函数乘第二第一个函数乘第二个函数的导数个函数的导数,再除以第二个函数的平方再除以第二个函数的平方.即即:2()()()()()()0)()()f xf x g xf x
10、 g xg xg xg x15题型一：导数公式及导数运算法则的应用题型一：导数公式及导数运算法则的应用16171819练习练习:求下列函数的导数求下列函数的导数:322224(1)2312(2);(3);1(4)tan;(5)(23)1;1(6);(7);yxxyxxxyxyxyyxyxxx x答案答案:2(1)32;yx22 21(3);(1)xyx21(4);cosyx 326(5);1xxyx2314(2);yxx54(6);yx3(7);2yx203:5284(80100).100 xx例日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知1吨水净化到纯净
11、度为x%时所需费用（单位:元）为：c(x)=求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率;(1)90%;(2)98%.解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数。252845284(100)5284(100)()100(100)xxc xxx=(25284(100)x20(100)5284(1)(100)xx 2125284()(100)c xx.8纯净度为90%时，净化费用的瞬时变化率是52 4元/吨。25284(1)(90)52.84(10090)c纯净度为98%时，净化费用的瞬时变化率是1321元/吨。25284(2)(98)1321(10098)c22题型二：导数的综合应用题型二
12、：导数的综合应用92013232220200 xxy232425例例6.已知曲线已知曲线S1:y=x2与与S2:y=-(x-2)2,若直线若直线l与与S1,S2均均 相切相切,求求l的方程的方程.解解:设设l与与S1相切于相切于P(x1,x12),l与与S2相切于相切于Q(x2,-(x2-2)2).对于对于 则与则与S1相切于相切于P点的切线方程为点的切线方程为y-x12=2x1(x-x1),即即y=2x1x-x12.,2,1xyS 对于对于 与与S2相切于相切于Q点的切线方程为点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即即y=-2(x2-2)x+x22-4.),2(2,2 xyS因为两切线重合因为两切线重合,.02204)2(222121222121 xxxxxxxx或或若若x1=0,x2=2,则则l为为y=0;若若x1=2,x2=0,则则l为为y=4x-4.所以所求所以所求l的方程为的方程为:y=0或或y=4x-4.26作业 P85习题3.2A组4.5.6.7.8，B组127
