1、第2章 导数与微分 第2章 导数与微分 2.1 导数的概念 2.2 导数的运算 2.3 微分 第2章 导数与微分 2.1 导导 数数 的的 概概 念念2.1.1 引例引例引例引例1(变速直线运动的速度)设一物体做变速直线运动，运动方程为s=s(t)，现求其在某一时刻t0的瞬时速度v0.设时间t由t0变化到t0+t，则时间t的增量为t.相应地，路程增量为s=s(t0+t)s(t0).于是，这段时间内的平均速度为.显然，当时间增量t很小时，平均速递就可以近似地表示物体在t0时刻的瞬时速度，并且t越小，近似的精确度越高.因此，当t0时，如果极限存在，则这个极限就表示了物体在t0时刻的瞬时速度，即00
2、()()ss tts tvtt0limtst 00000()()limlimttss tts tvtt 第2章 导数与微分 例例1 已知物体做自由落体运动，运动方程为s=(1/2)gt2求任意时刻t0的瞬时速度v0.解解 给时间t在t0时刻以增量t，则相应的路程增量为220011()22sg ttgt 201()2gttgt 于是，这段时间内的平均速度为012svgtg tt令t0，则t0时刻的瞬时速度为000001limlim2ttsvgtg tgtt 第2章 导数与微分 引例引例2(平面曲线的切线斜率)设曲线y=f(x)上有一定点M0(x0，y0)，求曲线在该点的切线斜率.如图2-1所示，
3、在曲线y=f(x)上任取一动点M(x0+x，y0+y)，作割线M0M，当动点M沿着曲线无限趋近于定点M0时，割线M0M的极限位置M0T就定义为曲线在点M0处的切线，过M0且与切线垂直的直线称为曲线在点M0处的法线.由于割线M0M的斜率为000()()M Myf xxf xkxx故令x0，则过点M0的切线斜率为00limM Txykx 000()()limxf xxf xx 第2章 导数与微分 图2-1第2章 导数与微分 引例引例3(边际成本问题)设某产品的总成本C是产量Q的函数：C=C(Q)，求产量为Q0时，总成本的变化率.当产量Q由Q0变化到Q0+Q时，总成本的改变量为C=C(Q0+Q)C(
4、Q0)于是总成本的平均变化率为 当Q很小时，上式可近似表示总成本在Q0的变化率，并且Q越小，近似程度越高，故令Q0，可得总成本的变化率为00()()CC QQC QQQ0000()()limlimQQCC QQC QQQ 在经济学中，总成本的变化率也称为边际成本.第2章 导数与微分 2.1.2 导数的概念导数的概念1.导数的定义导数的定义定义定义2.1 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，当自变量x在点x0处取得增量x(0)时，函数f(x)有相应的增量y=f(x0+x)f(x0).如果当x0时，xyx0lim000()()limxf xxf xx 存在，则称f(x)在点x0处可导，并
5、将此极限称为函数y=f(x)在点x0处的导数，记作f(x0)或y(x0)或(dy/dx)|x=x0或(df(x)/dx)|x=x0.如果不存在，则称函数y=f(x)在点x0处不可导.xyx0lim第2章 导数与微分 例例2 求函数y=3x2x+1在x0=2处的导数.解解 给自变量x在x0=2处以增量x，则函数相应的增量为y=3(2+x)2(2+x)+111 =3(x)2+11x于是故有即f(2)=11311yxx 00limlim 31111xxyxx 第2章 导数与微分 定义定义2.2 如果函数y=f(x)在区间(a，b)内的每一点都可导，则称函数f(x)在区间(a，b)内可导.如果函数f(
6、x)在区间(a，b)内可导，则对于任意x(a，b)，都有一个确定的导数值f(x)与之对应，这样就确定了一个新函数.我们称这个新函数为函数y=f(x)在区间(a，b)内的导函数，简称导数，记作y或f(x)或(dy/dx)或(df(x)/dx).注注 函数在点x0处的导数等于其导函数在该点的函数值.有了导数的概念后，2.1.1节中所讲的三个引例就可以用导数来表示，它们分别表示了导数在物理、几何、经济方面的意义：导数的物理意义瞬时速度，即v(t)=s(t)；导数的几何意义切线斜率，即k切=f(x)；第2章 导数与微分 导数的经济意义边际成本，即MC=C(Q).根据导数的定义，求函数f(x)的导数的一
7、般步骤如下：(1)求函数f(x)的增量：y=f(x+x)f(x)；(2)求比值：；(3)取极限：.例例3 求函数y=c(c为常数)的导数.解解 (1)求增量:y=f(x+x)f(x)=cc=0 (2)求比值:()()yf xxf xxx0()()()limxf xxf xfxx 0yx第2章 导数与微分 (3)取极限:故有c=0 例例4 求函数y=x2的导数.解解 (1)求增量:y=(x+x)2x2=2xx+(x)2 (2)求比值:(y/x)=2x+x (3)取极限:0lim0 xyxy 00limlim 22xxyxxxx 第2章 导数与微分 故有(x2)=2x 一般地，对于幂函数y=xa的
8、导数，有如下公式:(xa)=axa1 (其中a为任意常数)例例5 求函数y=sinx的导数.解解 (1)求增量:y=sin(x+x)sinx 2cossin22xxx (2)求比值:第2章 导数与微分 故有(sinx)=cosx 类似地，可以得到(cosx)=sinx 例例6 求对数函数y=logax(a0，a1)的导数.解解 (1)求增量:)1(loglog)(logxxxxxyaaa (2)求比值:xxaxxxx)1(log1y第2章 导数与微分 (3)取极限:故有 一般地，axxaln1)log（1log)lnaxxa（1ln)xx（第2章 导数与微分 例例7(边际利润)在经济数学中，边
9、际利润定义为产量增加一个单位时所增加的利润.设某产品产量为Q个单位时总利润为L=L(Q)，当产量由Q变为Q+Q时，总利润函数的改变量为L=L(Q+Q)L(Q)总利润函数的平均变化率为它表示产量由Q变到Q+Q时，在平均意义下的边际利润.当总利润函数L=L(Q)可导时，其变化率()()LL QQL QQQ00()()()limlimQQLL QQL QL QQQ 第2章 导数与微分 表示该产品产量为Q时的边际利润，即边际利润是总利润函数关于产量的导数.类似地，在经济数学中，边际成本定义为多生产一个单位产品所增加的成本投入，即C(Q)，这里C(Q)表示生产量为Q时的总成本投入.2.左、右导数左、右导
10、数由于导数本身就是极限，而极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等，因此，极限:第2章 导数与微分 分别称为函数y=f(x)在点x0处的左导数和右导数，分别记为f(x0)和f+(x0).于是，有如下定理.定理定理2.1 函数f(x)在点x0处可导的充要条件是f(x)在点x0处的左、右导数存在且相等.例例8 设函数，试讨论f(x)在点x=1处是否可导.解解 由于221,1(),1xxf xxx故f(1)=2第2章 导数与微分 2.1.3 导数的几何意义导数的几何意义由引例2可知，函数y=f(x)在点x0处的导数就是它所表示的曲线在点M0(x0，y0)处的切线MT的斜率，即k=f(x0)于是，曲线
11、y=f(x)在点M0(x0，y0)处的切线方程为 yy0=f(x0)(xx0)若f(x0)0，则曲线y=f(x)在点M0(x0，y0)处的法线方程为)()(1000 xxxfyy第2章 导数与微分 例例9 求抛物线y=x3在点(1，1)处的切线和法线方程.解解 因为y=3x2，由导数的几何意义可知，曲线y=x3在点(1，1)处的切线斜率为k=y|x=1=3故所求切线方程为y1=3(x1)法线方程为)1(311xy第2章 导数与微分 2.1.4 可导与连续的关系可导与连续的关系设函数y=f(x)在点x0处可导，即 存在，由极限的运算法则得由函数连续性的定义可知，f(x)在点x0处连续，故有如下结
12、论.定理定理2.2 如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么它在点x0处一定连续.反之，逆命题不一定成立.例例10 讨论函数解解 如图2-2所示，因为0limxyx 0000limlim()limlim0 xxxxyyyxxxx ,0,0 xxyx x在点x=0处的连续性与可导性.y=f(0+x)f(0)=|x|第2章 导数与微分 图2-2第2章 导数与微分 所以故处连续.又因为显然左、右导数存在但不相等，故函数在点x=0处不可导.因此，函数连续是可导的必要而非充分条件.0lim=xy 0lim=0 xx,0,0 xxyx x第2章 导数与微分 2.2 导导 数数 的的 运运 算算2.2.1
13、导数的四则运算法则导数的四则运算法则定理定理2.3 如果函数u=u(x)、v=v(x)都在点x处可导，则函数u(x)v(x)、u(x)v(x)、u(x)/v(x)(v(x)0)也在点x处可导，且有(1)u(x)v(x)=u(x)v(x)；(2)u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x)；(3)，其中v(x)0.()()u xv x)()()()()(2xvxvxuxvxu第2章 导数与微分 例例1 求函数y=x2+(3/x)lnx+sina的导数.解解 例例2 求函数y=(x3+2x)cosx的导数.解解 23lnsinyxxax 2312xxx332cos2cosyxxxxxx 2
14、332 cos2sinxxxxx233cos2cossin2 sinxxxxxxx例例3 求函数y=tanx的导数.解解即(tanx)=sec2x sin=cosxyx222cos+sin=cosxxx221=seccosxx第2章 导数与微分 类似地，可得 (cotx)=csc2x(secx)=secx tanx(cscx)=cscx cotx例例4 设f(x)=(ex cosx/x2)，求f(x).解解 第2章 导数与微分 2.2.2 反函数的求导法则反函数的求导法则定理定理2.4 如果单调连续函数x=g(y)在点y处可导，且g(y)0，则其反函数y=f(x)在对应点x处也可导，且有例例5
15、 求y=ax(a0，a1)的导数.解解 因为y=ax是x=logay的反函数，且有d1dlnxyya所以aaaydydxdxdyxlnln1第2章 导数与微分 即(ax)=ax lna 特别地，当a=e时，有(ex)=ex 例例6 求y=arcsinx，x(1，1)的导数.解解 因为y=arcsinx是x=siny的反函数，且有所以,22y dcosdyxy2211sin11cos11xyydydxdxdy第2章 导数与微分 即，x(1，1)类似地，可得，x(1，1)例例7 求y=arctanx的导数.解解 因为y=arctanx是x=tany的反函数，且有211)(arcsinxx211)c
16、osarcxx（(0，a1)；(4)(ex)=ex；第2章 导数与微分 第2章 导数与微分 第2章 导数与微分 2.2.5 高阶导数高阶导数2.1.1节的引例1中介绍了变速直线运动的瞬时速度v(t)是路程函数s=s(t)对时间t的导数，即v(t)=s(t).由物理学可知，速度函数v(t)对于时间t的变化率就是加速度，即a(t)=v(t).于是，加速度a(t)就是路程函数s=s(t)对时间t的导数的导数，我们称为路程函数s(t)对时间t的二阶导数，记作s(t)，即a(t)=s(t).第2章 导数与微分 例例13 求下列函数的二阶导数:(1)y=x3+3x2+1；(2)y=x2e2x.解解 (1)
17、y=3x2+6x，y=6x+6 (2)y=2xe2x+2x2e2x，y=2e2x+8xe2x+4x2e2x=e2x(2+8x+4x2)例例14 设f(x)=x2lnx，求f(x)、f(2).解解 由f(x)=2x lnx+x，f(x)=2 lnx+3得2()fxx故 f(2)=1第2章 导数与微分 例例15 求y=sinx的n阶导数.解解 由于cossin2yxx sinsin22yxx cossin32yxx 故以此类推，可得()sin2nyxn 第2章 导数与微分 2.3 微微 分分2.3.1 微分的概念微分的概念1.微分的概念微分的概念引例引例 一块正方形金属薄片受温度变化的影响，其边长
18、由x0变到x0+x，如图2-3所示，求此薄片的面积改变量.分析分析 设正方形金属薄片的边长为x，面积为A，则A=x2，薄片受温度变化影响时，面积A的改变量为A=(x0+x)2x20=2x0 x+(x)2第2章 导数与微分 图2-3第2章 导数与微分 上式包含两个部分:第一部分2x0 x是x的线性函数，即图中带有斜线的两个矩形面积之和；第二部分(x)2在图中是空白的小正方形的面积，因为，即第二部分(x)2是比x高阶的无穷小.由此可见，如果边长x的改变量x的绝对值很小，第二部分(x)2就可以忽略不计，面积增量A可近似地用第一部分代替，即A2x0 x又因为故有AA(x0)x0)(lim20 xxx0
19、200()()2x xA xxx第2章 导数与微分 定义定义2.3 设函数y=f(x)在点x0处可导，则称f(x0)x为函数y=f(x)在点x0处的微分，记作dy，即dy=f(x0)x 如引例中，函数A=x2在点x0处的微分为dA=2x0 x注注 函数y=f(x)在任意点x处的微分称为函数的微分，记作dy=f(x)x 由于对于函数y=x而言，dy=dx=(x)x=x，这说明自变量的微分dx就等于它的改变量x，故而函数的微分可以写成dy=f(x)dx给上式两边同除以dx，可得d()dyfxx第2章 导数与微分 例例1 求函数y=x2在x0=2、x=0.01时的改变量与微分.解解 2220.012
20、4 0.010.0001y 020.01d40.01xxy 第2章 导数与微分 2.微分的几何意义微分的几何意义在直角坐标系中，函数y=f(x)的图形是一条曲线，如图2-4所示，设曲线上有一定点M0(x0，y0)，当自变量x有微小增量x时，得到曲线上另一动点M(x0+x，y0+y)，过点M0作曲线的切线M0T，它的倾斜角为，则切线的斜率为tan=f(x0)又由图中可得tan=(NT/M0N)，M0N=x，于是 NT=M0Ntan=f(x0)x即dy=NT 由此可见，函数微分的几何意义是：在曲线上某一点处，当自变量x取得微小改变量x时，曲线在该点处的切线上纵坐标的改变量.第2章 导数与微分 图
21、2-4第2章 导数与微分 2.3.2 微分的计算微分的计算由于函数的微分dy=f(x)dx，故只需计算出函数的导数便可求出其微分.于是，根据函数的导数公式与导数运算法则，便可得到相应的函数微分公式和运算法则.1.微分的基本公式微分的基本公式(1)d(C)=0;(2)d(xa)=axa1dx(a为常数);(3)d(ax)=ax lna dx;(4)d(ex)=ex dx;(5)d(logax)=(1/x lna)dx;(6)d(lnx)=1/x dx;(7)d(sinx)=cosx dx;(8)d(cosx)=sinx dx;第2章 导数与微分(9)d(tanx)=sec2x dx;(10)d(
22、cotx)=csc2x dx;(11)d(secx)=secx tanx dx;(12)d(cscx)=cscx cotx dx;(13)(14)(15)(16)第2章 导数与微分 2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则 (1)d(uv)=dudv;(2)d(uv)=v du+u dv;(3)d(cu)=c du(c为常数);(4)d(u/v)=(v duu dv)/v2(v0).第2章 导数与微分 3.微分形式的不变性微分形式的不变性 对于函数y=f(u)，如果u仅为自变量，函数y=f(u)的微分是dy=f(u)du如果u不是自变量，而是x的可导函数u=(x)，则由于复
23、合函数y=f(x)的导数为y=f(u)(x)所以函数的微分为dy=f(u)(x)dx又由于中间变量u的微分为du=(x)dx所以dy=f(u)du第2章 导数与微分 例例2 设y=sin2(2x+1)，求dy.解解 方法1:因为y=2sin(2x+1)cos(2x+1)2=2sin(4x+2)所以dy=2sin(4x+2)dx 方法2:dy=2sin(2x+1)d sin(2x+1)=2 sin(2x+1)cos(2x+1)d(2x+1)=2 sin(4x+2)dx第2章 导数与微分 例例3 设y=ln cos2x，求dy.解解 方法1:因为所以dy=2tan2x dx 方法2:1(sin2)
24、22tan2cos2yxxx 1ddcos2cos2yxx1(sin2)(2)cos2x dxx=2 tan2x dx 第2章 导数与微分 2.3.3 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用如果函数y=f(x)在点x0处的导数f(x0)存在，且当|x|很小时，由微分概念可得yf(x0)x (函数增量y的近似计算公式)又y=f(x0+x)f(x0)，上式可变为f(x0+x)f(x0)f(x0)x即f(x0+x)f(x0)+f(x0)x (函数在点x0附近某一点函数值的近似计算公式)第2章 导数与微分 例例4 一种金属圆片，半径为20 cm，加热后其半径增大0.05 cm，则该金属圆片的面积增大了多少？解解 圆面积公式为S=r2，令r0=20 cm，r=0.05 cm，则面积增量为S=2r0r23.14200.05=6.28 cm2例例5 计算的近似值.解解 设，令x0=1，x=0.03，则由函数在点x0附近某一点函数值的近似计算公式可得30.973()f xx02333110.971(0.03)0.993xx
