1、第3章 微分中值定理及其应用 第3章 微分中值定理及其应用 3.1 微分中值定理 3.2 洛必达法则 3.3 函数的单调性与极值 3.4 曲线的凹向与拐点 第3章 微分中值定理及其应用 3.1 微分中值定理微分中值定理3.1.1 罗尔定理罗尔定理定理3.1(罗尔(Rolle)定理)如果函数f(x)满足条件：(1)在闭区间a，b上连续；(2)在开区间(a，b)内可导；(3)f(a)=f(b)，则在开区间(a，b)内至少存在一点，使得f()=0.罗尔定理的几何意义如下：图3-1中，函数y=f(x)表示了(a，b)内一条光滑连续的曲线，且曲线两端点A、B的纵坐标相等，即f(a)=f(b)，那么在曲线
2、上至少存在一点，使得曲线在该点处的切线平行于x轴，即f()=0.第3章 微分中值定理及其应用 图3-1第3章 微分中值定理及其应用 例例1 验证函数在区间0，2上满足罗尔定理的条件，并求出罗尔定理中的值.解解 显然，函数在闭区间0，2上连续，在开区间(0，2)内可导，且f(0)=0，f(2)=0.又由于令f(x)=0，解得x=4/3因(4/3)(0，2)，故取=4/3()2f xxx()2f xxx43()22 22 2xxfxxxx第3章 微分中值定理及其应用 3.1.2 拉格朗日拉格朗日(Lagrange)中值定理中值定理定理定理3.2(拉格朗日(Lagrange)中值定理)如果函数f(x
3、)满足条件：(1)在闭区间a，b上连续；(2)在开区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内至少存在一点，使得或f(b)f(a)=f()(ba)显然，拉格朗日中值定理的几何意义如下：图3-2中，函数y=f(x)表示了(a，b)内一条光滑连续的曲线，则在曲线上至少存在一点，使得曲线在该点处的切线与弦AB平行.abafbff)()()(第3章 微分中值定理及其应用 图 3-2第3章 微分中值定理及其应用 注注 当f(a)=f(b)时，拉格朗日中值定理就变成了罗尔定理，即罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理，它建立了函数在一个区间上的改变量和函数在该区间内某点的
4、导数之间的联系，从而使我们有可能利用导数去研究函数在区间上的性态.拉格朗日中值定理有如下两个推论.第3章 微分中值定理及其应用 推论推论1 如果函数f(x)在(a，b)内每一点的导数f(x)=0，则在(a，b)内f(x)为一个常数.证明证明 在(a，b)内任取两点x1、x2，且x10时，不等式xln(1+x)成立.证明证明 设f(x)=xln(1+x)，因为f(x)为初等函数，故其在0，+)上连续.又由此可知f(x)在(0，+)内可导，于是f(x)在区间0，x(x0)上满足拉格朗日中值定理条件，所以至少存在一点(0，x)，使得 f(x)f(0)=f()(x0)而已知x0，所以0,/(1+)0，
5、从而f()0，且f(0)=0，于是 f(x)0即xln(1+x)xxf111)(1111)(f第3章 微分中值定理及其应用 3.1.3 柯西定理柯西定理定理定理3.3(柯西(Cauchy)定理)如果函数f(x)与g(x)都在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且g(x)0，则在开区间(a，b)内至少存在一点，使得)()()()()()(gfagbgafbf第3章 微分中值定理及其应用 3.2 洛洛 必必 达达 法法 则则3.2.1 “(0/0)”和“(/)”基本未定式定理定理3.4(洛必达法则一)如果函数f(x)与g(x)满足条件：(1)，0)(lim0 xfxx0)(lim0 xg
6、xx(2)f(x)与g(x)在点x0的某个邻域内(点x0可除外)可导，且g(x)0；(3)()()(lim0 或Axgxfxx则有)()()(lim )()(lim 00 或Axgxfxgxfxxxx第3章 微分中值定理及其应用 定理定理3.5(洛必达法则二)如果函数f(x)与g(x)满足条件：(1)，(2)f(x)与g(x)在点x0的某个邻域内(点x0可除外)可导，且g(x)0；(3)(lim0 xfxx)(lim0 xgxx)()()(lim0 或Axgxfxx则有)()()(lim )()(lim 00 或Axgxfxgxfxxxx第3章 微分中值定理及其应用 例例1 求 654lim2
7、22xxxx解解 这是“0/0”型未定式，因此4522lim654lim2222xxxxxxx例例2 求 01limxxex解解 这是“(0/0)”型未定式，因此001limlim=11xxxxeex第3章 微分中值定理及其应用 例例3 求.解解 这是“(0/0)”型未定式，因此301 cos limxxx320001 cossincos limlimlim36xxxxxxxxx 例例4 2lnlimxxx解解 这是“(/)”型未定式，因此2lnlimlimxxxx2ln2lim0 xxxx第3章 微分中值定理及其应用 例例5 求.解解 这是“(/)”型未定式，因此2ln2 lim tanxx
8、x2222lncos2 lim limlim2cos sin0tan2xxxxxxxxx第3章 微分中值定理及其应用 3.2.2 其他未定式其他未定式洛必达法则除了求“0/0”型和“/”型基本未定式的极限外，还可以用来求“0”、“”、“00”、“0”、“1”型等其他未定式的极限，但需先将它们化为基本未定式“0/0”或“/”型，再使用洛必达法则计算.例例6 求解解 这是“0”型未定式，因此20limlnxxx222000031ln11limlnlimlimlim0122xxxxxxxxxxx 第3章 微分中值定理及其应用 例例7 求 解解 这是“”型未定式，因此011lim1xxxe000111
9、1limlimlim1(1)1xxxxxxxxxexexex exee01lim22xxxxexee例例8 求解解 这是“0”型未定式，因此 lim 1xxx求xxxxxxxxeexln1limln11limlim 第3章 微分中值定理及其应用 又所以01limlnlimln1limxxxxxxxx1lim 01exxx例例9 求解解 这是“/”型未定式，因此sinlimxxxx1cos1limsinlimxxxxxx这时，不满足洛必达法则条件(3)，所以不能使用该法则.但是，原极限用如下方法可解：11sin1limsinlimxxxxxxx第3章 微分中值定理及其应用 3.3 函数的单调性与
10、极值函数的单调性与极值3.3.1 函数的单调性函数的单调性单调性是函数的一个重要性质，第1章中我们给出了函数单调性的定义，但是利用定义来判断函数的单调性往往是比较复杂的.本节将讨论函数的单调性与导数间的关系，继而给出利用导数判断函数单调性的新的方法.在图3-3中，曲线沿x轴正向是上升的，其上每一点的切线与x轴正向的夹角都是锐角，因而切线的斜率都大于零，即曲线上各点的导数都大于零；相反地，在图3-4中，曲线沿x轴正向是下降的，其上每一点的切线与x轴正向的夹角都是钝角,因而切线的斜率都小于零,即曲线上各点的导数都小于零.第3章 微分中值定理及其应用 图 3-3 第3章 微分中值定理及其应用 图3-
11、4第3章 微分中值定理及其应用 定理定理3.6 设函数f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导.(1)如果在开区间(a，b)内，f(x)0，则函数f(x)在闭区间a，b上单调递增；(2)如果在开区间(a，b)内，f(x)0，则函数f(x)在闭区间a，b上单调递减.注 (1)该定理中的连续区间若改为开区间或半闭半开区间，结论也相应成立.(2)如果函数f(x)在区间(a，b)内的个别点的导数等于零，在其余点的导数同号，则不影响函数在该区间内的单调性.如：y=x3，在x=0处的导数等于零，而在其余点的导数都大于零，故它在(，+)内单调递增.第3章 微分中值定理及其应用(3)有的函数在整
12、个定义域上并不具有单调性，但在其各个子区间上却具有单调性.如：y=x2+1，在区间(，0)内单调递减，在区间(0，+)内单调递增，并且分界点 x=0 处有f(0)=0(通常把导数为零的点称为驻点).因此，要求函数的单调区间，一般分三步：(1)求一阶导数f(x).(2)求分界点：使一阶导数f(x)=0的驻点和一阶导数不存在的点.(3)讨论各子区间上的单调性.第3章 微分中值定理及其应用 例例1 求函数f(x)=x36x2+9x4的单调区间.解解 函数f(x)=x36x2+9x4的定义域为(，+)，由于f(x)=3x212x+9=3(x1)(x3)所以令f(x)=0，得x1=1，x2=3显然，这些
13、点将区间(，+)划分为三个子区间，具体情况见表3-1.第3章 微分中值定理及其应用 第3章 微分中值定理及其应用 例例2 求函数f(x)=2x+(8/x)的单调区间.解解 函数的定义域为(，0)(0，+)，由于f(x)=2(8/x2)所以当x=2时，f(x)=0；当x=0时，f(x)不存在.显然，这些点将区间(，+)划分为四个子区间，具体情况见表3-2.第3章 微分中值定理及其应用 3.3.2 函数的极值函数的极值1.极值的概念极值的概念定义定义3.1 设函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果对于该邻域内任一点(xx0)，恒有f(x)f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)的一个极小值，
14、并称x0为极小值点.函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点.第3章 微分中值定理及其应用 注注 (1)极值是一个局部概念，是相对于极值点附近的某一邻域而言的;最值是一个整体概念，是针对整个区间而言的.(2)极值只能在区间内部取得；最值不仅可以在区间内部取得，还可以在区间的端点处取得.(3)一个区间内可能有多个极值，并且极大值不一定大于极小值，如图3-5中极小值f(x4)就大于极大值f(x1)；最值如果存在，则有且只有一个.第3章 微分中值定理及其应用 图 3-5 第3章 微分中值定理及其应用 2.极值的求法极值的求法从图3-5中可以看出，可导函数在极值点的切线一定
15、是水平方向的，但是有水平切线的点却不一定是极值点，如图中的x5点.下面介绍极值存在的必要条件和充分条件.定理定理3.7(极值存在的必要条件)如果函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则f(x0)=0.由此可知，可导函数的极值点一定是驻点;反之，驻点不一定是极值点，如图3-5中的x5点.对于一个连续函数而言，它的极值点也可能是导数不存在的点，如图3-5中的x4点.第3章 微分中值定理及其应用 定理3.8(极值存在的第一充分条件)设函数f(x)在点x0的某一邻域内连续且可导(x0点可以不可导)，当x由左到右经过x0点时：(1)若f(x)由正变负，那么x0点是极大值点；(2)若f(x)由负变
16、正，那么x0点是极小值点；(3)若f(x)不变号，那么x0点不是极值点.由定理3.8可知，求函数极值点和极值的一般步骤如下：(1)求出函数的定义域及导数f(x).(2)求出f(x)的全部驻点和导数不存在的点.(3)用这些点将定义域划分为若干个子区间，列表考察各子区间内导数f(x)的符号，用定理3.8确定该点是否为极值点.第3章 微分中值定理及其应用 例例3 求函数f(x)=(x21)3+1的极值.解解 (1)f(x)的定义域为(，+)，f(x)=6x(x21)2.(2)令f(x)=0，解得驻点x1=1，x2=0，x3=1.(3)用这些驻点将定义域划分为四个子区间，见表3-3.第3章 微分中值定
17、理及其应用 例例4 求函数f(x)=2(x1)2/3的极值.解解 (1)f(x)的定义域为(，+)，(2)当x=1时，f(x)不存在.(3)显然，当x0；当x1时，f(x)0.故有极大值f(1)=1.定理3.9(极值存在的第二充分条件)设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且f(x0)=0，f(x0)0.(1)若f(x0)0，则函数f(x)在点x0处取得极小值.13322()(1)331fxxx 第3章 微分中值定理及其应用 例例5 求函数f(x)=x34x2+4的极值.解解 (1)f(x)的定义域为(，+)，f(x)=3x28x=x(3x8).(2)令f(x)=0，解得驻点x1=0，x2=(
18、8/3).(3)由于f(x)=6x8，所以有 f(0)=80故函数有极小值f(8/3)=(148/27)，极大值f(0)=4.第3章 微分中值定理及其应用 3.3.3 函数的最值函数的最值在工农业生产、工程技术和经济管理等活动中，经常会遇到这样一类问题：在一定的条件下，如何才能做到“用料最省”、“成本最低”、“利润最大”、“效率最高”等问题，这类问题在数学上都可以归结为求函数的最大值、最小值问题.由闭区间上连续函数的性质可知，闭区间a，b上的连续函数f(x)一定有最大值和最小值.由极值和最值间的关系不难看出，函数在闭区间a，b上的最大值和最小值只能在开区间(a，b)内的极值点或区间的端点处取得
19、.因此，闭区间a，b上函数的最大值和最小值可按如下方法求得：第3章 微分中值定理及其应用(1)求出函数f(x)在(a，b)内的所有可能极值点(驻点或不可导点).(2)求出所有可能极值点的函数值以及端点的函数值f(a)和f(b).(3)比较求出的所有函数值的大小，其中最大的就是函数f(x)在闭区间a，b上的最大值，最小的就是函数f(x)在闭区间a，b上的最小值.例例6 求函数在0，4上的最大值和最小值.解解 因为()2f xxx141()222xfxxx第3章 微分中值定理及其应用 令f(x)=0，解得驻点x=1/16由于f(1/16)=(1/8)，而端点值f(0)=0，f(4)=6故函数f(x
20、)在0，4上的最大值为f(4)=6，最小值为f(1/16)=(1/8).在实际问题中，往往可以根据问题的性质就断定在定义域内一定有最大值或最小值.可以证明，如果函数在其定义域内存在着最大值或最小值，且只有一个可能极值点，那么，可以断定函数在该点一定取得相应的最大值或最小值.第3章 微分中值定理及其应用 例例7 已知某个企业的生产成本函数为C=q39q2+30q+25其中:C为成本(单位：千元);q为产量(单位：吨).求平均可变成本y(单位：千元)的最小值.解解 依题意，平均可变成本为y=(C25)/q=q29q+30故y=2q9.令y=2q9=0，得q=4.5吨.又y|q=4.5=20，所以q
21、=4.5时，y取得极小值，由于是唯一的极小值，故也是最小值.即当产量q=4.5吨时，平均可变成本y取得最小值y=9.75千元第3章 微分中值定理及其应用 例例8 设某商品每天的市场需求量Q=18(P/4)，若工厂每天生产该商品的成本函数是C(Q)=120+2Q+Q2(元)，问该厂每天产量为多少时，可使利润最大？这时价格是多少？解解 由Q=18(P/4)可得P=724Q故总收入函数为R(Q)=(724Q)Q=72Q4Q2利润函数为L(Q)=R(Q)C(Q)=5Q2+70Q120又L(Q)=10Q+70，故令L(Q)=0，可得Q=7由实际情况可得，当每天的产量Q=7时，有最大利润L(7)=125元
22、，这时商品的价格P=7247=44元.第3章 微分中值定理及其应用 3.4 曲线的凹向与拐点曲线的凹向与拐点3.4.1 曲线的凹向与拐点曲线的凹向与拐点1.曲线凹向与拐点的概念曲线凹向与拐点的概念定义定义3.2 如果在区间(a，b)内，曲线始终位于其上各点的切线的上方，则称曲线在区间(a，b)内是上凹的；如果曲线始终位于其上每一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹的.从图3-7中不难看出，在区间(a，b)内曲线段AB是下凹的，在区间(b，c)内曲线段BC是上凹的.第3章 微分中值定理及其应用 图 3-7 第3章 微分中值定理及其应用 定义3.3 连续曲线上上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点
23、.2.曲线凹向的判定曲线凹向的判定定理定理3.10(曲线凹向判定定理)设函数f(x)在开区间(a，b)内具有二阶导数.(1)若在开区间(a，b)内，恒有f(x)0，则曲线y=f(x)在开区间(a，b)内是上凹的；(2)若在开区间(a，b)内，恒有f(x)0，则曲线y=f(x)在开区间(a，b)内是下凹的.由于拐点是连续曲线上凹与下凹的分界点，故在拐点两侧的二阶导数f(x)必然异号，从而在拐点处必有f(x)=0或f(x)不存在.也就是说，二阶导数为零的点或二阶导数不存在的点都可能是曲线的拐点.第3章 微分中值定理及其应用 例例1 求曲线y=lnx的凹向区间与拐点.解解 函数y=lnx的定义域为(
24、0，+)，且y=(1/x)，y=(1/x2)因此，在(0，+)内，恒有y0，故曲线y=lnx在(0，+)内是下凹的，无拐点.例例2 求曲线y=3x44x3+1的凹向区间与拐点.解解 函数y=3x44x3+1的定义域为(，+)，且y=12x312x2，y=36x224x=12x(3x2)令y=0，解得x1=0，x2=2/3这些点将定义域划分为三个子区间，见表3-4.第3章 微分中值定理及其应用 第3章 微分中值定理及其应用 例例3 求曲线y=ln(x2+1)的凹向区间与拐点.解解 函数y=ln(x2+1)的定义域为(，+)，且令y=0，解得x1=1，x2=1这些点将定义域划分为三个子区间，见表3
25、-5.第3章 微分中值定理及其应用 第3章 微分中值定理及其应用 3.4.2 曲线的渐近线曲线的渐近线 在描绘函数图像时会遇到这样一种情形：有些函数的定义域(或值域)是无限区间，此时函数的图像向无穷远处延伸，并且常常会接近某一条直线，这样的直线称为曲线的渐近线，如双曲线x2/a2(y2/b2)=1、指数函数曲线y=ax等.定义定义3.4 若曲线上的动点沿着曲线无限远移时，该点与某条定直线的距离趋近于零，则称这条定直线为曲线的渐近线.渐近线分水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线三类.下面介绍前两种渐近线的求法.(1)水平渐近线：如果曲线y=f(x)满足，则称直线y=A为曲线f(x)的水平渐近线.Ax
26、fx)(lim第3章 微分中值定理及其应用(2)铅直渐近线：如果曲线y=f(x)在点x0处间断，且，则称直线x=x0为曲线f(x)的铅直渐近线.例例4 求曲线y=(1/x1)的水平渐近线和铅直渐近线.解解 因为，所以直线y=0是曲线的水平渐近线.又x=1是间断点，且，所以直线x=1是曲线的铅直渐近线，如图3-8所示.)(lim0 xfxx011limxx11lim1xx第3章 微分中值定理及其应用 图3-8第3章 微分中值定理及其应用 例例5 求曲线的水平渐近线和铅直渐近线.解解 因为 ，所以直线y=3为曲线的水平渐近线.又曲线在点x1=1和x2=4处间断，且所以直线x=1和x=4均为曲线的铅
27、直渐近线.22334xyxx223 lim334xxxx2213lim34xxxx 2243lim34xxxx 第3章 微分中值定理及其应用 3.4.3 函数图形的描绘函数图形的描绘 前面我们利用导数研究了函数的单调性、极值与最值、凹向区间与拐点、渐近线等特征，这样结合中学的描点作图法，就可以准确地描绘出函数的图像.通常按以下几个步骤来作函数图像：(1)确定函数的定义域和值域.(2)确定曲线与坐标轴的交点.(3)判断函数的奇偶性和周期性.(4)确定函数的单调区间并求极值.(5)确定曲线的凹向区间和拐点.(6)确定曲线的渐近线.(7)根据以上讨论，描绘出函数的图像.第3章 微分中值定理及其应用
28、例例6 描绘函数的图像.解解 (1)函数的定义域为(，0)(0，+).(2)令y=0，即，化简得2x24x4=0，解得，即曲线与x轴交于两点.(3)无奇偶性、周期性.(4)因为2)1(42xxy02)1(422xxx31x)0 ,3(1)0 ,31(和34242)2(484)1(84xxxxxxxxxy令y=0，解得驻点x=2.第3章 微分中值定理及其应用(5)因为令y=0，得x=3.(6)因为，所以直线y=-2为水平渐近线.又所以直线x=0为铅直渐近线.具体情况见表3-6.4623623)3(8248)2(124xxxxxxxxxy 2)2)1(4(lim2xxx)2)1(4(lim20 xxx第3章 微分中值定理及其应用 第3章 微分中值定理及其应用(7)根据上述特征，描绘出函数图像，见图3-9.图 3-9
