1、13.4 13.4 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册）能利用轴对称解决简单的最短路径问题，能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想作用，感悟转化思想学习重点：学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短两点之间，线段最短”问题问题 如图所示，从如图所示，从A A地到地到B B地有三条路地有三条路可供选择，选走哪条路最近？你可供选择，选走哪条路最近？你的理由是什么？的理由是什
2、么？两点之间两点之间,线段最短线段最短FEDCBA 已知：如图，已知：如图，A A，B B在直线在直线L L的两侧，在的两侧，在L L上求一点上求一点P P，使得，使得PA+PBPA+PB最小。最小。P连接连接AB,AB,线段线段ABAB与直线与直线L L的交点的交点P P，就是所求。，就是所求。思考？思考？为什么这样做就能得到最短距为什么这样做就能得到最短距离呢？离呢？根据：根据：两点之间线段最短两点之间线段最短.P如图，要在燃气管道如图，要在燃气管道L L上修建一个泵站，分别向上修建一个泵站，分别向A A、B B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使
3、所用的输气管线最短？用的输气管线最短？P所以泵站建在点所以泵站建在点P P可使输气管线最短可使输气管线最短应用认真阅读课本第85-86页问题2以上部分内容，并认真思考：如何在L上找到点C，使得这个点到A的距离和到B点的距离之和最短？ABl B/P 点点P P的位置即为所求的位置即为所求.M 作法：作法：作点作点B B关于直线关于直线l l的对称点的对称点B B/.连接连接ABAB/,交直线交直线l l于点于点P.P.已知：如图已知：如图,A,A、B B在直线在直线L L的同一侧，在的同一侧，在L L上上求一点，使得求一点，使得PA+PBPA+PB最小最小.为什么这样做就能得为什么这样做就能得到
4、最短距离呢？到最短距离呢？MA+MBPA+PB 即即MA+MBPA+PB 三角形任意两边之和大于第三边三角形任意两边之和大于第三边 问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，问题：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区向居民区A A、B B提供牛奶，奶站应建在什么地方，提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从才能使从A A、B B到它的距离之和最短到它的距离之和最短 请你自己动手 试一试！只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小作点A关于直线“街道”的对称点A，然后连接AB，交“街道”于点C，则点C就是所求的点 D 2.如图，如图，A A、B B是两个蓄水池，都在河流是两个蓄水池，都在
5、河流a a的同侧，为了方便灌溉作物，的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建要在河边建一个抽水站，将河水送到一个抽水站，将河水送到A A、B B两地，问该站两地，问该站建在河边什么地方，建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。试在图中确定该点。作法：作法：作点作点B B关于直线关于直线 a 的对称点点的对称点点C,C,连接连接ACAC交直线交直线a于点D，则点D为建抽水站的位置。抽水站的位置。ABa 认真阅读课本认真阅读课本第第86-8786-87页页内容，并内容，并认真思考问题认真思考问题2 2：如何在如何在L L上找到点上找到点C C，使得这个点到，使得这个
6、点到A A的距离和到的距离和到B B点的距离之和最短？点的距离之和最短？如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AM、NB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）AB最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）作法：作法：1.1.将点将点B B沿垂直与河岸的方向平移一个沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到河宽到E E，2.2.连接连接AEAE交河对岸与点交河对岸与点M,M,则点则点M M为建桥的位置，为建桥的位置，MNMN为所建的桥为所建的桥。证明：由平移的性质，得证明：由平移的性质，得 BNEM BNEM
7、且且BN=EM,BN=EM,MN=CD,BDMN=CD,BDCE,BD=CE,CE,BD=CE,所以所以A.BA.B两地的距两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在若桥的位置建在CDCD处，连接处，连接AC.CD.DB.CE,AC.CD.DB.CE,则则ABAB两地的距离为：两地的距离为：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在在ACEACE中，中，AC+CEAC+CEAE,AE,AC+CE+MNAC+CE+MNAE+MN,AE+MN,即即AC+
8、CD+DB AC+CD+DB AM+MN+BNAM+MN+BN所以桥的位置建在所以桥的位置建在CDCD处，处，ABAB两地的路程最短两地的路程最短。ABMNECD最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）1、如图，张庄、如图，张庄A、李庄、李庄B位于河沿的同侧，现要在位于河沿的同侧，现要在河沿河沿g上修一提灌站上修一提灌站C向张庄向张庄A、李庄、李庄B提水。当提提水。当提灌站修在河沿灌站修在河沿g的的C处时，所用水管最短，为处时，所用水管最短，为3千米。千米。已知已知BC的长为的长为2千米，你能在图中找出张庄千米，你能在图中找出张庄A的位的位置吗？置吗？g
9、.提灌站提灌站C李庄李庄B最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）2、如图，小河边有两个村庄、如图，小河边有两个村庄A,B,要在河边建一自要在河边建一自来水厂向村庄来水厂向村庄A与村庄与村庄B供水。供水。(1)若要使厂部到若要使厂部到A,B村庄的距离相等，则应选择在村庄的距离相等，则应选择在哪建厂？哪建厂？（2）若要使厂部到）若要使厂部到A,B村的水管最省料，应建在什村的水管最省料，应建在什么地方？么地方？A村村B村村最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）这节课你学到了什么？这节课你学到了什么？最短路径问题实用课
10、件1（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）草地草地河边河边.驻地驻地A例例3.3.如图：一位将军骑马从如图：一位将军骑马从驻地驻地A A出发，先牵马去出发，先牵马去草地草地 OMOM吃草，再牵马去吃草，再牵马去河边河边ONON喝水，喝水，最后回到驻地最后回到驻地A A，问：这位将军怎样走路程最短？问：这位将军怎样走路程最短？OMN(三三)二次轴对称：二次轴对称：一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）例例3 3变式：已知变式：已知P P是是ABCABC的边的边BCBC上的点，上的点，你能在你能在
11、ABAB、ACAC上分别确定一点上分别确定一点Q Q和和R R，使使PQRPQR的周长最短吗？的周长最短吗？(三三)二次轴对称：二次轴对称：一点在两相交直线内部一点在两相交直线内部最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）例例4 4：如图，如图，A A为马厩，为马厩，B B为帐篷，为帐篷，将军将军某一天要某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。最短路线。（四）二次轴对称：（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部两点
12、在两相交直线内部最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）ABA/B/PQ最短路线：最短路线：A P Q BA P Q BlMN最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）例例4变式变式：如图，如图，OMCN是矩形的台球桌面，有是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？后，反弹击中黑球？（四）二次轴对称：（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部最短路径
13、问题实用课件1（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）.,.AOMABONB作法:(1)作点 关于的对称点点 关于的对称点(2)ABOMCOND连结 和，交于，交于。则点C、D为所求。.AABBCDMON例4变式：（四）二次轴对称：（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部两点在两相交直线内部最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）两点在一条河两侧两点在一条河两侧例例5.5.如图：古希腊一位将军骑马从城堡如图：古希腊一位将军骑马从城堡A A到城堡到城堡B B，A A和和B B两两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥地在一条河的两岸，现要在河
14、上造一座桥MN.MN.桥建在何桥建在何处才能使将军从处才能使将军从A A到到B B的路径的路径AMNBAMNB最短？（假定河的两岸最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）是平行的直线，桥要与河垂直）BA造桥选址问题造桥选址问题最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）思维分析思维分析BA 1、如图假定任选位置造桥、如图假定任选位置造桥，连接和，从，连接和，从A到到B的路径是的路径是AM+MN+BN，那么怎，那么怎样确定什么情况下最短呢？样确定什么情况下最短呢？2、利用线段公理解决问题我们、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？遇到了什么障碍呢？最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）最短路径问题实用课件1（PPT优秀课件）
